Теория арбитражного ценообразования

Факторные модели для портфелей  ценных бумаг

Многофакторные  беты, так же как и однофакторные имеют свойство, что беты портфеля – это средне взвешенное число бет ценных бумаг в портфеле (смотрите пример 6,1). Например, если бета акции А равна 2, под действием инфляционного фактора, а акции В – 3, то портфель, который весит 0,5 акции А и 0,5 акции В, имеет фактор бета равный 2,5.

Результат 6,2     Фактор бета портфеля по данному фактору – это среднее число беты индивидуальных ценных бумаг в портфеле по тому фактору.

Дано  уравнение К-факторной модели (или  факторной модели с определенным фактором К) для каждой акции i, где портфель содержит N ценных бумаг с весом r для каждой i, и доходом

  Rp = x_{1`</sub>r<sub>i</sub> + x<sub>2`}r₂ + ... + x_n x_n,

Уравнение для фактора:

`R<sub>p</sub> = a<sub>p</sub> + b<sub>p1</sub> `F₁ +. .. + b_k1 `F<sub>k</sub> + `'_p

где

a_p  = x₁a₁ + x₂a + ... + x_n a_n,

b_p1= x₁b₁₁ + x₂b₂₂ + ... + x_n b_n1,

b_pk = x₁b_1k + x₂b_2k + ... + x_n b_nk,

`'<sub>p</sub>  = x<sub>1</sub>`'₁  + x₂`'<sub>2</sub>  + ... + x<sub>n</sub> `'_n

Пример 6,1 показывает, что не только фактор бета - средне взвешенное число факторов бета акций в портфеле, но так  же альфа (a) и эпсиленс (e) являются средне взвешенными альфа и эпсиленс акций в портфеле.  

6.6 Использование факторных  моделей для вычисления  ковариаций и колебаний 

Этот  раздел показывает, что корреляция или ковариация между доходами любой  пары ценных бумаг определены фактором бета ценных бумаг. Далее обсуждается, как использовать фактор бета для вычисления более точных оценок ковариации. При использовании анализа средней и дисперсии, для определения касания и минимального колебания инвестиционных портфелей, чем более точна оценка показателей ковариации, тем лучше оценка весов этих решающих портфелей.  

Вычисление  ковариаций в однофакторной  модели

Начиная с 6-го в факторных уравнениях, описанных  в последнем разделе, предполагают, что они являются некоррелированными друг с другом и с факторами, единственный источник корреляции между ценными бумаги приходит от факторов. Следующий пример иллюстрирует вычисление ковариации в однофакторной модели.  

Пример 6,2          вычисление ковариаций из фактора бета

Следующие уравнения показывают ежегодные  доходы для двух акций, Acorn Electronics и Banana Software, где F – изменение темпа роста ВВП (валового внутреннего продукта), а А и В представляют Acorn и Banana, соответственно:

`ra= .10+2F+ `'_a

`rb = .15 + 3F+ `'_B

Предполагают, что e's являются некоррелированными друг с другом, так же как и с фактором ВВП, и колебание фактора равно 0,0001. Вычислите ковариацию между доходами двух акций.   
 

Ответ:

sab = cov{10 + 2F+`'<sub>A</sub> .15 + 3F+ `'_B) = cov{2F+ e^,3F+ Co)

так как  константы не влияют на ковариации. Для расширения этой ковариации, используются принципы, изложенные в 4-ой главе; получаем:

 
'ab = cov(2F, 3F) + cov(2F, eg) + cov(£a, 3F) + cov(e^, 63) = cov(2F, 3F) + 0 + 0 + 0

таким образом, ковариация между доходами это ковариация между 2F и 3F, которая равна 6var(F) или 0,0006.

Пара  уравнений для r^ и r^ в примере 6.2 представляет однофакторную модель для акций А и В. Обратите внимание на нижние индексы в этих уравнениях. e's имеет такие же нижние индексы, как и доходы, подразумевается, что они представляют конкретные риски для акций А или В. Ценность, которой обладает каждая е, не дает никакой информации о ценности, которой владеет другая е. Например, если е^ обладает ценность 0,2, то это не дает информации о ценности eg. Фактор ВВП, представленный F, не имеет подписей ни А ни В, так как подразумевается, что этот макроэкономический фактор является общим фактором, воздействующим на обе акции. Так как определенные компоненты доходов фирмы представлены независимо, следовательно, они не оказывают никакого влияния на ковариацию доходов этих акций.  Общий фактор является единственным источником ковариации. В результате, ковариация между доходами акций определена через колебание фактора и через чувствительность дохода каждой акции к фактору. Чем более чувствительны акции к общему фактору, тем больше ковариация между их доходами.  

Вычисление  ковариации из фактора  бета в многофакторной модели

Пример 6,3 иллюстрирует вычисление ковариаций дохода в рамках двухфакторной модели.

Пример 6,3:  Вычисление ковариаций из фактора бета в двухфакторной модели

Рассмотрите доходы от 3-х ценных бумаг (Apple, Bell Atlantic и Chrysler), данных в примере 6,1 и вычислите ковариации между доходами каждой пары ценных бумаг, предполагая, что оба этих фактора являются некоррелированными друг с другом и оба имеют размер колебаний 0,0001.  

Ответ:  начиная с двух факторов, обозначенных F и Fg, которые являются некоррелированными друг с другом, и так как c's является некоррелированной с каждым из этих факторов и друг с другом, то

 
co^(/a, fe) = 3^ar(Fi) - Qva^) = -.0005 cov(?a, re) = 1.5va/<Fi) = .00015 cov(rB, /c) = 4.5</ar(Fi) = .00045

В примере 6,3 ковариации между доходами любых  двух ценных бумаг определены чувствительностью  их доходов к фактору реализации и к колебаниям факторов. Если некоторые  факторы имеют большой размах колебаний, или равнозначны, если некоторое число доходов ценных бумаг особенно чувствительны к факторам, то те факторы будут составлять большую часть ковариации между доходами ценных бумаг. Более широко ковариации могут быть вычислены следующим образом:  

Результат 6. Предположим, что есть факторы К, некоррелированные друг с другом и что доходы ценных бумаг i и j представлены соответственно факторными моделями:

 
`R<sub>p</sub> = a<sub>p</sub> + b<sub>p1</sub> `F₁ +. .. + b_k1 `F<sub>k</sub> + `'_p

Тогда ковариация между /~ и r равна:

s_ij   = b_i1b_j1var (F1) +b_i2b_j2var (F2) +  b_ikb_jkvar (Fk)  (6.5)

Результат 6,3 точно определяет, что ковариации между доходами ценных бумаг полностью  определены через колебания факторов и через фактор бета. Определенные для фирмы компоненты 6 и е не играют никакой роли в этом вычислении. Если факторы коррелированны, то e's все еще является несоответствующим для вычислений ковариации. В этом случае, тем не менее, должны быть добавлены дополнительные периоды времени к уравнению (6,5), для вычисления ковариаций между общими факторами. Более точно, формула приобретает следующий вид: 

s=ååb_1Mb_jN cov(F_M,F_N) 
 
 
 

Факторные модели и корреляция между доходами акций.

В многофакторной модели, доходы акций, которые имеют  одинаковые конфигурации фактора бета, вероятно, будут высоко коррелируемы друг с другом, в то время как те, которые имеют отличающиеся конфигурации фактора бета, вероятно, будут менее коррелируемы друг с другом. По исследованиям компаний John Deere, General Motors и Wal-Mart было обнаружено, что доходы GM (изготовитель автомобилей) и John Deere (изготовитель сельскохозяйственного оборудования, особенно тракторов) имеют наибольшую корреляцию, в то время как Wal-Mart имеет меньшую корреляцию с двумя другими. В самом деле, ежемесячные доходы за период с 1976 по 1995 года подтверждают это. Корреляция между GM и John Deere составляет 0,406, в то время как корреляция Wal-Mart с этими двумя фирмами равна 0,299 и 0,277 соответственно. Большая корреляция между компаниями John Deere и GM имеет место, не потому что они обе производят транспортные средства и оборудование – потребительский спрос на автомобили не совсем такой же, как спрос фермеров на трактора – а потому что обе компании очень чувствительны к фактору процентной ставки и к фактору промышленного производства. С другой стороны, компания Wal-Mart очень чувствительна к фактору промышленного производства, но не особенно чувствительна к фактору процентной ставки.  

Применение  факторных моделей  к анализу средней  и дисперсии.

Результат 6,3 используется инвестиционными менеджерами, которые подсчитывают ковариации для определения оптимального веса портфеля. Например, вычисление портфеля касания или минимального размера колебания портфеля в анализе средней и дисперсии требует оценки ковариаций для каждой возможной пары ценных бумаг. Пространство ценных бумаг, доступных для большинства инвесторов, является большим. Более 8000 обычных акций, зарегистрированных на рынках NYSE, AMEX и NASDAQ к концу 1996, имели более 31 996 000 ковариаций между различными ценными бумагами в дополнение к более чем 8000 колебаний. Вычисление более чем 32 миллионов вариантов это гигантская работа. Если пятифакторная модель достаточно точна в качестве ковариационного процесса, то только 5 факторов бета на ценную бумагу или 40 000 вычислений были бы необходимы в дополнении к вычислениям колебаний для каждой из 8 000 ценных бумаг (и пять факторов). В то время как 48 000 вычислений это еще преодолимая задача, то вычисление 32 000 000 гораздо менее осуществимая.

Одна  из первоначальных причин развития модели однофакторного, рынка состояла в том, чтобы уменьшить вычислительные усилия, необходимые для определения ковариаций.  Однако исследования показали, что рыночная модель может упростить не только вычисления. Корреляции, а, следовательно, и ковариации, вычисленные из модели однофакторного рынка, были в среднем лучшими прогнозами будущих корреляций, чем корреляции, вычисленные непосредственно по прошлым данным (смотрите Eiton, Gruber и Urich (1978)).  Корреляции и ковариации, основанные на сложнофакторных моделях, могут быть еще лучше.  

Использование факторных моделей  для вычисления колебаний

Наподобие рыночной модели, факторные модели предоставляют метод для разбивания колебаний доходов ценных бумаг  на сумму специфических и не специфические  компонентов. Для однофакторной модели, где: 

`R<sub>p</sub> = a<sub>p</sub> + b<sub>p1</sub> `F₁ +. .. + b_k1 `F<sub>k</sub> + `'_p

Первый  элемент в уравнении колебания  алгебраически определяет фактор риска, второй элемент – определенный риск для фирмы. Доля риска, которая связана  с фактором это статистический р-квадрат от возвращения дохода ценной бумаги i на факторе. Результат 6,4 обобщает все это в многофакторном окружении.