Методика изучения числовых систем в курсе математики основной школы

    При делении натуральных чисел рассматриваются  задачи на нахождение делимого по данному  делителю и известному частному, а  также задачи нахождения неизвестного делителя по данному делимому и известному частному, то есть решаются уравнения  вида :   и

    Законы  сложения и умножения следует  применять к рационализации устных и письменных вычислений. Это не только показывает необходимость их изучения, но и будет способствовать закреплению знаний. Например,

     1.

      .

    При изучении действий над натуральными числами и их законов, учащиеся не употребляют слов «определим», «докажем», «примем по определению», но они  должны понимать смысл употребляемых  фраз, связанных с этими понятиями (называется, примем, покажем). Учитель должен четко разграничивать эти понятия и понимать их смысл. Иначе преподавание будет вестись без соблюдения дидактического принципа – принципа научности, что недопустимо.   

2.4. Простые и составные натуральные числа. Разложение натурального числа на простые   множители. НОК и НОД двух натуральных чисел.

    Данный  материал новой программой отнесен  к 6 классу, в котором он изучается  непосредственно перед рассмотрением  обыкновенных дробей и служит базой  для их изучения. Понятие простого и составного числа можно вводить, рассматривая, например таблицу всех натуральных чисел от 1 до 100, в которой все числа разбиваются на три класса по признаку числа делителей:

• К  первому классу отнесено одно число 1, имеющее только один делитель.
• Ко второму классу – числа, имеющие только два делителя: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…этими делителями являются 1 и само число.
• К третьему классу – числа, имеющие более двух делителей : 4, 6, 8, 10 ,12, 14, 15, 16,…

       Числа второго класса называют простыми, а третьего – составными. Число 1 не является ни простым ни составным  числом. Учителю необходимо добиться того, чтобы учащиеся знали все  простые числа от 1 до100. Можно ознакомить школьников со способом получения простых чисел методом решета Эратосфена, а также рассказать о доказательстве еще Евклидом бесконечности множества простых чисел. Другие сведения о простых числах и связанных с ними проблемах можно отнести на кружковую работу.

       Разложение  натурального числа на простые множители  обычно осуществляется последовательным делением данного числа на простые  числа. Запись оформляется так:

        504   2

252   2

                 126   2

                  63    3

                 21   3

                  7    7 

                  1      

    Понятие наибольшего общего делителя двух чисел  разъясняется на примере выписывания  всех делителей каждого из данных чисел, затем – общие делители и наибольшего общего делителя.

    24. Делители: 1,2,3,4,6,8,12,24.

    18. Делители: 1,2,3,6,9,18.

    Общие делители : 1,2,3,6.

    НОД(24; 18)=6.

    Отыскание  НОД  двух чисел практически осуществляется предварительных разложением их на простые множители с последующим  составлением произведения общих простых  множителей с наименьшим показателем  степени: 

24=,  НОД (24,18) = 6.

    В порядке кружковой работы можно  рассмотреть алгоритм Евклида нахождения НОД(). Рассматривая понятие взаимно – простых чисел НОД ()=1 надо обратить внимание учащихся на тот факт, что сами числа могут быть и составными.

    Методика  изучения НОК() аналогична методике изучения НОД(). Для двух данных чисел выписываются их кратные. Затем выбирают общие кратные, а из них – наименьшее общее кратное. НОК(15, 12)=60.

    На  практике  НОК()  находят с помощью разложения чисел на множители, составив произведение из всех простых множителей разложения с наибольшими показателями степени: НОК(24,18)=

    Введение  понятия НОД и НОК лучше  начинать с конкретной задачи. На кружке можно рассмотреть связь между  НОД  и НОК:

    НОК ()=. 

3. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей

       3.1. Последовательность изучения обыкновенных и десятичных дробей в школьном курсе математики.

    В школьном курсе математики вслед  за натуральными числами изучаются  дробные числа. Понятие о дробном  числе формулируется, как понятие  о натуральном числе, путем абстракции : половина яблока, треть пирога и  т.п. необходимость дробных чисел  диктуется практическими запросами, связанными с делением целого на части  и задачей измерения длин.

    Очень важно, чтобы ученики отчетливо  представляли себе, что дробное число  может быть записано различными способами, например, . Все это различные записи одного и того же дробного числа. Поэтому - это запись дробного числа с помощью обыкновенной дроби; - с помощью десятичной дроби; 50% - с помощью процентов.

    Обыкновенные  дроби в практических расчетах используются редко. Чаще применяются десятичные дроби. Это, однако, не уменьшает их роли в обучении, они очень важны, необходимы для сознательного успешного  овладения школьниками действий над алгебраическими дробями, выполнения тождественных преобразований дробно-рациональных выражений. Слабое знание действий над обыкновенными дробями приводит к формальному и мало осмысленному усвоению учащимися действий над дробями.

    Десятичные  дроби представляют собой частный  случай обыкновенных. Это дроби, знаменатель  которых есть 10. Исторически они  появилась после обыкновенных дробей. Правила действий над ними непосредственно  следуют из правил действий над обыкновенными  дробями.

    Долгое  время они в таком порядке  и изучались в школьных курсах математики. Но уже на I Всероссийском съезде преподавателей математики (1911 г.) был поднят вопрос о пересмотре такого порядка изучения обыкновенных и десятичных дробей. В методическом плане это связано с тем, что действия над десятичными дробями аналогичны действиям над натуральными числами и легче усваиваются учащимися, чем соответствующие действия над обыкновенными дробями. К тому же десятичные дроби широко применяются на практике. В связи с этим в методике математики существует проблема порядка изучения обыкновенных и десятичных дробей. Рассмотрим возможные подходы к решению этой проблемы:

1. Вначале изучаются обыкновенные дроби, а затем – десятичные (традиционный подход);
2. Вначале изучаются десятичные дроби, а потом –обыкновенные;
3. Смешанный вариант, при котором изучение обыкновенных и десятичных дробей чередуется.

    В действующих учебниках математики V класса по математике придерживаются смешанного варианта. Программой предусмотрено в 5 классе изучение темы «Дробные числа»(20 ч) изучаются следующие вопросы:

• Обыкновенная дробь. Числитель и знаменатель дроби. Выделение целой части дробного числа. Среднее арифметическое нескольких чисел.
• Сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.
• Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

    Вслед за этим изучаются десятичные дроби (17 ч.) и арифметические действия на ними (44 ч.). изучение десятичных дробей начинается и заканчивается в 5 классе.

    В 6 классе продолжается изучение обыкновенных дробей. В теме «Основное свойство дроби» рассматриваются вопросы  о сокращении дробей, приведении двух дробей к наименьшему общему делителю и сравнение дробей. После этого  изучаются арифметические действия над обыкновенными дробями и  основные задачи на дроби: нахождение дроби числа, числа по дроби (36 ч.).

    Опыт  предшествующих лет работы показал  методическую целесообразность такого порядка изучения обыкновенных и  десятичных дробей. При этом удается  в определенной мере соблюсти логическую последовательность изучения материала  и доступность его изложения. 

3.2. Пропедевтика изучения понятия дроби в начальной школе. 

    Первоначальное  знакомство учащихся с обыкновенными  дробями происходит еще в начальной  школе, где они знакомятся с получением и сравнением долей единицы. При  этом широко используют соответствующие  картинки и чертежи. Вводятся символы для обозначения этих долей.  Решаются задачи на нахождение доли числа и числа по его доли. Затем, также на моделях, вводится понятие дроби, ее числителя и знаменателя (знаменатель показывает какие доли единицы рассматривать, а числитель – сколько таких долей взято).

    Учащиеся  сравнивают дроби с одинаковыми  знаменателями. Решают задачи на нахождение дроби числа, и числа по данной величине его дроби . все изложение  ведется на наглядной, интуитивной  основе и служит целям предварительной  информации к последующему систематическому изложению материала в средней  школе. Требования к математической подготовке учащихся начальной школы  не содержат упоминание о дроби.

     

3.3. Содержание и методика изучения дробных чисел в 5 классе.

    Содержание  темы «Дробные числа» преследует цель развития понятия о дробном числе, полученное учащимися в начальной  школе, и подготовку базы для изучения десятичных дробей. Сначала учащиеся повторяют, закрепляют понятие доли целого с опорой  на наглядность.

    Центральным в этой теме является понятие обыкновенной дроби. Оно вводиться таким образом (аналогично тому, как это делалось в IV классе): приводиться рисунок с изображением пирога, разрезанного на четыре равные части. Одна из них лежит на одной тарелке, а три других – на другой. Говорят: «На первой тарелке лежит одна четвертая пирога, а на второй – три четвертых части пирога». Пишут «пирога, пирога». Далее сообщают, что такие числа, как и , называют обыкновенными дробями. В дроби число 3 называют числителем дроби, а число 4 – ее знаменатель.

    Характеристика  дроби начинается со знаменателя: знаменатель  показывает, на сколько равных частей разрезан пирог, а числитель –сколько надо взять таких частей. Числитель  пишут над чертой, а знаменатель  под чертой. Проведенные разъяснения  повторяются на других примерах. Вместо пирога можно взять круг (отрезок, яблоко), разделенный на шесть (восемь, семь) равных частей.

    В соответствии с изложением можно  предложить следующую методическую схему введения обыкновенной дроби  в 5 классе :

1. Выполнить материализованные действия по делению предмета на равные части.
2. Сообщить термины «одна четвертая», «три четвертых».
3. Ввести записи и .
4. Сообщить термины «обыкновенная дробь», «числитель дроби», «знаменатель дроби».
5. Дать содержательную характеристику дроби.
6. Привести другие примеры дробей, записать и прочитать их.

    Важнейшим элементом методики изучения чисел  является убеждение учащихся в целесообразности введения новых чисел. Возможность  записать доли с помощью обыкновенных дробей является одним из приемов  убеждения учащихся в необходимости использования   дробей.

    Помимо  этого существуют еще два других приема, показывающих необходимость  введения дробных чисел. Мотивировать введение дробных чисел можно  также тем, что с их помощью  операция деления натуральных чисел  делается выполнимой. Как известно, во множестве натуральных чисел  число 2 не делится на 3. Дополним это  множество дробями, и вновь рассмотрим деление числа 2 на 3.пусть требуется 2 яблока разделить между 3 учениками. Как это сделать?

    Третий  прием мотивации дробных чисел  связывается с задачей измерения  величин. Пусть требуется измерить длину отрезка в сантиметрах (выбирается отрезок, длина которого меньше 1 см). при измерении учащимися отрезка обнаруживается, что его длина меньше 1 см. для измерения такого отрезка удобно привлечь доли 1 см – миллиметры, при этом учитывая, что . пусть длина отрезка оказалась равной 9 мм. Это означает, что отрезок содержит сантиметров . как видно длина данного отрезка выражается в сантиметрах дробным числом.

    Непосредственно на моделях, в том числе на отрезках, школьники видят, что например и т.д. все это – равные дроби, являются различными обозначениями одного и того же дробного числа. В порядке закрепления понятия обыкновенной дроби решают три основных  типа задач на дроби: