Методика изучения числовых систем в курсе математики основной школы

      В начале XVIII столетия существовало три понятия иррационального числа:

• иррациональное число рассматривали как корень n-ой степени из целого или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить «точно» целым или дробным числом;
• иррациональное число трактовали как границу, к которой его рациональные приближения могут подойти как угодно близко;
• число рассматривали как отношение одной величины к другой величине того же самого рода, взятой за единицу; когда величина несоизмерима с единицей, число называли иррациональным.

      Позднее Эйлер, Ламберт показали, что иррациональные числа можно представить бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, π = 3,141592…).  

5. Комплексные числа

    В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .

 Эта  формула безотказно действует  в случае, когда уравнение имеет  один действительный корень ( ), а если оно имеет три действительных корня ( ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень,  извлечение корня).

 В  1830 году Галуа (Франция) доказал,  что никакое общее уравнение,  степень которого больше чем  4, нельзя решить алгебраически.   Тем не менее всякое уравнение степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что . Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу .  Термин “комплексные числа”  так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

     В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. 

      Постепенно развивалась техника  операций над мнимыми числами.  На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : ,  которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

 В  конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например,  в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

 Хотя  в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

 “Никто  ведь не сомневается в точности  результатов, получаемых при вычислениях  с мнимыми количествами, хотя  они представляют собой только  алгебраические формы иероглифы  нелепых количеств” Л. Карно.

 В  конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но так же  длиной r и углом φ который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если , значение ArgZ не определено, а при оно определено с точностью до кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).

 Геометрическое  истолкование комплексных чисел  позволило определить многие  понятия, связанные с функцией  комплексного переменного, расширило  область их применения.

 Стало  ясно, что комплексные числа полезны  во многих вопросах, где имеют  дело с величинами, которые изображаются  векторами  на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

 После  создания теории комплексных  чисел возник вопрос о существовании  “гиперкомплексных” чисел - чисел  с несколькими “мнимыми” единицами.  Такую систему вида  , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, , а . Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.  

Глава 2. Методика изучения числовых систем в  основной школе 

1. Анализ программы  по математике.

    Рассмотрим  основные требования к математической подготовке учащихся по разделу  «Числа и вычисления» :

• правильно употреблять термины, связанные с различными видами чисел и способами их записи6 целое, дробное, рациональное, иррациональное, положительное, десятичная дробь и др., переходить от одной формы записи чисел к другой;
• сравнивать числа, упорядочивать наборы чисел; понимать связь отношений «больше» и «меньше» с расположением точек на координатной прямой;
• выполнять арифметические действия с рациональными числами. Находить значение степеней и квадратных корней;
• сочетать при вычислениях устные и письменные приемы, применять калькулятор;
• составлять и решать пропорции, решать основные задачи на дроби, проценты;
• округлять целые числа и десятичные дроби.

      Содержание  обучения основной школы, касающееся числовых систем состоит в следующем:

      Числа и вычисления.

• Натуральные числа. Десятичная система счисления. Арифметические действия с натуральными числами. Свойства арифметических действий . Степень с натуральным показателем.
• Делители и кратные числа. Признаки делимости. Простые числа. Разложение числа на простые множители.
• Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части числа и числа по его части.
• Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление обыкновенных дробей десятичными. Среднее арифметическое.
• Отношения. Пропорции. Основное свойство пропорции.
• Проценты основные задачи на проценты.
• Решение текстовых задач арифметическими приемами.
• Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа. Сравнение чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами, свойства арифметических действий.
• Рациональные числа. Изображение чисел точками на координатной прямой. Иррациональные числа. Действительные числа.
• Округление натуральных чисел и десятичных дробей.

  Проанализируем  планирование учебного материала 5-8 классов, для того чтобы проследить последовательность расширения понятия числа в школьном курсе математики.

    5 класс - учебник «Математика, 5 » под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина.

    Целью изучения математики в V-VI классах является систематическое развитие понятия числа, выработка умений выполнять устно и письменно арифметические действия над числами, переводить практические задачи на язык математики.

На  изучение натуральных  чисел выделено 12 часов, в этом разделе  учащиеся изучают:

• Натуральные числа и нуль. Прямая, отрезок. Длина отрезка, окружность.

    Основная  цель – систематизировать и развить знания учащихся о натуральных числах, научить читать и записывать большие числа, сравнивать и округлять их, изображать числа на координатной прямой.

    Изучение  материала начинается с сопоставления  десятичной системы записи чисел  и римской нумерации. Учащиеся овладевают алгоритмами чтения и записи больших  чисел, совершенствуют  умение сравнивать числа, знакомятся со свойствами натурального ряда. Вводится понятие координатной прямой и дается геометрическое истолкование отношений «больше» и «меньше».

• Действия с натуральными числами (27 ч).

    Арифметические  действия  с натуральными числами. Свойства сложения и умножения. Квадрат и куб числа. Числовые выражения.

    Основная  цель - закрепить и развить навыки арифметических действий с натуральными числами.

• Делимость чисел (14 ч).

    Делители  числа. Простые и составные числа. Признаки делимости. Таблица простых  чисел. Разложение числа на простые  множители.

    Основная  цель – ознакомить учащихся с простейшими понятиями, связанными с понятием делимости чисел.

    Изучение  темы ориентировано на идейную основу вопроса. Знания учащихся обогащаются  новыми сведениями, связанными с понятием делимости натуральных чисел.

    На  изучение дробей в 5 классе выделено 20 часов. В этом разделе  учащиеся изучают  следующие вопросы:

• Обыкновенная дробь.
• Основное свойство дроби.
• Сокращение дробей. Приведение дроби к новому знаменателю. Сравнение дробей.

    Основная  цель  - сформировать понятие дроби, ознакомить учащихся с основным свойством дроби и научить применять его для преобразования дробей, научить сравнивать дроби.

    В предлагаемом курсе обыкновенные дроби  целиком изучаются до десятичных. И в дальнейшем изложение десятичных дробей строится на естественной математической базе с опорой на знания  об обыкновенных дробях.

    Основной  акцент делается на создание содержательных представлений о дробях.

    Одновременно  здесь закладываются умения решать задачи на дроби, сокращать дроби  и приводить их к новому знаменателю.

    Изучение  каждого пункта целесообразно предварять выполнением соответствующей сери практических заданий:  закрашиванием  долей фигуры, сравнением дробей с  использованием рисунков, соответствующих  формированию наглядно-образных представлений  о формируемых понятиях.

• Действия с дробями (36 ч).

    Темы: Арифметические действия над обыкновенными дробями. Нахождение дроби числа и числа по его дроби.