Методика изучения числовых систем в курсе математики основной школы

p align="justify">    Деление дробей сводится к умножению на дробь  обратную данной, исходя из определения  деления как операции, обратной умножению  и понятия взаимно обратных чисел.

    Система упражнений на умножение и деление  дробей следует выдерживать в  такой последовательности:

1. Умножение (деление) правильных дробей.
2. Умножение неправильной дроби на правильную.
3. Умножение неправильных дробей.
4. Умножение смешанного числа на дробь.
5. Умножение смешанных чисел.

    Правило деления дробей можно иллюстрировать решением задачи на нахождение числа  по данной величине его дроби.

4. Методика изучения отрицательных чисел.

    Первая  методическая задача, возникающая при  введении отрицательных чисел, состоит  в том, чтобы убедить учащихся в необходимости введения новых  чисел. Достигается это с помощью  целесообразно подобранных задач. При решении этих задач выясняется, что известных чисел недостаточно. Создание наглядно – геометрической основы для введения новых чисел  служит такая задача: Проведите прямую слева направо и отметьте на ней  точку . Изобразите на этой прямой точки если известно, что точка расположена правее на 6 клеток, точка – правее на 5,5 клеток, точка – левее на 2 клетки и точка – левее на 7,5 клетки.

    В результате учащиеся будут подготовлены к восприятию понятия «координатная  прямая». Учителю останется ввести термины: «начало отсчета», «положительное направление прямой», «отрицательное направление прямой». Если положительное направление обозначать знаком « +», а отрицательное знаком «-», то ясно, что положение точки A в предыдущей задаче определяется числом +6, положение точки B – числом +5,5, положение точки С – числом -2, положение точки K – числом -7,5, положение самой точки O – числом 0. Числа +6; +5,5; 0 были известны ранее, числа -2; -7,5; … - отрицательными. С помощью положительных, отрицательных и числа 0 можно полностью охарактеризовать положение точки на прямой.

    Важно, чтобы учащиеся осознали не только необходимость введения новых чисел, но и правильно понимали их смысл. В этих целях полезны упражнения на чтение и запись отрицательных  и положительных чисел, на изображение  их точками на координатной прямой.

    Правила выполнений действий над положительными и отрицательными числами устанавливаются  на основании решения содержательных задач, например, задач на определение  температуры. Математические формулировки этих правил опираются на понятие  модуля числа.

    Рассмотрим  методическую схему введения правила  сложения положительных и отрицательных  чисел:

1. Показать, что результат изменения температуры находиться с помощью действий сложения.
2. На основании измерений температуры с помощью термометра выполнить следующие действия:

 

                3. Ввести установку: каждое число  определяется модулем и знаком; с помощью этой установки высказать  догадки о том, как найти  модуль суммы и ее знак: 
 
 
 

                4. Сформулировать правило сложения  числе с одинаковыми и разными  знаками;

                5. Закрепить это правило письменными  упражнениями с подробными записями;

                6. Осуществить переход к  более  сокращенным записям вычислений, сопроводив их полным устным  комментарием;

                7. На следующем уроке (в качестве  повторения и закрепления правила)  привести схему соответствующего  алгоритма.

    Рассмотрим  методическую схему введения правила  умножения положительных и отрицательных  чисел:

1. Предложить задачу: «Температура воздуха изменяется в течении суток, причем каждые сутки на градусов. Как измениться температура через b суток (по сравнению с настоящим моментом), если а) a=2, b=3; б) a=-2, b=3; в) a=2, b=-3;

г)  a= - 2, b= - 3? »

                2. Выяснить смысл высказываемых  в задаче предложений: что означает  утверждение о том, что температура  воздуха изменилась на a градусов, если a равно: 2, - 2; объяснить смысл утверждения о том, что температура изменяется в течении b суток, ели b равно 3, - 3

                3.  Провести решение задачи  для случая а) «За 3 суток  температура повыситься в 3  раза; увеличение в 3 раза находиться  умножением на 3; отсюда искомое  изменение температуры получим,  если 2 умножим на 3: ». Так как остальные задачи – аналогичные, то делается вывод, что они также должны решаться с помощью умножения. Поэтому возникает необходимость научиться выполнять умножение с положительными и отрицательными числами.

                 4. Сформулировать задачу для случая  б): «Как измениться температура  воздуха через 3 суток, если  каждые сутки она понижается  на 2 градуса?» и привести ее  решение: «Вначале устанавливается,  что температура воздуха через 3 суток понизиться на 6 градусов. Это понижение характеризуется числом  - 6 и делается запись

».

                 5. Составить и решить задачи  для остальных случаев, сделав  аналогичные записи:;   .

                 6. Высказать догадку о том,  как найденные произведения можно  получить математическим способом.

                  7. Сформулировать правило умножения  положительных и отрицательных  чисел.

                  8. Закрепить правило составлением  схемы соответствующего алгоритма  и письменными упражнениями с подробными записями.

                  9. Осуществить постепенный переход  к сокращенным записям вычислений. 

5. Построение множества рациональных чисел в школьном курсе математики 

    После изучения множества Z представляется возможность рассмотрения  всего множества Q.

    Поскольку программа 6 класса предусматривает  изучение действий над обыкновенными  дробями до изучения целых чисел, то сначала надо добиться  твердых  навыков в работе с числами  множества , а затем уже – с числами множества Q вместе с тем, в более простых случаях надо вводить действия с отрицательными числами на первых же уроках, посвященных действиям с дробями.

    Завершая  изучение множества, учитель должен показать учащимся, что введение отрицательных  чисел позволило нам решать любое  уравнение вида с натуральными числами , а введение дробных чисел сделало разрешимым равнение  вида для любых целых и .

    Учащиеся  должны усвоить порядковую структуру  множества Q, причем понимать, что N и Z – дискретные множества.

    Тот факт, что на координатной прямой остались еще точки, которым не соответствует  никакие рациональные числа, откладывается до изучения иррациональных чисел. Алгебраическая структура Q- замкнутость относительно сложения, вычитания, умножения и деления. Имеют место законы сложения и умножения, нейтральные элементы: 0 – относительно операции сложения и 1 – относительно операции умножения. Для любого существует такой, что как следствие разрешимость уравнения  
 
 

6. Методика изучения  действительных чисел  .

  Методика введения  понятия иррационального  числа.

    Рассматриваемая тема служит основой для изучения элементов анализа в курсе  математики в средней школе. Ее особенность  в трудности перехода от Q к R.

    Если  проследить историю развития понятия  число, то увидим, что и для математики, как науки, это тоже был нелегкий вопрос и свое разрешение он получил  лишь во второй половине XIX века в работах Дедекинда, Кантора, Вейерштрасса.

    В математике необходимость расширения   Q до R диктуется требованием разрешимости уравнения вида для любого . В школьном курсе математики такой общий подход неприемлем педагогическим соображениям в силу его абстрактности. Наиболее распространенным путем является присоединение к уже изученному множеству Q иррациональных чисел, отправляясь от задачи измерения отрезков.

    Первоначальное  знакомство с понятием иррационального  числа новая программа предусматривает  в 8 классе при изучении темы «Квадратные  корни», содержащей раздел : «Понятие об иррациональном числе» (Алгебра, 8 –  Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б, Суворова).

    Прежде  чем вводить понятие иррационального  числа надо, в порядке повторения, рассмотреть координатную прямую в  той последовательности, как она  изучалась: координатный луч координаты точек, которого – сначала целые  неотрицательные числа, потом неотрицательные  дробные числа. Затем рассматривают координатную прямую: координаты точек которой сначала целые числа, а потом рациональные числа.

    Здесь должно быть обращено внимание на свойство дискретности и плотности .

    Затем обращается внимание на то, что все  эти числа можно представить  в  виде дроби , где , которую называют рациональным числом.

    Далее, непосредственным делением на  устанавливается факт обращения дроби в конечную или бесконечную, но периодическую десятичную дробь, и то, что бесконечная периодическая десятичная дробь представляет определенное рациональное число. Далее можно поставить перед учащимися вопрос : «А каждой ли точке координатной прямой соответствует число?»

    После этого переходят к задаче: «Найти площадь квадрата по заданной его  стороне», которая легко решается.

    Ставим  обратную задачу: «Известно площадь  квадрата. Найти его сторону». Если взять  , то придем к уравнению , где - длина стороны квадрата. Приводим такой чертеж: 
 
 

    

      М 

    

      -1          0         1     

    Непосредственно из него видим, что площадь квадрата со стороной 1, в два раза меньше площади  квадрата, построенного на его диагонали.

    Так как  , то на координатной прямой есть точка, соответствующая отрезку длины, равной . Что же это за число?

    Предположив, что  придем к равенству: Тогда что противоречит несократимости дроби   .

    Таким образом, число  не может быть рациональным, а значит, отрезок в Q не имеет длины. И если мы хотим, чтобы каждый отрезок имел длину, нам придется ввести новые числа, не рациональные. Их называют иррациональными.

    В рассмотренной выше задаче .

    Здесь же надо показать, что это число  x мы можем представить в виде, рационального числа приближенно, но со сколь угодно высокой степенью точности: до 1, до 0,1, до 0,01… 
 

    При этом, сколько бы мы ни продолжали этот процесс отыскания приближенных значений у нас не получиться периодической дроби, так как они- рациональные числа.

    Таким образом, иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Надо сразу же предупредить ошибку учащихся полагающих, что иррациональные числа мы получаем лишь в случае извлечения корней из чисел, когда мы не получаем точного значения. Так,  например, число  - отношение длины окружности к ее диаметру – не связано с извлечением корня, но является иррациональным.

    Закреплению понятия иррационального числа  может служить система вопросов типа:

• Может ли сумма (разность, произведение, частное) двух иррациональных чисел быть рациональным числом?

 

    В учебнике «Алгебра - 8» введение иррационального  числа диктуется необходимостью разрешимости такой задачи : «Найти абсцисс точек пересечения параболы с прямыми » . в первом случае  , а во втором приходим к тому же уравнению .