Использование примитивных ценных бумаг, чтобы проследить возвраты ценой бумаги. 

Пример 6.8 демонстрирует, как использовать факторный портфельный  капитал и устойчивые активы, чтобы  проследить возвраты другой ценной бумаги. 

Пример 6.8: Отслеживание и Арбитраж примитивной ценной бумаги.

При наличии  двух факторной модели, найдите комбинацию устойчивых ценных бумаг с 5% возвратом  и двумя примитивными ценными  бумагами из примера 6.6 который отслеживает  ценную бумагу с факторным уравнением:

r= .08 + 2Fi - .SFg

Затем, найдите ожидаемей доход отслеживаемого портфельного капитала и определите, существует ли арбитраж. Напомним, факторные уравнения для двух примитивных ценных бумаг(см. Пример 6.7) были даны соответственно: 

ffpi = .06 +F,+ OFg

ffp2 = .04 + OFi + Fa 

Ответ: чтобы проследить двух факторную бету ценной бумаги, присвойте вес, равный двум, 1-ому факторному портфельному капиталу и вес -0.6 факторному портфельному капиталу два. Исходя из того, что сумма весов теперь 1.4, то это законный портфельный капитал с весом -0.4 для безрискового актива. Ожидаемый доход от этого портфельного капитала является средневзвешенным от ожидаемых доходов безрисковых активов: факторного портфельного капитала 1 и факторного портфельного капитала 2 и представляет собой;

      -.4(.05) + 2(.06) - .6(.04) = .076

Возможность арбитража существует, так как  ожидаемый возврат в 7.6% отличается от 8% возврата отслеживаемой ценной бумаги; как показано 0.08 пересечением (и общей договоренностью, описанной  ранее, что средние факторы равны  нулю)

Ожидаемый возврат отслеживаемого портфельного капитала

В Примере 6.8 отслеживаемый портфельный капитал  является средневзвешенным от двух факторных  портфельных капиталов и безрисковых  активов. Факторный портфельный  капитал 1 используется исключительно  для определения целевого фактора 1 бета. Факторный портфельный капитал 2 используется исключительно для нахождения целевой чувствительности к фактору 2. Устойчивые активы используются только для того, чтобы суммарный вес отслеживаемого портфельного капитала составлял единицу. Обратите внимание, что ожидаемый доход данного отслеживаемого портфельный капитал представляет собой: 

Ожидаемый Доход = (1 - ^ - (S^ + ^(/y + A,) + /^(ry + Az)

где “^”  является фактором бета отслеживаемых  инвестиций на фактор j (и, следовательно, также вес примитивной ценной бумаги j), и A, является премией за риск факторного портфельного капитала j (таким образом »y+ A это ожидаемый доход). Вышеприведенное выражение для ожидаемого дохода может быть так же записано в виде:

 Ожидаемый  Доход = ry+ JSiAi + ^2^2  

Результат 6.5 обобщает Пример 6.8 следующим образом: 

Результат 6.5  Инвестиция без риска связанного с фирмами и фактором бета равным ^ на j* фактор в K-факторной модели отслеживается по портфельному капиталу с весом ft\  на факторный портфельный капитал 1, j6; на факторный портфельный капитал K 2,…., (3^ на факторный портфельный капитал K, и 1-Z^ на устойчивый актив. Следовательно,  ожидаемый доход j=i на данный отслеживаемый портфельный капитал:

/y+/3,A,+^A,+...+^AK

где a), A;,. . . ak обозначает премии за риск отслеживаемого портфельного капитала и r/is  является устойчивым возвратом. 

Разложение  весов примитивной  ценной бумаги на более  примитивные ценные бумаги

Факторный портфельный капитал является комбинацией различных единичных ценных бумаг, например облигаций или акций. В Примере 6.8, портфельный капитал с весом -0.4 на безрисковую ценную бумагу, 2 на факторный портфельный капитал один и -0.6  на факторный портфельный капитал два могут быть разложены далее. Вспомним из Примера 6.6, что факторный портфельный капитал 1 имеет соответственный вес (2, 1/3, -4/3) на три индивидуальные ценные бумаги, в то время как факторный портфельный капитал 2 имеет соответственные веса (3, -2/3, -4/3). Следовательно, вес 2 на факторный портфельный капитал 1 на самом деле является весом 4 на ценную бумагу c, 2/3 на ценную бумагу g и -8.3 на ценную бумагу s. Под Суммированием весов всех ценных бумаг в Примере 6.6  подразумевается, что на более примитивном уровне наш отслеживаемый портфельный капитал в Примере 6.8 состоял из весов 2.2, 16/15 и -28/15 на ценные бумаги c, g и s, соответственно, плюс вес -0.4 на безрисковые активы. Отсюда следует, что в последнем примере нет никакой разницы, если отлеживаемый портфельный капитал был составлен акциями c, g и s или примитивными ценными бумагами. 

6.10 Неарбитражное Ценообразование:  Арбитражная Теория  Ценообразования.

Так как, риск, связанный с фирмами не имеет  значения для инвестора который  владеет достаточно разнообразным  портфельным капиталом, то на данный момент мы можем представить, что риска связанного с фирмами не существует, и проанализировать риск ценных бумаг сфокусировавшись только на их факторах бета. Если большинство инвесторов могут пренебречь риском, связанным с фирмами, потому что  владеют достаточно разнообразным портфельным капиталом, то на наш анализ соотношения между риском и возвратом данное допущение не будет влиять.

   Если  две инвестиции полностью отслеживают  друг друга и имеют различный  ожидаемый доход, то брокер может достигнуть безрисковой прибыли, приобретая инвестиции с более высоким ожидаемым доходом и продавая  инвестиции с более низким ожидаемым доходом на срок без покрытия. В данном случае возможность арбитража будет существовать, только если возврат по ценным бумагам не будет соответствовать условиям уравнения, которое связывает ожидаемый доход по ценным бумагам с их факторами бета. Как было отмечено ранее, данное отношение для доходов ожидающих риска называется арбитражной теорий ценообразования(APT). 

Допущения Арбитражной Теории Ценообразования(APT): 

Для получения APT необходимо соблюсти требования только трех условий:

1. Доходы могут быть описаны факторной моделью.
2. Нет возможностей для арбитража
3. Существует большое количество разнообразных ценных бумаг, так что портфельный капитал можно составить, инвестировав в разные предприятия таким образом, чтобы риском, связанным с фирмами, можно было пренебречь.

Данный  раздел  определяет APT. Для того чтобы  упростить анализ, мы предполагаем, что инвестиции не зависят от риска связанного с предприятиями. 

Арбитражная Теория Ценообразования  без Рисков Связанных  с предприятиями.

Допустим  инвестицию i с доходом заданным ^-факторной моделью, представленной в виде:

r, = a, + Ai^i + A2^2 + • • • + AA                (6.6)

Отметим, что выражение (6.6) не содержит терминов e, следовательно риска связанного с предприятиями не существует. Как отмечено в последнем разделе, одним из способов отследить доход от данной инвестиций это составить портфельный капитал с весами K, 1 — Z /?„ на устойчивую ценную бумагу, jSn на факторный портфельный капитал 1, (3^  на факторный

j=i

портфельный капитал 2,. .. , и наконец /3,^ на факторный портфельный капитал K. Напомни что данные факторные портфельные капиталы могут быть составлены или из небольшого количества ценных бумаг, где риск связанный с предприятиями отсутствует, или из очень большого набора ценных бумаг, где риском связанным с фирмами можно пренебречь.

Ожидаемый доход портфельного капитала, который  отслеживает инвестиции i является: ^+AlA,+A2A2+AKAK

где A), … AK  - премия за риск факторного портфельного капитала

В этом случае, очевидно, что возможность  арбитража существует, кроме тех  случаев, когда первоначальные инвестиции и их отслеживаемый портфельный  капитал имеют одинаковый ожидаемый доход, так как долгосрочная позиция в инвестициях и компенсирующая краткосрочная позиция в отслеживаемом портфельном капитале не имеют риска и цены. Например, если типичная акция компании Dell Computer является инвестицией i, при покупки 1млн.$ Dell и продаже без покрытия 1 млн.$ из отслеживаемого портфельного капитала аванса не требуется. Более того, учитывая, что факторы бета для долгосрочных и краткосрочных позиции идентичны, то любые изменения в цене акции Dell связанные с факторами (то что влияет на цену акции) будут полностью компенсированы таким же противоположными изменениями цены при краткосрочной позиций в портфельном капитале. Следовательно, если ожидаемый доход от акции Dell превышает ожидаемый доход от отслеживаемого портфельного капитала Dell, то инвестор получает безрисковый положительный приток капитала в конце периода. Например, если ожидаемый доход Dell превышает отслеживаемый портфельный капитал на 2%, то инвестор получит:

$1,000,000 X .02 = $20,000

   Так как эти наличные не требуют аванса и получены без риска, покупка Dell и уменьшение отслеживаемого портфельного капитала, предоставляет возможность для арбитража. Аналогично, если ожидаемый доход от акций Dell был меньше, чем ожидаемый доход от отслеживаемого портфельного капитала краткосрочная позиция в акциях Dell и равнозначная долгосрочная позиция в его отслеживаемом портфельном капитале создает возможность для арбитража. Для предотвращения арбитража ожидаемый доход от Dell и его отслеживаемый портфельный капитал должны быть равны. Результат 6.6 доказывает это.

   Результат 6.6   Возможность арбитража  существует для всех инвестиций без  риска связанного с предприятиями, кроме того, когда:

 r, = rf + A,A, + J8.2A2 + • • • + akaa (6.7)