Методика изучения числовых систем в курсе математики основной школы

1. Нахождение дроби данного числа.
2. Нахождение числа по данной величине его дроби.
3. Нахождение отношения чисел.

    Понятия «правильная» и «неправильная» дробь  усваиваются учащимися без затруднений, но надо  выделить случай, когда дробь  имеет равные между собой числитель  и знаменатель – это тоже неправильная дробь, о чем иногда забывают учащиеся. В связи с понятием неправильной дроби решается вопрос о выделении  целой части из дробного числа  в процессе решения задачи деления  натурального числа  на натуральное  с остатком.

    Так, например, если надо разделить 5 яблок  на троих детей так, чтобы все  получили поровну , поступим так: раздадим каждому по яблоку, а оставшиеся 2 разделим между тремя, предварительно разрезав каждое на 3 части. Тогда каждый получит  яблока, то есть

    Если  бы мы каждое из пяти яблок разделили  на 3 равные части, то каждый получил  бы яблока. Таким образом: .

    Отсюда  следует правило выделения целой  части из неправильной дроби:

    Сравнение обыкновенных дробей с равными знаменателями  осуществляется с использованием координатного  луча и принципа : чем правее, тем  больше. Отсюда и вытекает и правило  сравнения.

    Отмечая на координатном луче точки с дробными координатами, полезно обратить внимание учащихся на тот факт, что теперь мы уже не можем указать следующего за данным числом. Это понятие плотности  множества рациональных чисел, конечно, дается в неявной форме, на интуитивной  основе.

    Завершается раздел о дробных числах в 5 классе сложением и вычитанием обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Здесь опять должно быть широкое  обращение к наглядным пособия  и координатному лучу.  

3.4. Десятичные дроби. Введение понятия десятичной дроби. 

    Новая программа по математике предусматривает  изучение десятичных дробей непосредственно  после темы : «Дробные числа», включающей в себя понятие обыкновенной дроби, сравнение дробей с одинаковыми  знаменателями и их сложение и  вычитание, и состоит их таких  разделов:

1. Десятичные дроби (17 ч.). десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей. Округление десятичных дробей. Приближенное значение числа.
2. Арифметические действия нал десятичными дробями (44 ч.). сложение и вычитание десятичных дробей. Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000… Умножение и деление десятичных дробей. Начальные сведения о калькуляторе.

    Наиболее  естественным и доступным для  учащихся способом введения понятия  десятичной дроби является использование  десятичной системы мер: 

    Таким образом мы рассматриваем  десятичные дроби, как частный случай обыкновенных, знаменатель которых изображен  записью: 10, 100, 1000,…, говорят: «единицей  с последующими нулями».

    Вслед за этим идет работа по устной и письменной нумерации десятичных дробей с использованием аналогии в нумерации натуральных чисел в процессе решения задач: сначала устная, затем письменная. Сначала десятичные дроби читаются по разрядам: 12, 327 – 12 целых, 3 десятых, 2 сотых, 7 тысячных, а уж затем – чтением числителя и знаменателя сразу: 12 целых 327 тысячных. Соответствующая запись числа:

    +

    Письменная  нумерация (запись десятичных дробей без  знаменателя) проводится параллельно  с чтением десятичных дробей: три  целых двадцать семь сотых- 

    Особое  внимание следует уделить случаям  отсутствия единиц соответствующего десятичного  разряда, например 7. Сравнение десятичных дробей проводится с использованием аналогии сравнения натуральных чисел, только дроби с разными знаменателями следует предварительно привести к общему знаменателю, что осуществляется приписыванием недостающих нулей: .

    Правило сложения десятичных дробей вводим с  помощью правила сложения обыкновенных дробей.

    Форму же записи при сложении - через метрическую  систему мер:

    .

    Так как десятичные дроби – частный  случай обыкновенных, то для них  верны законы сложения.

    Вычитание десятичных дробей рассматривается  как действие обратное сложению, рассматривается  сразу же после введения сложения с помощью аналогичных рассуждений.

    При умножении десятичных дробей мы не можем использовать правило умножения  обыкновенных дробей, так как учащиеся его не знают. И в этом определении  недостаток рассматриваемой последовательности изучения обыкновенных и десятичных дробей.

    Каков же выход из этой ситуации? Учащиеся знают правило вычисления площади  прямоугольника для случая, когда  длины его сторон выражаются натуральными числами. Полагая, что это правило  сохраняется и для случая, когда  длины сторон измеряются десятичными  дробями, учитель приходит к соответствующему правилу умножения десятичных дробей:

    .

    Из  этого правила следуют частные  случаи умножения на 10, 100, 1000,… Если же начинать изучение умножения с  этих частных случаев, (что предусмотрено  новой программой по математике), то схема рассуждений будет иной.

    Начать  можно с повторения  свойства суммы: если каждое слагаемое увеличить  в несколько раз, то сумма увеличится во столько же раз: ,  .

    Вслед за этим рассмотреть, сто происходит с десятичной дробью при перенесении  запятой на один, два, три,.., десятичных знака вправо (влево).  Учащиеся видят, что каждая разрядная единица  при этом увеличивается (уменьшается) в 10, 100, 1000,… раз.

    Отсюда  и следует правило умножения  на 10,..(0,1;…) сводящееся к переносу запятой  вправо (влево ) на 1,2,3 ,  … десятичных знака. Также следует обратить внимание на случаи: 
 

    Теперь  правило умножения десятичных дробей можно разъяснить так: . Увеличим множитель в 10 раз и найдем произведение , которое также увеличилось в 10 раз. Поэтому для получения искомого результата его надо уменьшить в 10 раз.

    Затем после рассмотрения ряда таких примеров переходят к обычной записи в  столбик с формулированием соответствующего правила. При любом из этих подходов, если не использовать правило умножения  обыкновенных дробей, то эти рассуждения  не являются доказательными, а лишь объяснениями соответствующего правила.

    Деление десятичных дробей рассматривается  как действие, обратное умножению, и  изучается в такой последовательности:

1. Деление на натуральное число.
2. Деление на десятичную дробь.

    Понятие о приближенном значении числа и  правилах округления рассматриваются  сразу же после сравнения десятичных дробей. 

    3.5. Методика изучения обыкновенных дробей в 6 классе. 

    Возвращаясь к изучению дробных чисел в 6 классе, мы должны учитывать возросший уровень  математической подготовки учащихся, ознакомившихся в 5 классе с понятием дробного числа, сложением и вычитанием дробей с равными знаменателями, положительными и отрицательными числами и на этой основе выработать у учащихся прочные умения и навыки действий над обыкновенными дробями, установить законы действий, показать их применение к упрощению вычислений.

    Больше  внимания должно быть уделено решению  задач, как подводящих к введению правил действий над дробями, так  и использующих эти правила в  ходе решения.

    Перед изучением действий над обыкновенными  дробями в 6 классе рассматриваются  такие вопросы, относящиеся к  дробям: основное свойство дроби, сокращение дробей, приведение двух дробей к наименьшему  общему знаменателю и сравнение  дробей.

    В 6 классе, используя наглядные иллюстрации (круг, квадрат, координатный луч и  т.п) подготовим учащихся к выводу, сто  при умножении числителя и  знаменателя дроби на одно и тоже натуральное число получается равная ей дробь.

    Вслед за этим рассматривается вопрос о  сокращении дробей в тесной связи  с основным свойством дроби и  понятием наибольшего общего делителя.

    Весь  этот материал подготавливает почву  для изучения действий над обыкновенными  дробями. Как уже говорилось ранее, прямые действия в теоретических  курсах определяются, то есть правила  ,  есть определения, а поэтому они не могут быть доказаны.

    В школе такой формальный подход к  введению правила сложения дробей в 6 классе неприемлем. Поэтому стараются  раскрыть содержание этих определений  через решение задач с конкретным содержанием. Такая работа проводилась  еще в 5 классе. Ее надо продолжить и  в 6 классе, где сложении двух дробей с разными знаменателями сводится к сложению двух дробей с равными  знаменателями.

    Наряду  с применением различных средств  наглядности здесь полезно использовать аналогию со сложением чисел. Далее идет проверка законов сложения: переместительного и сочетательного с помощью конкретно-индуктивного метода.

    При закреплении и развитии умений и  навыков сложения дробей надо соблюдать  определенную последовательность в  выборе системы упражнений, руководствуясь принципом « от простого – к  сложному»:

    1. Сумма двух правильных дробей  – правильная дробь.

    а) Знаменатели дробей – взаимно- простые  числа. 

    б) Знаменатель одной дроби кратен знаменателю другой. 

    в) Знаменатель дробей не удовлетворяет  ни а) ни б). 

    2. Сумма двух правильных дробей  – неправильная дробь.

    а)

    б)

    в)  

    Можно свести доказательство к использованию  соответствующих законов в 

    N:   Аналогично  для .

    3. Сложение смешанного числа с  правильной дробью:

      .

    4. Сложение смешанных чисел.

     . 

    Вычитание дробей рассматривается как действие обратное сложению. В последние годы обратные действия рассматриваются  не после длительных упражнений на прямые действия, а вместе с ними или как можно ближе с ними. Это позволяет не только усилить  элемент сознательности при усвоении материала, но за тот же промежуток времени сделать более прочными вычислительные навыки.

    Система упражнений на вычитание дробей аналогична той, которая приведена для сложения, но требует особого внимания к  случаю, когда разность числителей не существует и необходимо одну единицу  уменьшаемого раздроблять в соответствующие  доли.

    Умножение дробей, разъяснение его смысла, требует определенной подготовительной работы, в связи с тем, что десятичные дроби изучаются до систематического изучения обыкновенных дробей, смысл умножения дробей раскрывается через правило умножения десятичных дробей.

    Так как  , то . По неполной индукции делается общий вывод о правиле умножения дробей.

    Наряду  с этим нужно рассмотреть задачу на нахождение дроби данного числа.

    Задача. Поезд идет со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 3 часа, за часа, за часа?

    В первом случае задача решается умножением (км).

    Во  втором случае находим: км. Обозначая решение тем же действием, получим км.

    В третьем случае сначала находим  часть от 60 : , а затем – 3 такие части км. В записи: км.

    Установив правило умножения дробей, доказываем конкретно – индуктивным методом законы умножения дробей: переместительный, сочетательный, распределительный:

    .  Другие законы  доказываются аналогично.

<