Теория арбитражного ценообразования

Результат 6,4  Когда факторы К являются некоррелированными друг с другом и ценная бумага i описана через факторную модель, тогда: 

`R<sub>p</sub> = a<sub>p</sub> + b<sub>p1</sub> `F₁ +. .. + b_k1 `F<sub>k</sub> + `'_p

i как колебание r может быть разделено на сумму элементов К+1:

var(r.) = b²_i1var(F₁)+ b²_i2var(F₂)+ ... + b²_ikvar(F_k)+ + var(e.)

В этом разложении колебания, сумма первого  из A" элементов это фактор риска ценной бумаги, в то время как последний элемент это специфический риск фирмы. Пример 6,4 применяет разделение, данное в результате 6,4.  

Пример 6,4          Разделение риска колебания

Предположим, что каждый из 2-х факторов из примера 6,1 имеет колебание 0,0001 и что  e's трех ценных бумаг имеет колебания 0,0003; 0,0004 и 0,0005 соответственно. Вычислите фактор риска и специфический риск фирмы для каждой из трех ценных бумаг в примере 6,1. Затем вычислите колебание дохода. Уравнения фактора для трех ценных бумаг из примера повторены ниже.

ra = .03 +   F1 - 4F2 + e_a

re = .05 + 3Fi + 2Fz + e_B

rc== .10 + 1.5F₁ + OF₂+ ec 

Ответ:          уравнение колебания в результате 6,4 подразумевает:  

 
 

6.7 Построение оценочного  портфеля.

     Оценочные портфели создаются  в первую очередь при помощи  оценки  b - коэффициента инвестиции, который необходимо исследовать. Как же, определив целевое заданное значение b - коэффициента, мы создаем портфели ценных бумаг?

     Знание того, как вычислять b-коэффициенты по портфелю в целом, ориентируясь на b-коэффициент, рассчитанный по индивидуальным инвестициям  дает аналитику возможность проектировать портфели с любой заданной конфигурацией  b –коэффициента из ограниченного числа ценных бумаг. Единственный необходимый математический инструмент- способность решить систему линейных уравнений. 

     Поэтапный способ. Для того, чтобы создать оценочный портфель, необходимо  совершить определенные действия.

     1) Определить число  значимых  факторов.

     2) С помощью одного из трех  методов рассмотренных в параграфе  6.4 определить        факторы   и вычислить b - коэффициенты.

     3) Затем составить одно уравнение  для каждого b - коэффициента. В левой части уравнения записывается  b  – коэффициент оценочного портфеля как функция от весовых коэффициентов портфелей, в правой части - планируемое значение b - коэффициента.

     4) Затем решить уравнение и  убедиться, что веса в сумме  составляют 1. 

 Например, чтобы задать бету для первого  фактора в ٨-факторной модели, составим следующее уравнение:

X₁b₁₁ + X₂b₂₁ + ... + X_nb_n1   =b₁

     Беты в левой части уравнения и планируемая бета в правой части заменяются числовыми значениями, а веса портфелей остаются неизвестными переменными, которые должны быть найдены. Уравнение для определения беты второго фактора принимает следующий вид:

 X₁b₁₂ + X₂b₂₂ + ... + X_nb_n2   =b₂

     Продолжать осуществлять данную  процедуру следует до тех пор,  пока каждый фактор имеет соответствующее  значение бета.

Затем составьте дополнительное уравнение, так чтобы сумма весов портфелей  равнялась бы 1.

X₁ + X₂ + ... + X_n=1

Приведем  для иллюстрации данных утверждений следующий численный пример.

Пример 6.5

Создание  портфеля с помощью  конкретного бета - коэффициента.

     Рассмотрим три акции из примеров 6.1, 6.2 и 6.4.

      Известно, что Wilshire 5000 Index , всеобъемлющий индекс запаса, имеет бету фактора 2 в первом случае и бету фактора 1 во втором случае. Спроектируем портфель акций A, B, и C, который имеет бету фактора 2 в первом случае и 1 во втором случае. 

Решение: Чтобы проектировать портфель с этими отличительными чертами, необходимо найти веса портфеля, x ^, XQ, Xc, так, что  портфельные взвешенные средние показатели беты были бы равны запланированным значениям. Для того, чтобы в сумме веса составляли  единицу должно выполняться следующее условие:

 XA + XQ + Xc = 1

 Для  того, чтобы  b =2, выражение принимает следующий вид:

                                                1XA+3xs + 1.5xc=2

 Для  того , чтобы  во втором уравнении b=1, составляем следующее уравнение:

                                                -4xA + 2xe + Oxc = 1

 Выведем   Xc  из первого уравнения и получим следующее:  

(a) ixa + 3xe + 1.5(1 - xa - Xe) = 2

(b)  -4xA+2xe  =1

     Уравнение (a ) решено для XB . Таким  образом, исключаем XQ (b)  из  уравнения (b)   и получаем следующее: 

           -4XA+|(XA+1)=1

 В  этом уравнение XA=-1

Уравнение(a) сокращается до следующего: „    ^A+1

XB =   3

 При  этом: хс=8

     Число ценных бумаг, для которых  необходимо проектировать портфели  со специальным запланированным  значением бета - фактора.

В пример 6.5, возможно,  была использовалась любая  конфигурация запланированных бет  этих двух факторов и получено решение. Следовательно, возможно проектировать  портфель с почти любой  конфигурацией  бета фактора от ограниченного числа ценных бумаг. В двухфакторной модели  необходимы только три ценных бумаги, чтобы создать инвестиции с любым бета  фактором.  В пятисекторной модели, шесть видов ценных бумаг были бы необходимы, чтобы контролировать и предсказывать факторные риски. В А-факторной модели  требовалось бы  K+1 ценных бумаг. 

Процентная  конфигурация планируемой  беты

  Важное  применение расчета портфелей  с особой конфигурацией фактора  –расчет чистых портфелей фактора.  Считается, что эти портфели  выявляют факторы. Рассмотрим  их подробнее в  следующей главе. Помимо этого, они также дают возможность заметить, что факторные модели подразумевают собой пригодное отношение  риска к доходности. 

Факторные модели и оценочные  портфели

     Выявив некоторые способы применения  факторных моделей, таких как оценка ковариаций и анализ отклонений, мы теперь обращаемся к тому, что, возможно, я валяется самым важным утверждением относительно этих моделей: создание портфеля, которое предназначается для определенной конфигурации бета- коэффициента с целью определения степени риска ценных бумаг или портфеля. Такое применение метода оценочности полезно не только для хеджирования, но это также является

Основой неарбитражных отношений риска-доходности  , что было рассмотрено в разделе 6.10.

    Чтобы проиллюстрировать применение оценочности, предположим, что вы имеете возможность выбрать недооцененные акции  и, что вы назначены ответственным за управление пенсионным фондом вашей компании. Административный директор фирмы доверяет вам, но в то же время утверждает, что, если результаты деятельности пенсионного фонда не достигнут значения индекса S&P 500 более чем на 2% в любом рассмотренном месяце, вы будете уволены!

Вы рассматриваете три стратегии.

   1) Распределить основную долю  портфеля между наиболее недооцененными бумагами.

Эта стратегия  имела бы самый высокий ожидаемый  доход, если бы у вас действительно  была бы возможность выбрать акции  с заниженной стоимостью. Проблема состоит в том, что портфель, отобранный таким образом может оказаться  более чувствительным, чем S&P 500 к общему фактору, такому как изменение уровня инфляции, и еще может  достигать значения S&P 500  в некоторых месяцах, более, чем на позволенных 2%, и это все из-за новостей о том, что уровень инфляции снижается.

   2) Поместить 90% пенсионного фонда компании в фонд, доходность которого поддерживается на одном уровне с определенным индексом ценных бумаг, и верить, что удастся прорваться на рынок с оставшимися 10. Это предложение, конечно, намного менее рискованное, однако, если вы превосходно умеете отбирать акции, то вам, наверняка, не захочется связать 90% своего портфеля с индексом S&P 500.

   3) Выбрать акции, которые, по  предпосылкам, должны продемонстрировать  лучшую эффективность, но веса  бумаг распределять так , чтобы  портфель изменялся или подражал изменениям индекса S&P 500. Другими словами, веса выбраны так, чтобы прибыльность портфеля была  бы почти полностью коррелированна прибыльностью S&P 500.

 

Правило

 Стратегия  оценивания обычно используется  менеджерами, регулирующими портфели активов, корпоративными хеджерами и арбитражерами . Они являются инвесторами и получают прибыль в размере ценовой разности  покупки и продажи ценных бумаг. Когда получение прибыли связано с относительно небольшим количеством факторов , отслеживающий портфель по индексу S&P 500  создается  таким образом , чтобы  его доходность имела такой же b - коэффициент , что и S&P 500  .