Линейные образы

5. Различные уравнения плоскости  в пространстве

    I способ построения уравнения плоскости.

        (34)

     , - фиксированная точка на плоскости . Пусть M(x; y; z) – текущая точка на плоскости , тогда

     - способ построения уравнения плоскости (34) (условие перпендикулярности – скалярное произведение = 0).

    II способ построения уравнения плоскости.

    Задача:

1. Дано: ,  ,

    Найти: уравнение плоскости 

    Решение:

    Пусть - текущая точка на

        (36)

    (36) – уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ пареллельно векторам и .

    Решим эту задачу иначе.

     - компланарны,  и - линейно независимы, поэтому могут быть взяты в качестве базиса на плоскости . Приложим эти векторы к точке M₀. Любой вектор этой плоскости может быть разложен по векторам и . Запишем последнее равенство в координатах:

        (37)

    (37) – параметрические уравнения плоскости. 

    II способ основан на условии компланарности трех векторов смешанное произведение равно 0.

2. Дано: не коллинеарен .

    Найти: уравнение плоскости  .

    Решение:

    Сведем  задачу к задаче 1):

      используем готовый способ решения задачи 1).

        (38)

    (38) – уравнение плоскости, проходящей через две данные точки, параллельно данному вектору.

3. Дано:

    Найти: уравнение плоскости 

    Решение:

    Приводим  задачу к задаче 1):

    Решаем  аналогично.

        (39)

    (39) – уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.