Методика изучения числовых систем в курсе математики основной школы

    Основная  цель – обучить учащихся сложению, вычитанию, умножению и делению обыкновенных и смешанных дробей.

6 класс - учебник «Математика,6 » под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина.

• Дроби и проценты(22 ч).

      Темы: Арифметические действия над дробями. Основные задачи на дроби. Проценты.

      Основная  цель – закрепить и развить навыки действий с обыкновенными дробями, познакомить учащихся с понятием процента.

      Первые  уроки отводятся повторению, систематизации развитию сведений об обыкновенных дробях.

      Следующий блок в данной теме – проценты. Их изучение будет продолжено в теме «Десятичные дроби», а также в 7 классе.

      Методика  изложения данного вопроса в  учебнике, система упражнений нацелены на формирование ряда важных с практической точки зрения умений, связанных с  понятием процента. Формируется понимание  процента как специального способа  выражения доли величины, умение соотносить процент с соответствующей дробью.

• Десятичная запись дробей (7 ч).

    Темы: Десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей. Сравнение десятичных дробей. Решение арифметических задач.

    Основная  цель – ввести понятие десятичной дроби, выработать навыки чтения, записи и сравнения десятичных дробей.

• Действия с десятичными дробями (30 ч).

    Темы: Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей.

    Основная  цель – сформировать навыки вычислений с десятичными дробями.

    Алгоритмы действий с десятичными дробями  вводятся на основе соответствующих  алгоритмов действий с обыкновенными  дробями.

• Десятичные дроби и проценты (12 ч).

     Темы: Округление десятичных дробей. Обращение обыкновенной дроби в десятичную. Проценты.

     Основная  цель – расширить представления учащихся о возможности записи чисел в различных эквивалентных формах, продолжить изучение процентов.

     В результате рассмотрения вопроса о  связи десятичных и обыкновенных дробей учащиеся должны понимать, что  десятичную дробь всегда можно представить  в виде обыкновенной, а обыкновенная не всегда представляется десятичной.

     При изучении процентов учащиеся должны научиться выражать процент десятичной дробью.

• Положительные и отрицательные числа. Целые числа (14ч).

    Темы: Целые числа. Сравнение целых чисел. Арифметические действия с целыми числами.

    Основная  цель – мотивировать введение положительных и отрицательных чисел и сформировать умения и навыки выполнять действия с целыми числами.

    Особенностью  предлагаемого подхода является выделение в начале темы «Положительные и отрицательные числа» специального параграфа «Целые числа». Это позволяет  уделить внимание навыкам действий с целыми числами, на простом материале познакомить учащихся практически со всеми основными понятиями темы, правилами знаков. В этом случае последующее изучение рациональных чисел оказывается уже повторным изучением всех вопросов, что облегчает восприятие материала и способствует прочности приобретаемых навыков.

• Рациональные числа (11ч).

    Темы:  Рациональные числа. Противоположные числа. Модуль числа. Сравнение чисел. Изображение чисел точками на прямой. Арифметические действия над рациональными числами. Свойства арифметических действий. Решение арифметических задач.

    Основная  цель – выработать прочные навыки действий с положительными и отрицательными числами.

    Основное  внимание при изучении рациональных чисел уделяется обобщению и  формализации знаний, полученных учащимися  в ходе изучения целых чисел. 

    Целью изучения курса алгебра в 7-11 классах  является развитие вычислительных и  формально алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов.

8 класс – «Математика, 8:  Алгебра. Функции . Анализ данных » авт. Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др.

• Квадратные корни (17 ч).

    Темы: понятие об иррациональном числе. Квадратный корень. Десятичные приближения квадратного корня. Свойства арифметического квадратного корня и их применение к преобразованию выражений. Кубический корень.

    Основная  цель – научить преобразованиям выражений, содержащих квадратные корни; на примере квадратного и кубического корня сформировать начальные представления о корне n- степени.

    Понятие квадратного корня возникает  в курсе при обсуждении задачи  – о нахождении стороны квадрата по его площади. Рассматривая первую из них, учащиеся получают начальные  представления об иррациональных числах.

    В результате анализа  программы и учебников  можно сделать  вывод, что

    в школьном курсе математики  расширения понятия числа происходит следующим  образом:

• в начальной школе и 5 классе рассматривается множество - множество натуральных чисел и нуля. Затем в 5 классе изучается понятие дробного числа и десятичные дроби -  множество ;
• в 6 классе завершается изучение дробных чисел, и изучаются сначала целые числа – множество , а затем рациональные числа – множество ;
• в 8 классе дается понятие иррационального числа и рассматривается множество действительных чисел R;
• изучение множества комплексных чисел новой программой по математике не предусматривается.

 

2. Методика изучения натуральных чисел.

       Систематический курс математики средней школы начинается в 5 классе с темы: «Натуральные числа  и действия над ними», а затем  – «Свойства арифметических действий над натуральными числами».

       Учитель математики 5 класса должен хорошо знать, с каким запасом знаний пришли к нему учащиеся из начальной школы, какие методы применялись там  при изложении математики. Необходима преемственность в преподавании, тесная связь учителя математики 5 класса и учителя 4 класса в решении  методических проблем преподавания математики. Изучение натуральных чисел  в 5 классе преследует целью выработку  умения выполнять устно и письменно  арифметические действия над числами. Курс строится на индуктивной основе с привлечением элементов дедуктивных  рассуждений. Теоретический материал излагается на наглядно-интуитивном уровне, математические методы и законы формулируются в виде правил, выводу которых предшествует решение соответствующей задачи. 

   2.1.Нумерация. Координатный луч. Сравнение натуральных чисел по величине. 

       Изучение  натуральных чисел начинается с  нумерации: устной и письменной. Учащиеся должны уметь называть, записывать натуральные числа. Этому они научились в начальной школе, в 5 классе идет закрепление и развитие этих умений и навыков.

       Методически правильно начинать с повторения позиционной десятичной системы  счисления, понятия цифры и ее номерного значения, значения нуля в записи числа. Уже на первом уроке  повторяются понятия разряда  и класса. К ним надо обращаться и в последующем с целью  закрепления этих понятий. Ученики  должны понимать, что не только единица, но и десяток, сотня, тысяча и т.д. – так же являются единицами счета, но они являются единицами разных разрядов, причем каждая последующая  единица счета содержит в себе десять предыдущих. При счете большого числа объектов применяются более  крупные единицы: тысяча, миллион, миллиард и т.д.  при объяснении этого  материала полезно использовать таблицы. (см. приложение). Такие таблицы  позволяют наглядно уяснить правило  чтения многозначных натуральных чисел  и их записи, когда они выражены словами. Например, сто двадцать миллиардов сорок пять миллионов двести пятьдесят  тысяч девяносто – 120045250090.

       Так же можно упражняться в разложении числа на разрядные единицы:

        428665392= 400000000 +20000000+8000000+600000+5000+300+90+2.

       Здесь же вводиться координатный луч не только как средство наглядного изображения  натуральных чисел его точками, но и как наглядное средство  для сравнения натуральных чисел  по величине . эта иллюстрация свойств  «больше» и «меньше» их геометрическими  аналогами «правее» и «левее»  для натуральных чисел .

       Учащиеся  знакомятся также с записью двойного неравенства типа: 3<8<10  и читают его так: 3 меньше 8, и 8 меньше 10 или  так: 8 больше 3, но меньше 10.

       В заключении этой темы учитель может  рассказать в форме небольшого обзора историю возникновения понятия  натурального числа. Этот же вопрос можно  перенести и на кружковую работу. В неявной форме проверяются  аксиомы Пеано, и разъясняется бесконечность  множества натуральных чисел, его  дискретность. 
 
 

   2.2.Сложение и вычитание натуральных чисел. Закон сложения. Действия над ними.

   В 5 классе невозможно определить операцию сложения аксиоматически или же на теоретико – множественной основе, поэтому ей не дается ни какого определения, а понятие о ней раскрывается на примерах решения задач типа : «Один рабочий за смену выточил  на токарном станке 56 деталей, а другой 48».  Чтобы узнать, сколько деталей  выточили за смену оба рабочих  вместе надо сложить числа 56 и 48. Понятие  же суммы уже определяется как  результат сложения. То же самое  относится к понятию «слагаемое». Показывается, как производится сложение натуральных чисел с применением  координатного луча. Все это подготовило  почву для доказательства законов  сложения: переместительного (коммутативного) и сочетательного (ассоциативного). Доказательство проводиться конкретно-индуктивным  методом на задачах и примерах, с использованием наглядных иллюстраций, в то числе координатного луча. На основе такой неполной индукции делается общий вывод :   для любых значений ; и   для любых значений ,.

   Здесь же рассматривается свойство нуля при  сложении :

   Вычитание натуральных чисел определяется конструктивно : как действие обратное сложению, когда по известной сумме  и одному из слагаемых требуется  найти второе слагаемое, в такой  форме: вычесть из числа  число – значит найти такое , которое в сумме с числом дает :

   После этого можно определить понятия: разность, уменьшаемое, вычитаемое. В  школе их просто называют: - разность, - уменьшаемое, -вычитаемое.

   Так как , то для равенства формулируется правило: чтобы найти неизвестное слагаемое надо из суммы вычесть второе слагаемое, которое применяется при решении уравнений.

   Из  определения разности, в силу равенства  , принимаются равенства:

   .

   Здесь же школьники должны решать задачи на отыскание неизвестного уменьшаемого при данных: разности и вычитаемом, и неизвестного вычитаемого по данным разности и уменьшаемого, то есть решать уравнения вида:  
 

2.3.Умножение и деление натуральных чисел. Законы умножения . Действия с нулем и     единицей.

    Умножение на натуральное число, большее 1, определяется как сложение нескольких одинаковых слагаемых. В соответствии с этим определением

    Переместительный, сочетательный и распределительный  законы умножения доказываются конкретно  – индуктивным методом. По методу неполной индукции затем делается общий вывод:

    ; для любых натуральных  чисел 

    Деление натуральных чисел рассматривается  как действие, обратное умножению. То есть действие, когда по произведению и одному из множителей надо найти  неизвестный другой множитель, а  именно: разделить число значит найти такое , при умножении которого на получиться

    Определяются  частное, делитель, делимое.

    Так как , то для отыскания в равенстве числа , надо произведение разделить на известный множитель. Это правило используется при решении уравнений. Так как , то по определению деления, и .

    Особый  случай – деление на нуль. Из равенства  видим, что может быть любым числом, а поэтому частное от деления на нуля на нуль не имеет определенного значения. Поэтому в этом случае на нуль делить нельзя. Из равенства 0 () видим, что оно не выполняется ни при каком x , поэтому и в этом случае на нуль делить нельзя. Этот факт учащиеся должны хорошо понимать и запомнить.