Теория арбитражного ценообразования

     Пример 6.1 (Высокий Р-квадра)

     Пример 6.2 (Низкий Р-квадрат)

     На  иллюстрациях 6.1 и 6.2 представлены точки, изображающие данные по двум таким регрессиям: одна для компании, в большей степени, с систематическим риском (высокий Р-квадрат на иллюстрации 6.1), другой для компаний, преимущественно, с   несистематическим риском (низкий Р-квадрат на иллюстрации 6.2). По горизонтальной оси на обеих иллюстрациях отложена величина независимой переменной регрессии, которая равна рыночной доходности. 

Диверсифицируемый риск и неверное понимание  CAPM

     Интуиция, обычно стоящая позади соотношения  риск – ожидаемая доходность CAPM, состоит в том, что систематический риск недиверсифицируем. Таким образом, такой риск должен быть компенсирован более высокими уровнями доходности для инвесторов. В то же время, часто несистематический риск называют «диверсифицируемым», подразумевая то, что дополнительные ожидаемые отдачи не требуются для принятия несистематического риска. Хотя такая интуиция привлекательна, она – нечто сбивающее с толку, как показано ниже, некоторый риск, созданный остатком рыночной модели, не обязательно диверсифицируем.

     Например, риск от остатка в регрессии рыночной модели General Motors недиверсифицируем, т.к. он связан с общими факторами, к которым GM особенно чувствительна. Например, неожиданное увеличение процентных ставок, скорее всего, имеет отрицательное воздействие на большинство ценных бумаг. Риск, связанный с процентными ставками, недиверсифицируем, т.к. он не нивелируется при cохранении хорошо диверсифицированных портфелей. Более того, данный вид риска является общим фаткором.

     Цена  акций GM, безусловно, подвержена влиянию риска, связанного с процентными ставками. Продажи нового автомобиля падают, если покупатели находят процентные ставки по автомобильному кредиту непозволительно высокими. В самом деле, повышение процентных ставок, скорее повлияют на доходность по акциям GM, чем на доходность по рыночному портфелю. Где выявляется эффект процентной ставки в уравнении (6.3)? Очевидно, некоторая доля эффекта роста процентных ставок будет отражена систематической компонентой доходности GM – бета GM, умноженная на рыночную доходность, - но это недостаточно, чтобы объяснить дополнительное снижение цены акций GM по отношению к рынку. Остальная часть эффекта выявится в регрессионном остатке GM.

     Т.к. изменения процентных ставок, очевидно недиверсифицируемый фактор риска, воздействуют на регрессионный остаток рыночной модели, весь риск, ассоциируемый с остатком, не может рассматриваться как диверсифицируемый. Пока кто-либо может составлять портфели с особенными весами, которые нивелируют риск, связанный с процентной ставкой (методами, описанными в данной главе), в основном, большинство портфелей с небольшими весами большого числа наименований ценных бумаг не нивелируют этот источник риска.    

      Остаточная  корреляция и факторные  модели.

      Если  рыночная модель используется для разделения диверсифицируемого и недиверсифицируемого риска, то доходность рыночного портфеля является источником выявления корреляции между ценными бумагами. Как уже было доказано, это не совсем так. Формально, это работает только тогда, когда доход с i-ой ценной бумаги выглядит следующим образом:

        r_i = a_i + b_i  `R<sub>m</sub> + `e_{i    ,}   где R_m  - доходность рыночного портфеля, e_i  и R_m   не связаны друг с другом, а среднее значение e_i  различных ценных бумаг равно нулю и они также не связаны друг с другом никакой зависимостью.

      То, что e_i  различных акций не связаны друг с другом является главным отличием между представленной выше однофакторной моделью и более распространенной моделью «процесса создания дохода» (вытекающей из уравнения 6.3 без предположения о несвязанности e_i), использованной при обсуждении CAPM.

      Эта «однофакторная модель» имеет только один общий фактор (рыночный фактор), производящий доходы. Остаточный доход  с каждой акции (e_i) определяется независимо от общих факторов. Так как эти e_i   не связаны, каждая  из них   представляет изменения в стоимости фирмы, которые действительно являются специфичными. Как станет ясно из следующего параграфа, специфичные для фирмы элементы этого вида не имеют никакого эффекта на изменение дохода хорошо сбалансированного портфеля, составленного из множества ценных бумаг. Следовательно, в однофакторной модели, изменение дохода диверсифицируемо, благодаря элементам, являющимся для фирмы специфическими и известными как специфический для фирмы риск.

      Даже  если рассмотренная выше ставка процента предполагает, что однофакторная рыночная модель не существует в реальности, ее изучение помогает лучше понять различие в значениях диверсифицируемого и недиверсифицируемого риска. После недолгого рассмотрения  математической стороны  и практического применения диверсификации этот параграф обращается к многофакторным моделям более близким к реальности, построенным на предположении о диверсифицированной версии недиверсифицированного риска.  

6.2. Принцип диверсификации.

      Все знакомые с правилом «Не следует класть все яйца в одну корзину» знают, что при подбрасывании монеты 1000 раз вероятность выпадения той или иной стороны будет скорее равна половине, нежели при подбрасывании ее 10 раз. Как бы то ни было, подбрасывание монеты не является идеальной аналогией, когда мы говорим о диверсификации вложений. Факторные модели позволяют нам разбить доход с ценных бумаг на 2 элемента: элемент, для которого аналогия с подбрасыванием монеты не работает (общие факторы), и элемент, для которого она идеально подходит (факторы, являющиеся для фирмы специфичными).

      Примеры со страхованием в  случае факторного риска  и риска специфического для фирмы.

      Для того чтобы лучше понять подобное деление, представим себе два страховых  контракта: страхование автомобиля и страхование здоровья. Среди всех застрахованных водителей случаи автомобильных аварий независимы друг от друга, а  ежегодное их количество почти постоянно и соответственно количество страховых претензий, приходящихся на компанию в год, практически не меняется. (Наше предположение может нарушить разве что только огромная миллионная авария на затуманенной автостраде между двумя штатами). Вследствие прекрасной диверсификации этих претензий, автомобильные страховые компании могут рассчитать их ожидаемую величину по этому типу риска (добавляя накладные расходы и прибыль). Напротив, страхование здоровья предполагает наличие совокупности диверсифицируемых и недиверсифицируемых элементов. Болезни, которые требуют дорогостоящей медицинской помощи, не поражают большую часть населения одновременно. Тем не менее, как подтверждает опыт борьбы со  СПИДом, компании, занимающиеся страхованием здоровья, не могут полностью искоренить некоторые формы риска даже путем наличия большого количества держателей страховых полисов. Если вирус ВИЧ мутирует в легко передаваемую болезнь, многие компании, занимающиеся страхованием  здоровья, обанкротятся. Вследствие финансового риска, который компании несут из-за различных эпидемий, они должны оценивать стоимость страховки в большую величину, чем просто ожидаемый убыток (так называемая премия от риска).

      Факторный риск не диверсифицируется, так как  факторы одинаковы для многих ценных бумаг. Это означает, что доходы ценных бумаг тесно связаны между  собой благодаря каждому объективному качеству фактора. В однофакторной рыночной модели портфель из тысячи равных между собой акций с одинаковыми рыночными факторами бета имеет такую же рыночную бету (и, следовательно, такой же систематический риск) как и каждая акция портфеля в отдельности. Как следует из следующего параграфа, это остается верным и для более простых факторных моделей. Благодаря наличию финансового риска даже самая необычная диверсификационная стратегия, например, складывания равного количества яиц по всем корзинам, не уменьшит отклонения дохода. 
 
 

      Определение степени диверсификации специфического для  фирмы риска.

      Напротив, легко показать, что риск e ценных бумаг диверсифицирован в больших портфелях, так как e's не связаны между собой в ценных бумагах. Давайте рассмотрим две бумаги: 1 и 2, каждая  с некоррелируемой e's и с одинаковыми отклонениями равными 1. При помощи уже знакомой формулы, выведенной из уравнения (4.9а), сбалансированный портфель из двух ценных бумаг, которые равны x1=x2=5, имеет специфическое для фирмы отклонение:

var(ep) = x²₁ var(ei) + x²₂var(e) = .25(.l) + .25(.l) = .25(2)(.l) = .05

      Таким образом, портфель, составленный из двух ценных бумаг, делит специфическое  для фирмы отклонение для каждой ценной бумаги.

      Сбалансированный  портфель из 10 равных акций, для которых  отклонения специфического для фирмы риска равны, имеет следующее отклонение:

var(ep) == x1²var(ei) + x2²yar(e₂)+ ... + x10²var(e₁₀)

= .0l(.l) + .0l(.l) + ... + .0l(.l) = .01(10)(.l) = .01

      Это составляет одну десятую специфического для фирмы отклонения для каждой ценной бумаги.

      Продолжая делать то же самое для N  количества ценных бумаг, мы получим, что специфичное  для фирмы отклонение портфеля в 1/ N раз больше (или в N раз меньше) отклонения каждой акции и что стандартное отклонение обратно пропорционально квадратному корню из N. Эти результаты отражены на графике (6.3), где по оси ординат отложены стандартное отклонение портфеля со специфичным для фирмы e и по оси абсцисс количество ценных бумаг в портфеле. Становится очевидным, что специфический для фирмы риск уменьшается с ростом количества ценных бумаг в портфеле.

      Практика  действительно показывает, что портфель с такими весами ценных бумаг будет  иметь специфическое для фирмы  отклонение  обратно пропорциональное количеству ценных бумаг. На этом основании  можно сделать следующий немаловажный вывод, касающийся стандартного отклонения:

      Результат 6.1. Если доход с ценных бумаг соответствует факторной модели (с несвязанными остатками), то портфели, составленные из ценных бумаг с равными весами, будут иметь остатки со стандартным отклонением примерно обратно пропорциональным корню квадратному из числа ценных бумаг. 
 

6.3. Многофакторные модели.

      Однофакторная рыночная модель представляет нам упрощенное описание получения доходов с  акций, но, к сожалению, является нереальной. Так как акции чувствительны к ставке процента также как и к рыночному риску и риску, специфическому для фирмы, риск ставки процента порождает связь между остатками рыночной модели, что означает, что не только общий фактор влияет на доходы с акций.

      Уравнение многофакторной модели.

      Алгебраическое  представление многофакторной модели, то  есть модели, содержащей более  одного элемента, дано в следующем  уравнении (6.4):

`r<sub>i</sub> = a<sub>i</sub>+ b<sub>iI</sub> `F₁ + b_i2 `F<sub>2</sub> + ... + b<sub>ik</sub> `F<sub>k`</sub>+ ` e _i              (6.4)

      Формула построена на следующих допущениях: доходы с акций создаются малым количеством общих факторов, каждый из которых обозначен F с чертой и для которых разные акции обладают различной чувствительностью, то есть b, совместно с несвязанными специфичными для фирмы элементами, а также e , которые вносят свое незначительное отклонение в хорошо диверсифицированные портфели.

      Объяснение  общих факторов.

      F в формуле (6.4.) можно рассматривать как замену новой информации о макроэкономических изменениях таких как промышленное производство, инфляция, ставка процента, цены на нефть, изменчивый курс акций. Так как F представляют новую информацию, их среднее значение обычно приравнивают к нулю, а это позволяет интерпретировать  a как ожидаемый доход с акций.