Методика изучения числовых систем в курсе математики основной школы

 

Министерство  образования и науки РФ

Армавирский государственный педагогический университет

Кафедра алгебры, геометрии и МПМ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

Тема: «Методика изучения числовых систем

в курсе математики основной школы» 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                                                 Выполнила студентка

                                                                                                                                 М-инф  гр. 4-1

                                                                                                                                 Зимовцова Альбина 
 
 
 
 
 

Армавир, 2009 г. 
 

Содержание:

Введение………………………………………………………………………………….3

Глава 1 . Развитие понятия  числа в математике…………………………………..6

1. Натуральные  числа……………………………………………………………………6

               1.1. Возникновение натурального числа……………………………………..6

               1.2. Построение множества натуральных  чисел……………………………..7

2. Целые числа……………………………………………………………………………9

       2.1. Множество целых чисел…………………………………………………….9

       2.2. Отрицательные числа……………………………………………………….10

3. Рациональные  числа…………………………………………………………………..11

       3.1. Дробные числа………………………………………………………………11

       3.2. Десятичные дроби……………………..……………………………………14

4. Действительные  числа………………………………………………………………..15

               4.1. Иррациональные числа…………………………………………...………15

5. Комплексные  числа……………………………….......................................................17 

Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе………………20

1. Анализ программы  по математике…………………………………………………...20

2. Методика изучения натуральных чисел......................................................................24

3. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей…………………............29

4. Методика изучения отрицательных чисел…………………………………..............38

5. Построение множества рациональных чисел в школьном курсе математики.........40

6. Методика изучения действительных чисел …………………………………….…...41 

Заключение…………………………………………………………………………..…..44 

Использованная  литература……………………………………………………….......45 

Приложение………………………………………………………………………..…….46

Приложение  №1 : «Таблицы  разрядных  единиц »……………………………..…46

Приложение  №2: «Урок –путешествие. »…………………………............................47

Приложение  №3. Внеклассное мероприятие  по математике для 6 класса…..….51 
 
 
 
 
 
 

Введение  

    Понятие числа прошло долгий исторический путь развития. Оно сложилось постепенно в процессе решения все более и более сложны вопросов сначала практического, а потом и теоретического характера, и является одним из древнейших понятий математики.

    К сожалению, когда к концу XIX века развитие математики остро поставило вопрос ее логического обоснования, оказалось, что так называемых «первобытных» народов почти не оказалось. Империалистическая политика капиталистических стран привела к тому, что одни из них, как например, австралийское племя тасманийцев, были уничтожены, а другие потеряли собственную культуру. Поэтому при восстановлении стадий развития числа приходиться пользоваться  скудным материалом. Однако вопрос происхождения числа весьма важен как в историческом плане, так и для разоблачения идеалистической теории, согласно которой понятие числа и даже всего натурального ряда является у человека врожденным. 

    Ф.Энгельс  писал: «Понятие числа и фигуры заимствованы из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, то есть производить первое арифметическое действие, представляют что угодно, но только не свободное творение рассудка».

    Изучение  культуры племен в эпоху географических открытий и позднее показало, что  многие из них обходились только двумя  числительными: один и два. Остальные  образовывались их сочетаниями: 3- «два - один», 4- «два-два», 5 – «два – два - один» и т.д.

    С развитием обмена развивался счет. Уже у древних египтян и  вавилонян были системы нумерации. Обе не позиционные. Из позиционных  систем нумераций древнейшей из известных  является вавилонская шестидесятеричная. Она не имела абсолютного характера, так как в ней не было нуля.

    В начале нашей эры , позиционная система  счисления появилась у племен майя с основанием системы -20.

    Запись  в позиционной десятичной системе  с употреблением нуля появилась  в Индии около 500 г. н.э. эта система через арабские страны дошла до Испании в X веке. Общеупотребительной она стала в Европе в XV-XVI веках, а в России - в XVII веке.

    Дробями пользовались уже древние египтяне и вавилоняне. Греческие математики за несколько веков до н.э. установили недостаточность рациональных чисел  для строгого решения задач измерения  длин и вплотную подошли к понятию  действительного числа, создав теорию пропорций.

    Представление об отрицательных числах сложилось у индийцев около 500 г. Н.э., которые рассматривали их в связи с расчетами на имущество и долг.

    Понятие комплексного числа возникло с развитием  алгебры в XVI веке . В середине XIX века Дедекинд построил теорию действительного числа.

    В это же время Гамильтон построил первую гиперкомплексную систему –  тело кватернионов: множество чисел  вида , где

    Для математики множество N натуральных чисел является исходным для построения других числовых систем путем последовательного расширения предыдущих. При этом задача расширения понятия числа включает в себя выполнимость таких требований:

1. Если множество расширяется до множества то .
2. Все отношения и операции для элементов определены также и для элементов множества причем их смысл для элементов , рассматривается как элемента должен совпадать с тем, какой они имели в до расширения.
3. Операция, в связи с которой строится расширение , которая в была не выполнима. Или не всегда выполнима, в – всегда выполнима.
4. Из всех расширений расширение B должно быть минимальным, то есть таким, которое содержится в любом другом расширении  .

    В математике логическая схема расширения понятия числа имеет вид:

    .

    Как видно, она отличается от исторического  пути развития понятия числа.

    В школьном курсе математики последовательность расширения понятия числа отлична  от принятой в математике. Она ближе  к историческому пути развития понятия числа.

    В начальной школе и 5 классе рассматривается  множество - множество натуральных чисел и нуля. Затем в 5 классе изучается понятие дробного числа и десятичные дроби -  множество .

    В 6 классе завершается изучение дробных  чисел, и изучаются сначала целые  числа – множество  , а затем рациональные числа – множество .

      В 8 классе дается понятие иррационального  числа и рассматривается множество действительных чисел R.

    Изучение  множества комплексных чисел  новой программой по математике не предусматривается.

    Объектом  исследования являются числовые множества.

    Предметом - рассмотрение методики преподавания числовых систем в средней школе.

    Целью курсовой работы является выявление  методических принципов способствующих эффективному усвоению теории числовых систем в школьном курсе математики. 

    Задачи  курсовой работы:

• Анализ литературных источников.
• Анализ школьных программ и учебников.

Структура курсовой работы:

Введение.

Глава 1 . Развитие понятия числа в математике.

Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе.

Заключение.

Использованная  литература.

Приложение . 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1 . Развитие понятия  числа в математике

1. Натуральные числа

               1.1. Возникновение  натурального числа

    О возникновении понятия числа  Энгельс говорил следующее: «Понятия числа и фигуры взяты не откуда – нибудь, а только из действительного  мира десять пальцев,  на которых  люди учились считать, т.е. производить  первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творческого  разума».

    Понятие натурального числа вырабатывалось очень медленно. Об этом можно судить по тому, как считали племена, еще  совсем недавно стоящие на разных ступенях первобытнообщинного строя. Процесс формирования понятия натурального числа протекал в общих чертах следующим образом. На ранней ступени  первобытного общества еще не было отвлеченного понятия числа. Это не означает, что первобытный человек не имел представления о количестве предметов конкретно данной совокупности, например, о количестве людей участвующих в охоте, о количестве озер и т.д. На первой ступени, число указывается уже как свойство совокупности предметов, но еще не отделяется от нее как «отвлеченное число», как число, не связанное с конкретными предметами. Здесь числа являются как бы «именованными», относящимися только к определенному роду предметов.

    Возникновение понятия натурального числа вызвано  потребностью счета предметов. Сведения о результатах счета первоначально  хранили при помощи зарубок на дереве или узелков на веревке. Старейшей  известной в настоящее время  записью числа является запись на кости в вие 55 зарубок, расположенных  по 5. Эта кость найдена в Чехословакии в 193 году. Запись на ней сделана в  XXX в. до нашей эры. Предполагают, что кость служила для записи трофеев доисторических охотников. В Западной Европе в XVIII веке пользовались зарубками, обозначающими долги на бирках, раскалывающихся на две половины, одна из которых храниться у должника, другая у кредитора. С течением времени для обозначения чисел начали применять различные символы. Сначала числа обозначали черточками на материале, служащими для записей. Затем были введены знаки для чисел. Параллельно с развитием письменности понятие натурального числа приобретает все более отвлеченную форму. Все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимое в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

      Весьма существенным шагом в развитии понятия натурального числа явилось осознание бесконечности ряда натуральных чисел, т.е. потенциальной возможности его неограниченного продолжения. Четкое представление о бесконечности натурального ряда отражено в трудах античных ученых (III в. до н.э). В «Началах» Евклида установлена даже бесконечная продолжаемость ряда натуральных чисел. В сочинении Архимеда «Псаммит» указаны  принципы построения названий и обозначений сколь угодно больших чисел, в частности больших, чем «песчинок в мире».