Линейные образы

2. Прямая  линия на плоскости.

    Общее уравнение прямой 

Лемма

Степень уравнения линии не зависит от выбора системы координат.

Теорема 1

Любое уравнение первой степени от двух неизвестных описывает прямую линию  на плоскости. Любая прямая линия  на плоскости описывается уравнением первой степени.

Д-во:

1. (2).

Докажем, что это уравнение прямой линии.

Пусть , , ,

L –  линия, описывающая (2).

    Следовательно, три точки  лежат на одной прямой. Ввиду произвольности этих точек сделаем вывод, что (2) – уравнение прямой.

2. Пусть L – прямая на плоскости. Пусть L совпадает с осью в выбранной системе координат: по определению. Это уравнение первой степени. По лемме наша прямая описывается уравнением первой степени в любой другой системе координат.

Теорема доказана

Уравнение (2) называется общим уравнением прямой. Пусть с уравнением (2)

 (*)

(2)-(*):

   (3)

,

Пусть уравнение (2) рассматривается в прямоугольной декартовой системе координат (ПДСК) на плоскости, тогда условие (3) означает:

- нормальный вектор прямой с уравнением (2). 
 

Уравнение (3) - уравнение прямой, проходящей через точку с данным нормальным вектором. 

Задача

- основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Написать уравнение прямой