Теория арбитражного ценообразования

где a), ... A^ относится ко всем инвестициям без риска связанного с предприятиями.

 Уравнение  арбитражной теории ценообразования,  уравнение 6.7 представляют собой  связь между риском и ожидаемым  доходом, которая должна быть  удовлетворена при отсутствии  возможности для арбитража. Левая  сторона уравнения представляет собой ожидаемый доход от инвестиций. Правая сторона представляет собой ожидаемый доход от отслеживаемого портфельного капитала с такими же факторами бета, как и инвестиции. Следовательно уравнение 6.7 представляет собой равенство, где арбитраж отсутствует: знак равенства означает что ожидаемый доход от инвестиций должен быть таким же как и от отслеживаемого портфельного капитала.  

Построение  графика уравнения  Дохода к Риску APT

В случае одного фактора график уравнения 6.7 запечатленный на Эскизе 6.5, весьма схож с графиком рыночной линии ценных бумаг, изображенном в части B эскиза 5.5 в предыдущей главе. На одной из осей - бета или фактор бета ценной бумаги, на другой - средний доход. В данном случае, отношение дохода к риску является прямой. Согласно результатом в этом разделе, если арбитража нет то все инвестиции дольны лежать на данной прямой. 

В случае с двумя факторами, уравнение 6.7 представляет собой трехмерную  плоскость. Местоположение и наклон плоскости зависят от безрискового дохода, который является высотой между плоскостью и основанием, и от двух премий за риск, или терминов “A” в примитивных ценных бумагах. Если нет арбитража, то все инвестиции должны принадлежать плоскости. (см. Эскиз 6.6 на странице 220).

Эскиз 6.6 Зависимость Среднего Дохода от Акции и от ее Факторов Бета в Многофакторной Модели

Чтобы выяснить подтверждается ли теория Арбитражного Ценообразования, не стоит смотреть на графики (тем более что это  невозможно если существует больше двух факторов)  или создавать отслеживающий портфельный капитал. Вместо этого, имея больше чем K+1 ценных бумаг в ^”- факторной модели, стоит определить будет ли ряд терминов A являться показателем ожидаемого дохода от всех ценных бумаг. Один из способов это определить-  решить для количества K терминов A используя количество K+1 ценных бумаг и проверить соответствуют ли термины A уравнению 6.7 для остальных инвестиций. Если да, то APT подтверждается, если нет, то APT нарушается и появляется возможность для арбитража (учитывая что условия факторной модели соблюдены). Пример 6.9 показывает алгоритм проверки для выяснения обладают ли термины A вышеупомянутым свойством. 

Пример 6.9: Определение  Наличия Арбитражей.

Допустим, что  данная 2х факторная модель определяет доходы по четырем ценным бумагам: три ценные бумаги с риском, пронумерованные 1, 2 и 3 и одна безрисковая.

r/=.05

Fi = .06 + OF, + .02 fz ?2= .08 + .02Fi + .01 fz /3 = .15 + .04Fi + .04F2

Существует ли арбитраж?

      Ответ: APT уравнение дохода от ожидаемого риска гласит:

/;=r/+/3,iAi+^3,2^2, для ценных бумаг 1 и 2 это означает:

.06 = .05 + OAi + .02A2

и

.08= .05 + .02A, +.01A2

Первое уравнения  подразумевает Ag=0.5. Подставляя это  значение для Ag во второе уравнение  получаем Ai=1.25. Используя найденные  значения для уравнения APT для ценной бумаги 3, проверим если: 

.15 равняется [.05 + .04(1.25) + .04(.5)] 

Исходя  из того, что правая часть равна 0.12, что меньше чем значение левой  части, 0.15, будет существовать арбитраж. Долгосрочная позиция ценной бумаги 3 (с высоким ожидаемым доходом) и равная коротко срочная позиция отслеживаемого портфельного капитала, сформированного из ценных бумаг 1, 2 и безрисковой бумаги создают условия для арбитража.

Если  бы в Примере 6.9 ожидаемый доход  ценной бумаги 3 равнялся 0.12, то арбитража  бы не существовало. Тем не менее, из-за того, что ее ожидаемый доход равный 0.15 превышает ожидаемый доход от отслеживаемого портфельного капитала равный 0.12,то неарбитражное отношение дохода к риску  в уравнении 6.7 оказывается нарушено. Появление предпосылок для арбитража в данном случае, не означает что ценная бумага 3 имеет заниженную рыночною стоимость или что ее отслеживаемый портфельный капитал имеет завышенную рыночною стоимость. Все что мы знаем из данного примера это то, что ценная бумага 3 имеет заниженную стоимость относительно ее отслеживаемого портфельного капитала. 

Альтернативный  способ определения существования  арбитража это проверить будет  ли уникальный набор терминов A выдавать ожидаемый доход ценных бумаг. В  данном случае решим для ряда терминов A используя группу ценных бумаг (количество ценных бумаг в группе равно единице плюс количество факторов). Затем решим снова, используя другую группу ценных бумаг. Если различные наборы терминов A равны, то арбитража не существует, если нет, то появляется арбитраж. Пример 6.10 иллюстрирует данный метод. 

Пример 6.10: определение уникальности факторных премий риска.

Мы используем данные из Примера 6.9 для сравнения  пары терминов A из Примера 6.9 с парой  терминов A найденных при помощи ценных бумаг 2, 3 и безрискового актива, чтобы определить наличие арбитража.

      Ответ: APT уравнение дохода от ожидаемого риска гласит:

n=rf+ JS.iA,+ (3,2\2 

В Примере 6.9 мы определили, что используя безрисковые  активы и ценные бумаги 1 и 2 чтобы  решить для терминов A и Az  мы получили:

Ai = 1.25    and    Ag = .5

Использование ценных бумаг 2 и 3 и безрискового актива чтобы решить для термина A, требует  решения следующих уравнений:

.08= .05 + .02A, + .01 Az .15= .05 + .04A, + .04A2 

Из первого  уравнения следует A^ = 3 - 2A,. Подставляем это во второе уравнение и решаем для A, получаем A=0.5, из чего получаем, подставив в первое уравнение, Ag=2. Так как эта пара A отличается от первой пары, то уравнение APT не удовлетворено и следовательно возникает арбитраж. 

Если  бы ценная бумага 3 в последнем примере обладала ожидаемым доходом 0.12, то вторая пара терминов A равнялась бы первой. И следовательно не было бы арбитража.  Эскизы 6.7 и 6.8 иллюстрируют данный способ в общих чертах. На графике изображены факторные премии за риск,  которые соответствуют APT уравнению дохода от ожидаемого риска 6.7 для каждой из трех рисковых ценных бумаг в последнем примере. Значения для термина A находятся вдоль горизонтальной оси, а значения A^ находятся на вертикальной оси. Как вы можете наблюдать решение системы уравнений аналогично нахождению точки пересечения прямых. Пересечение прямых для ценных бумаг 1 и 2 (2 и 3) представляет собой первую (вторую) пару факторных премий за риск. На Эскизе 6.7, пресечение прямых, соответствующих ценным бумагам 1 и 2 в точке A, не лежит на прямой для ценной бумаги 3. Для устранения арбитража, который бы возник, если ожидаемый доход по ценной бумаге 3 был бы равен 0.12, все три прямые должны пересекаться в одной точке, точке A на Эскизе 6.8. Все другие существующие ценные бумаги должны также иметь уравнения прямых, проходящих через эту точку.

Зависимость риска и ожидаемого дохода/Ценные бумаги с определенным для  фирмы риском

     До  этого пункта, в  главе шестой была  рассмотрена   связь среднего ожидаемого дохода и риска для портфелей ценных бумаг, которые не имеют определенного для фирмы риска.  При  достаточно большом  количестве ценных бумаг, однако, APT уравнение зависимости среднего дохода и риска (6.7) также должно действовать, по крайней мере приблизительно, для отдельных ценных бумаг содержащих определенный для фирмы риск.

     Часть вторая. Оценка финансовых активов. 

     Нарушения уравнения APT для маленького набора акций не допускают арбитража. Как показал последний параграф, возможность арбитража существует всякий раз, когда портфель ценных бумаг без определенного для фирмы риска нарушает уравнение APT . Однако относительно малое число акций с определенным для фирмы риском может нарушить уравнение 6.7 без обеспечения возможности арбитража. Чтобы это понять, выберите инвестиционную возможность, которая может возникнуть, если акции IBM упадут в цене и обеспечат инвестору ожидаемый доход в 5 процентов свыше того, дохода, который ожидается по уравнению APT. И хотя это обеспечивает очень хорошую возможность инвестировать, это не обязательно обеспечивает возможность безрискового арбитража. Инвесторы, которые хотят получить преимущество от этого занижения цены должны иметь в своем портфеле существенный процент акций IBM, которые обладают определенным для IBM риском.

     Нарушение уравнения APT при большом числе акций подразумевает арбитраж.

     Теперь  рассмотрите, что произойдет, если 300 акций предлагают ожидаемый доход, превышающий доход рассчитанный по APT уравнению. Если бы так было, то стало бы возможным формировать портфель из таких акций, которые фактически не имеют специфического  риска фирмы. Как только этот диверсифицированный портфель недооценен по уравнению APT, возникает возможность арбитража. Инвестор может получить арбитражную прибыль путем:

1. Формирования портфеля из этих 300 акций, которые почти полностью избегают риска фирмы.
2. Затем, устранить  фактор риска портфеля через устранение риска фактора портфеля в пункте 1, придерживаясь смещенной  позиции в примитивном портфеле.

     Этот  аргумент наводит на мысль, что число  ценных бумаг, недооцененных по APT  не должно превышать минимум, необходимый для формирования портфеля, который фактически устраняет специфический риск фирмы. Количество, которое может быть недооценено зависит от того, что означает «фактически устраняет». Полное устранение риска требует бесконечного числа акций. На практике, с большим, но ограниченным числом акций безарбитражное предложение не требует всех акций для удовлетворения APT уравнения. Однако большое количество активов, подразумевает, что эта денежная модель, уравнение 6.7, должно применяться более - менее точно для большинства активов.