Систематизация математических знаний и умений слушателей подготовительных курсов средних профессиональных учебных заведений через реше

      Решение готовых, однородных примеров и задач  одинаковыми приемами в течение длительного времени вырабатывают у учащихся привычку механически производить заученные математические преобразования в прямом порядке,  тем самым знаний и умения применяются неосознанно. Поэтому особое место в структуре учебной деятельности занимают действия самоконтроля, имеющие специфические функции: они направлены на саму деятельность, фиксируют отношение учащихся к себе как к субъекту этой деятельности, вследствие чего их направленность на решение учебной задачи носит опосредованный характер.

      Систематизация  знаний и умений осуществляется за счет нестандартного применения своих знаний и умений к решению задач, применению мыслительных операций.

      Приведем  несколько примеров.

      Найти и обосновать ошибки в решении  следующих задач:

1. -23 : (- 2) = -11,5 
2. 20503 : (-290) = - 7,7 
3. -348 : 120 = - 29 
4. 2807: (-14) = - 205  
5. 34 : 0 = 0
6. 5х+15=3х+9

      5(х+3)=3(х+3)

      5=3 – неверное равенство

      Ответ: уравнение корней не имеет.

7. 5х+15=3х+9

      5(х+3)=3(х+3)

      5=3 – неверное равенство

      уравнение корней не имеет

      Ответ: уравнение не имеет действительных корней

8. 26х²-13х=1

      13х(2х-1)=1

      13х=0  2х-1=0

      х=0     х=1/2

      Ответ: х=0     х=1/2

9. Сократить дробь:
10. Привести подобные члены в многочлене: 5xy-4x²y²-8xy²+3,6xy-5x²y²-6x²y=8,6xy+x²y²-14xy²

      Комбинированные  задачи

      Знать школьный курс математики – значит владеть материалом по основным темам, и быть способным актуализировать любое из них в любое время. Чтобы достичь этого нужно систематически обращаться к каждой из тем. Поэтому мы предлагаем использовать системы задач, для решения которых понадобиться применить знания различных направлений. Такие задачи многие авторы  называют комбинированными. [8,36].

      Рассредоточенное  во времени повторение эффективнее, чем концентрированное. Комбинированные задачи также реализуют принцип системности. Кроме того, когда решаются «комбинированные» задачи, насыщенные разнообразным   материалом  из   предшествующих  разделов,   принцип непрерывного повторения осуществляется сам собой. Комбинированные задачи реализуют принцип непрерывного повторения. При этом систематизация знаний и умений происходит по нескольким разделам. Для решения такой задачи  учащимся необходимо мобилизовать свои знаний и умения. Кроме того, как и задачи с меняющимся содержанием комбинированные задачи усиливают внимание и активность мыслительной деятельности учащихся, так как учащимся приходиться для решения одной задачи переключаться на различные разделы математики.

      Приведем  примеры:

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6, один из катетов равен 2. Является ли длина второго катета корнем уравнения .

      В задаче явно выражены два раздела  математики: «Теорема Пифагора» и «Корни уравнения». Кроме того для решения задачи учащимся потребуются умения возведения числа в квадрат и выполнения действия в квадратными корнями.

2. Решить уравнение: . Основные темы: «Неполные квадратные уравнения», «Модуль числа».
3. Сторона квадратного участка 0,5 км. Сколько га содержится в площади этого участка? Кроме умений выполнять действия с действительными дробями и вычислять площадь, учащимся потребуется актуализировать знания о единицах измерения площади.
4. Построить график функции .
5. Найти область определения функции:

       .

6. Изобразить на координатной плоскости точки, координаты которых удовлетворяют неравенству или системе неравенств:

      

7. Сторона квадратного  участка 0,5 км. Сколько га содержится в площади этого участка?
8. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, если наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению?
9. В какой четверти заведомо нет точек прямой у=2х-3?
10. Как на плоскости расположены точки, абсциссы которых удовлетворяют уравнению  |x-2|=1?
11. Заполните пустые клетки таблицы, вычислив значение буквенного выражения |х·у|+х

 

     Задачи  практического содержания

     Реализация  принципа систематичности в обучении не возможна без использования практической и прикладной направленности предмета. 

       Терешин Н.А, Колягин Ю.М., Харламов  И.Ф., Шапиро И. М. и многие другие методисты говорят о том что, через межпредметные связи отражается живая связь явлений  в понятиях человека[20,44,48,49.]. Применение межпредметных связей способствует приобретению обобщенных знаний, умений и навыков, формированию научной картины мира.

     Практическая  направленность обучения математике предполагает  тесную связь с жизнедеятельностью человека, связь с другими науками, на подготовку учащихся к использованию математических знаний и умений в предстоящей профессиональной деятельности.

       Одним из основных средств  достижения прикладной и практической направленности обучения математике, являются задачи с практическим содержанием.

     В методике, под задачей с практическим содержанием понимается «математическая  задача, фабула которой раскрывает приложения математики в окружающей нас действительности, в смежных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций» [8,с 45]. 

     К задачам прикладного характера, кроме выше перечисленных требований к системам задач в целом, предъявляются следующие требования:

• доступность учащимся используемого нематематического материала;
• реальность описываемой в условии ситуации, числовых значений данных, постановки вопроса и полученного решения.

     Перечислим  виды задач, дающие возможность реализации прикладной и практической направленности математики

     - вычисление значений величин,  встречающихся в практической  деятельности;

     - построение графиков, номограмм; 

     - текстовые задачи соответствующего  содержания;

     - выполнение измерений

     - составление расчетных таблиц;

     - вывод формул зависимостей, встречающихся  на практике.

     1. На карте расстояние между  двумя пунктами 3,5 см. Каково расстояние между этими пунктами в действительности, если масштаб карты 1:2 000 000.

     2. Построить график и диаграмму  успеваемости  пяти учащихся вашего класса по итогам 1 четверти.

     3. Один кран заполняет ванну  за 15 мин, другой – за 10 мин.  Какая часть ванны будет заполнена  за 1 мин,  за 2 мин, за 5 мин, если  открыть оба крана?

     4. После снижения цен на 30% свитер стал стоить 2100 рублей. Сколько стоил свитер до снижения цен?

     5. (из данных сберегательного банка России) вкладчик положил некоторую сумму на вклад «Молодежный» в сбербанк России. Через два года вклад достиг 2809 рублей. Каков был первоначальный вклад при 6% годовых?

 

      6. Заполнить таблицу:

     Расположите города, перечисленные в таблице  в порядке возрастания средней  температуры лета.

     Задачи  с постепенной  трансформацией от конкретного  в обобщенный план

     Осознание  мыслительных операций -  это их воссоздание в воображении для словесного выражения, что необходимым образом связано с обобщением собственных психических процессов.  Л.С. Выгодский «Абстракция и обобщение своей мысли принципиально отличны от абстракции и обобщения вещей»[4,с.69]. Своеобразия обобщения Л.С. Выгодский видел в том, что при этом создаётся «пирамида понятий», позволяющая мысленно переходить от одного частного свойства объекта к другому через общее понятие.

     Обобщение - это процесс, при котором сходные  качества во всех предметах того же вида или класса признаются общими. Главная цель работы учителя состоит в том, чтобы при систематическом решении больших серий задач определенного типа привить учащимся умение по ряду признаков опознавать этот тип с целью применения ранее усвоенного материала. [11]

     Кроме того, решая эти задачи обычным  способом, учащиеся должны будут учитывать  различные значения параметра (которым  выражены условия задачи) и, следовательно, переключаться от рассмотрения условия задачи при одном значении параметра на условие задачи при другом значении параметра, при этом потребуется использование знаний и умений других тем.

     При организации  процесса обучения учащихся с целью систематизации знаний и умений учащимся предлагается обобщенный вариант условия задачи. Если учащийся не справляется с заданием, то даётся конкретная задача  или её промежуточный вариант.

     При решении таких задач систематизация происходит за счет применения знаний и умений по теме, а главное за счет умений  производить самостоятельное обобщения ряда объектов, умения формулировать обобщенные способы действий.

     Рассмотрим  пример.

     Первоначально учащиеся решают задачу:

1. Длина комнаты 4 м, ширина и высота по 3 м. Каков объем 8 таких комнат?

     Далее производится постепенное обобщение  задачи, когда каждое числовое значение постепенно заменяется буквенным.

2. Длина комнаты b м, ширина и высота по 3 м. Каков объем 8 таких комнат?
3. Длина комнаты b м, ширина и высота по a м. Каков объем 8 таких комнат?
4. Длин комнаты b м, ширина и высота по а м. Каков объем n таких комнат?
5. Решить уравнение: 3х+4,5=-6,3
6. Решить уравнение относительно х: 3х+4,5=-а
7. Решить уравнение относительно х: 3х+в=-а
8. Решить уравнение относительно х: сх+в=-а