Методика изучения числовых систем в курсе математики основной школы

     Сейчас  «асс» - аптекарский фунт.

Дроби в Древнем Египте

      Первая  дробь, с которой познакомились  люди, была, наверное, половина. За ней  последовали ¹/₄, ¹/₈ …, затем ¹/₃ , ¹/₆  и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

      В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы  строить грандиозные пирамиды и  храмы, чтобы вычислять длины, площади  и объемы фигур, необходимо было знать  арифметику.

      Из  расшифрованных сведений на папирусах  ученые узнали, что египтяне 4 000 лет  назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями  строительства, торговли и военного дела.

      Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения  получалось дробное число ³/₄ , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей ½ + ¼ .

Нумерация и дроби в Древней  Греции

     В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел –  отделяли от логистики – искусства  исчисления. Греки считали, что дроби  можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся  с общим понятием дроби вида m/n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции  не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

     В Древней Греции существовали две  системы письменной нумерации: аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям  - Аттика  и Иония. В аттической системе, названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или центе) – пять, ΔЕКА (дека) – десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции.

     Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями  и общие  обыкновенные дроби. Среди разных записей  употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, ⁵/₃ означало три пятых и т.д.

Нумерация и дроби на Руси

      Как свидетельствуют старинные памятники  русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении  с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной  с ионийской. Над буквами-числами  ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.

      В русских рукописных арифметиках  XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

      Славянская  нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Дроби в других государствах древности

     В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место  сокращения дробей и все действия с дробями.

     У индийского математика Брахмагупты  мы находим достаточно развитую систему  дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные  с любым числителем. Числитель  и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.

     Арабы первыми начали отделять чертой числитель  от знаменателя.

     Леонардо  Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:

     

     В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

     Следует отметить, что раздел арифметики о  дробях долгое время был одним  из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в  дроби», что означало – зайти  в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики. 

       3.2. Десятичные дроби. 

    Со  временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее  пользоваться такими мерами, у которых  отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.

          Она возникла во Франции  как одно из следствий буржуазной революции. Новые меры должны были удовлетворять  следующим требованиям:

• основой общей системы мер должна быть единица длины;
• меры длины, площади, объема, вместимости и веса должны быть связаны между собой;
• основную меру длины следовало выбрать так, чтобы она была постоянной «для всех времен и всех народов»;
• основанием системы мер необходимо было взять число, равное основанию системы счисления.

    Во  Франции за основную меру длины приняли  одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана и назвали  ее метром (от греческого слова «метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанных французскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии платиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот почему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичными дробями.

    Однако  следует отметить, что европейцы  не первые, кто пришел к необходимости  использовать десятичные дроби в математике.

    Зарождение  и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.

    Примерно  в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.

    Например, в Китае  в Х веке существовали следующие меры массы:      1 лан = 10 цянь = 10² фэнь = 10³ ли = 10⁴ хао = 10⁵ сы = 10⁶ хо.

    Если  вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

    Более полную и систематическую трактовку  получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином.

    С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

    Развитие  промышленности и торговли, науки  и техники требовали все более  громоздких вычислений, которые с  помощью десятичных дробей легче  было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби. 
 

4. Действительные числа

4.1. Иррациональные числа. 

     Еще в Древнем Египте и Вавилоне ХХ веков назад были известны так  называемые несоизмеримые отрезки ( , ,  π…), которые нельзя было выразить отношением, относительными, рациональными числами.

     Точно не известно, исследование каких вопросов привело к открытию несоизмеримости. Это могло произойти:

• в геометрических расчетах при нахождении общей меры стороны и диагонали квадрата;
• в теории музыки при попытках поделить октаву пополам, что сводится к определению среднего геометрического между 1 и 2;
• в арифметике при определении дроби, квадрат которой равняется двум.

      Речь  шла об отыскании и исследовании величины, которую мы теперь обозначаем . Открытие факта, что между двумя отрезками – стороной и диагональю квадрата – не существует общей меры, привело к настоящему кризису основ, по крайней мере, древнегреческой математики.

Факт  существования несоизмеримых отрезков, тем не менее, не тормозил развитие геометрии в древней Греции. Греки  разработали теорию отношения отрезков, которая учитывала возможность  их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие соотношения по величине, выполнять  над ними арифметические действия в  чисто геометрической форме, иначе  говоря, пользоваться такими соотношениями  как числами.

     Индийцы рассматривали иррациональные числа  как числа нового вида, но допускающие  над ними такие же арифметические действия, как и над рациональными  числами. Например, индийский математик  Бхаскара уничтожает иррациональность в знаменателе, умножая числитель  и знаменатель на тот же самый  иррациональный множитель. У него мы встречаем выражения:

     

      Развивая  тригонометрию как самостоятельную  научную дисциплину, азербайджанский  ученый XIII столетия Насретдин ат-Туси (1201- 1274 гг.) трактует соотношение несоизмеримых величин как числа: «Каждое из этих соотношений может быть названо числом, которое измеряется единицей так же само, как один из членов соотношения обозначается другим из этих членов». Похожую трактовку числа давал и Омар Хайям.

      В Европе существование геометрических несоизмеримых величин в средние  века не оспаривалось, но для многих иррациональные числа были лишь символами, лишенными точно определенного содержания, поэтому их называли «глухими», «недействительными», «фиктивными» и т.д.

      Только  после появления геометрии Декарта (1637 г) началось применение иррациональных, как впрочем, и отрицательных чисел. Идеи Декарта привели к обобщению понятия о числе. Между точками прямой и числами было определено взаимно однозначное соответствие. В математику была введена переменная величина.