Методика изучения числовых систем в курсе математики основной школы

    Одновременно  с развитием понятия натурального числа в обиход включаются операции над числами. Операции сложения и  вычитания возникают сначала  как действия над самими множествами  предметов в форме из объединения и отделения части. В результате многовекового опыта сложилось представление об отвлеченном характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы элементов, составляющих множества. Так, например, складывалось убеждение в том, что три предмета и четыре предмета составляют семь предметов независимо от их природы. После этого времени начали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы решения задач. С этого времени начинается развитие арифметики как науки о числах и действиях над ними. Предметом этой науки оказалась система чисел с их взаимосвязями. Арифметика развивалась как система знаний, имеющая непосредственно прикладное значение. В самом процессе развития арифметики появляется потребность изучения свойств чисел, исследование закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Намечается детализация понятия натурального числа, выделяются и изучаются классы различных чисел. Изучение глубоких закономерностей ряда натуральных чисел продолжается до настоящего времени и относится к разделу математики, называемому теорией чисел.

    Термин  «натуральное число» впервые употребил  римский ученый Боэций (ок. 475-525). В  книге «Основания арифметики» он изложил на латинском языке арифметику Никомаха. Также термин «натуральное число» встречается в рукописях  XI века. В современном смысле понятие «натуральное число» и последовательное его применение связано с именем французского ученого Даламбера (1717 - 1783). Это понятие отражено в «Энциклопедии», изданной французскими учеными в 1751 – 1780 гг, математический отдел которой до 1775 г., редактировал Даламбер. С этого времени понятие «натуральное число»  вошло во всеобщее употребление.

     1.2. Построение множества  натуральных чисел. 

    Натуральными  числами называются числа, употребляемей  при счете предметов. Наименьшим натуральным числом является число 1. Наибольшего натурального числа  не существует. Чтобы доказать это  предположение предположим противное: пусть число  – наибольшее натуральное число. Прибавив единицу к этому числу, получим натуральное число , которое больше n. Это противоречит предположению о том, что n наибольшее натуральное число. Значит, наибольшего натурального числа не существует. Множество натуральных чисел является бесконечным. Этот факт был известен еще древним грекам. О нем говорится в книге Евклида «Начала» (III в . до н.э).

    Бесконечный ряд натуральных чисел записывают так: 1, 2, 3…; три точки означают, что  ряд продолжается неограниченно. Множество  натуральных чисел обозначают буквой

    Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными, цифры 1, 3, 5, 7, 9 нечетными. Значение цифры в записи числа зависит от занимаемого ею места.

    Чтобы прочитать число, записанное в десятичной системе, его обозначение разбивают на группы справа налево, по три цифры в группе. Первые три цифры справа составляют класс единиц, три следующие класс тысяч и т.д.

    В пределах первой тысячи название имеет  единица каждого разряда: единица, десяток, сотня, тысяча. Следующие единицы, имеющие собственное название, идут через каждые три разряда. Каждая очередная именованная единица  содержит тысячу предыдущих именованных  единиц: 1 000 000 000 – миллиард, 1 000 000 000 000 – триллион и т.д.

    Слово миллион имеет сравнительно  недавнее происхождение. В итальянском языке  million есть увеличительное от числа mille, которое означает «тысяча». Слово миллион придумал венецианский путешественник Марко Поло (1254 - 1324). Ему не хватало известных в то время чисел, чтобы рассказать о необычайном множестве людей и богатств далекой Небесной Империи (так в старину называли Китай).

    Слово миллиард – одно из самых молодых  названий чисел. Оно вошло в употребление со времени окончания франко –  прусской войны (1971), когда французам  пришлось платить контрибуцию в 5 000 000 000 франков. Следует отметить, что название больших чисел редко используется в практике. Астрономы, физики и другие специалисты, имеющие дело с большими числами, записывают их посредством степеней числа 10. Так число 380 000 000 физик запишет .

    Представляет  интерес вопрос о том, с каким  самым большим числом приходилось  иметь дело на практике. Физики считают, что во  Вселенной количество элементарных частиц, из которых состоят  атомы находящиеся в ней вещества, не больше чем  в связи с этим полагают, что нет необходимости пользоваться числами, большими чем для этого числа придумано специальное название  -  гугол.

    Наименьшим  натуральным числом является единица. Древнегреческие математики не считали  единицу числом. Так пифагорейцы  и философы школы Платона учили, что единица является только зародышем  чисел. Последователи Платона утверждали, что единица не есть число, а только источник чисел . взгляд на число у  Аристотеля был несколько иным. Он определял число как множество, измеренное единицей, а про единицу  говорил, что она также есть множество  только небольшое. Что же представляет собой единица, древнегреческие ученые определить не могли по той причине, что понятие единицы есть первичное, неопределяемое понятие. Взгляды греческих математиков на единицу существовали долгое время. Римский философ и математик Боэций называл единицу матерью всех чисел. Он утверждал, что единица не есть число, а источник и производитель чисел. Этих взглядов придерживались и арабские, и первые европейские математики. Единицу признали числом впервые лишь в XIV в.  В системе чисел единица играет особую роль. Энгельс отмечал, что единица является основным числом всей системы положительных и отрицательных чисел, благодаря последовательному прибавлению к самому себе возникают все другие числа. Единице равна любая дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковы. Всякое число в нулевой степени равна единице, поэтому единица единственное число, логарифм, которого равен нулю.

    Натуральное число p, не равное единице, называется простым, если оно делиться только на себя и на единицу, т.е имеет только два делителя. Натуральное число, отличное от единицы и не являющееся простым, называют составным, если оно имеет более двух делителей. Число 1 не относиться ни к простым ни к составным числам, поскольку оно имеет лишь один делитель.

    Таким образом, множество натуральных  чисел разбивается на три подмножества. Первое из них содержит только одно число – 1, второе образует простые  числа, а третье – составные числа. Каждое натуральное число попадает в одно и только в одно из этих множеств, эти подмножества попарно  не пересекаются. 

2. Целые числа

       2.1. Множество целых  чисел

       Натуральные числа, противоположные им числа  и нуль называют целыми числами. Множество  всех целых чисел обозначают символом Z:Z={…,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}. Это множество является объединением трех множеств: множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным, и множества, состоящего из одного числа нуль.

       Из  двух чисел меньшим считается  то, изображение  которого расположено  правее. Всякое положительное число  больше нуля, а всякое отрицательное  меньше нуля, поэтому любое отрицательное  число меньше любого положительного.

       Для сравнения отрицательных чисел  используют понятие модуля. Модулем  целого числа  называют неотрицательное число определяемое следующим образом: 
 

       Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, для отрицательного числа – противоположному числу.

       Если  на координатной прямой указать два  отрицательных числа, то левее окажется то число, у которого больше модуль. Следовательно, из двух отрицательных  чисел меньше то, у которого больше модуль, и больше то, у которого меньше модуль.

       Множество целых чисел содержит число нуль. В системе чисел нуль имеет  важное значение. Об этом Ф.Энгельс  в своем труде «Диалектика  природы» говорил: «Оттого, что нуль есть отрицание всякого определенного  количества, он не лишен содержания. Наоборот, нуль имеет весьма определенное содержание. Как граница между  всеми положительными числами, как  единственное действительное  число, ни могущее быть ни положительным, ни отрицательным, он не только представляет собой весьма определенное число, но и по своей природе важнее всех других. Прибавленный  к любому числу справа, он в нашей системе счисления удесятеряет данное число…Нуль уничтожает всякое число, на которое его умножают. »  

       2.2. Отрицательные числа

       Отрицательные числа впервые появились в  математике Древнего Китая во II в. н.э. они встречаются в сочинении «Математика в девяти книгах». В одной из этих книг речь идет о системах линейных алгебраических уравнений. Здесь рассматриваются конкретные системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных.

       Отрицательные числа применял в III в. н.э древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними. В VII в н.э.  эти числа изучали индийские математики, которые сравнивали их с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описать изменения величин. Уже в VIII в н.э было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное.

       С необходимостью вычитания меньшего числа из большего и вычитания  некоторого числа из «ничего» (т.е. нуля) встречались при решении задач, приводящих к системам линейных уравнений. В следствии этого для новых количеств – отрицательных чисел – были введены правила действий. Правило действий над отрицательными числами называли правилом «чжен-фу». В современных обозначениях первая часть правила, описывающая вычитание, определялась следующими соотношениями:

       () – () = ,  () – ()=,  .

       Знака 0 для нуля у древних китайцев не было. В этих случаях на счетной  доске оставляли пустое место. Вторая часть правила дана для сложения:

       () + ()=,  () + ()=,  .

       Само  правило формулировалось следующим  образом- «чжен-фу»: «если одинакового  названия, то вычитается, если разного  названия, то прибавляется; если положительное  без пары, то становиться отрицательным, если отрицательное без пары, то становиться положительным » . название правила «чжен - фу» объясняется  так: положительные коэффициенты обозначались иероглифом чжен, который означает «правильный», а отрицательные – иероглифом фу, т.е. долг. Указанные иероглифы дали название правилу действий над отрицательными числами.

       Отрицательные числа были хорошо освоены древнекитайскими математиками, они постепенно вводились  в обращение. Эти числа получили толкование долга, недостачи, нехватки, в отличие от положительных чисел, свидетельствующих о доходе, избытке. Хотя  отрицательными числами довольно часто и свободно оперировали, отрицательных  корней в Древнем Китае не рассматривали.

       Аналогичным образом отрицательные числа  были введены математиками Индии. Индийцы  пришли к отрицательным числам, стремясь единообразно выразить алгоритм решения  квадратного уравнения. Они называли положительные числа «дхана»  или «сва» (имущество), а отрицательные  – «рина» или «кшайа» (долг). Индийские  математики, начиная с Брахмагупты (VII в н.э), систематически использовали отрицательные числа.

       В математику Европы отрицательные числа  вошли в XVI в. сначала их рассматривали как «придуманные» числа, меньше нуля. Понятие отрицательного числа было введено Декартом в XVIIв. 

3. Рациональные числа

       3.1. Дробные числа.

     С возникновением представлений о  целых числах возникали представления  и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида ¹/_n, которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной.

     Чтобы выяснить вопрос о происхождении  дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, - на измерении. Исторически дроби возникли в  процессе измерения.

     В основе любого измерения всегда лежит  какая-то величина (длина, объем, вес  и т.д.). Потребность в более  точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую  получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и  величины измеряли уже этой более  мелкой единицей.

Так возникали  первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а  потом и абстрактные дроби.

  Дроби в Древнем  Риме

Римляне пользовались, в основном, только конкретными  дробями, которые заменяли абстрактные  части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть ¹/₁₂,  ²/₁₂,  ³/₁₂…

     Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо ¹/₁₂   римляне говорили «одна унция», ⁵/₁₂ – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.