Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений

 в) Когда учащиеся приобретут умения и навыки в составлении системы с двумя неизвестными, не следует стеснять их в выборе способа решения задач, допускающих использование и одного уравнения и системы двух уравнений: и тот и другой путь одинаково допустимы. Не следует требовать, как это иногда приходится наблюдать, обязательного применения одного уравнения, когда задача допускает использование и одного уравнения и системы двух уравнений. Наоборот, надо поощрять решение задачи с помощью системы, так как такое решение удобнее я практичнее. Аналогично с этим надо поощрять решение задачи с помощью системы с тремя неизвестными, когда задача допускает использование и системы с двумя и системы с тремя неизвестными.

   г) Решение  задач с буквенными данными требует  от учащихся еще большего напряжения мышления, а значит и является прекрасным материалом для развития мышления. С точки зрения математики задачи с буквенными данными не требуют каких-либо новых знаний, но с методической точки зрения они отличаются тем, что требуют более абстрактного мышления. А это абстрактное мышление только тогда будет доступно учащимся, когда оно будет опираться на конкретный базис. Таким базисом, очевидно, будут служить задачи с числовыми данными.' В силу этого является сомнительным такое подразделение задач в процессе решения, что раньше занимаются решением задач только с числовыми данными, а затем переключаются на задачи с буквенными данными: при таком порядке абстрактное отрывается от конкретного. Задачи с буквенными 'данными надо вводить постепенно: как только педагог заметит, что в решении того или другого типа задач с числовыми данными учащиеся сделали значительные успехи, уместно ввести задачи этого же типа с буквенными данными. В этом случае более абстрактное мышление, необходимое для решения буквенных задач, будет опираться на конкретное мышление, которым учащиеся уже овладели при решении числовых задач того же типа. Первые задачи с буквенными данными, по крайней мере, некоторых типов, должны найти место уже в VII классе, а в дальнейшем число таких задач должно постепенно нарастать с тем, чтобы в Х классе оно значительно превышало задачи с числовыми данными.

   д) При  использовании для решения задач  квадратного уравнения и системы, приводящей к квадратному уравнению, несколько усложняется исследование решения. Наличие двух корней или двух пар корней требует изучения пригодности для задачи каждого корня и каждой пары корней отдельно. Мнимые корни обычно свидетельствуют о нерешимости задачи. Пригодность иррациональных корней определится по смыслу задачи. То же самое надо отметить об отрицательных корнях, например, в геометрических задачах отрицательные корни часто приходится отбрасывать, как непригодные для задач. Усложнение исследования требует, чтобы преподаватель уделил ему достаточное внимание, использовав для этого серию целесообразно подобранных задач. Конечно, исследование усложняется, когда решаются буквенные задачи.

  е) В программе IX класса нет специальных указаний об алгебраическом способе решения задач. Однако некоторые главы курса алгебры—арифметическая и геометрическая прогрессия, сложные проценты—дают материал для составления уравнений. Уравнения используются и при решении геометрических задач. В этих случаях алгебраический анализ выступает как метод изучения и решения математических вопросов в других дисциплинах.

ж) В программе  Х класса также нет специальных указаний об алгебраическом способе решения задач. Однако имеются косвенные указания: программа требует повторения главнейших разделов курса математики. В алгебре к числу таких разделов относится и решение задач с помощью уравнении. В программе имеется глава об исследовании уравнений и систем уравнений, а это приводит к исследованию задач, решаемых алгебраическим способом, а значит, требует составления уравнений или систем уравнений по условиям задач. Таковы косвенные указания о необходимости алгебраического способа решения задач. Кроме того, учитель будет учитывать, что часть учащихся средней школы направится в высшие учебные заведения, где часто на приемных испытаниях предлагают задачу на составление уравнений. В целях лучшей подготовки молодежи для поступления в ВУЗы, уместно уделить достаточное внимание алгебраическому способу решения задач. Как уже указывалось ранее, в Х классе наибольшее внимание надо уделить задачам с буквенными данными. Только в этом случае задача может представлять значительный интерес с точки зрения исследования ее решения.

Нужна ли «проверка» при  решении текстовых  задач на составление  уравнений?

В журнале журнала «Математика в школе» №1 за 1971 г. была помещена заметка Т. Н. Поляковой, которая дает ответ на поставленный вопрос.

 Усовершенствование  процесса   обучения должно идти в двух направлениях: 1) по возможности включать, правильно освещать и изучать те вопросы, знания которых требует наше время; 2) исключать, отбрасывать то, что не нужно.

 При решении  текстовых задач на составление уравнении от учащихся требуют так называемую проверку. Нередко даже высказываются суждения, что задачу нельзя считать решенной, если не сделана «проверка».

 В чем заключается  эта «проверка»? Проверка сводится к составлению новой задачи, в которой некоторое данное исходной задачи считается неизвестным, а прежнее неизвестное считается известным, и к решению этой новой задачи.

 Для иллюстрации  сказанного приведу одну простую задачу на составление уравнений.

 Задача. Артель лесорубов должна по плану ежедневно заготовлять 100 кубометров дров. Лесорубы, перевыполняя план, заготовляли ежедневно сверх нормы 10 кубометров Дров, а потому окончили заготовку на 5 дней раньше намеченного планом срока. Сколько кубометров дров заготовили лесорубы?

 Решение.

Получаем уравнение: x/100-x/110=5.

Откуда х == 5500.

Ответ. 5500 кубометров.

 Произведем  «проверку», т. е. составим и решим такую задачу: Артель лесорубов заготовила всего 5500 кубометров дров. Перевыполняя план, лесорубы заготовляли ежедневно сверх нормы К) кубометров дров, а потому окончили заготовку на 5 дней раньше намеченного планом срока. Сколько кубометров ежедневно по плану должна была заготовлять артель лесорубов? Обозначив неизвестное этой задачи через ;/, после рассуждении, аналогичных предыдущим, получим уравнение:

 5500/y-5500/(y+1)=5

 Легко заметить, что «проверка», т. е. решение новой задачи, сводится к решению квадратного уравнения (а не линейного уравнения, как в первоначальной задаче), причем один из его корней (у=−110) не удовлетворяет задаче, составленной в «проверке».

 Можно ли считать  задачу решенной, если не проведена такая «проверка», но правильно проведены все рассуждения, верно составлено и решено уравнение и исследованы полученные решения уравнения (т. е. отброшены те его решения, которые не являются решениями данной задачи)? Уверена, что можно и даже должно считать данную задачу решенной, ибо нет причин считать данную задачу решенной только после того, как полностью решена данная задача и. кроме того, составлена новая задача и тоже решена.

 Не слишком  ли тяжелый и ненужный груз привешивается  к данной задаче? Не лучше ли более внимательно решать данную задачу, не отвлекая внимания учащихся на составление другой задачи и решение ее? Ведь те ученики, которые правильно решили данную задачу, вынуждены тратить в два-три раза больше времени на «проверку», не чувствуя необходимости в такой «проверке». Тем же ученикам, которые, не смогли решить данную задачу из-за ошибок логического характера, никакая «проверка» не поможет вскрыть ошибку: они и в «проверке» опять допустят логическую ошибку.

Какой же напрашивается вывод? 1. Не требовать при решении текстовых задач на составление уравнений «проверки» как обязательного момента решения задачи, так как нет необходимости в такой «проверке» по каким-либо соображениям принципиального характера. И значит, следует избавить учителей и учеников от ничем не обоснованного, нецелесообразного требования: считать задачу; решенной только тогда, когда произведена; «проверка»,                             

 2. Желательно изредка ставить перед учащимися такой вопрос: не смогли бы, они сами придумать и сформулировать новую задачу, используя уже решенную данную задачу (считая одно из известных данной задачи неизвестным, а вместо неизвестного в ней беря полученное в ответе число).         

Указанная Выше заметка (из журнала «Математика в школе» №1 за 1971 г) неправильно освещает вопрос и ни к чему, кроме путаницы, привести не может. В связи с этим представляется совершенно необходимым «поставить точки над i». To, что понимается под «проверкой» в указанной заметке, расходится с тем содержанием, которое вкладывают в этот термин большинство (если не все) остальных преподавателей математики. Такая «проверка» действительно не нужна (во всяком случае, не обязательна). Но существует и другая проверка—проверка в общепризнанном понимании (по смыслу задачи), и она обязательно должна завершать решение текстовой задачи на составление уравнений.

 Приведем  общие соображения и примеры, поясняющие сказанное. Для простоты ограничимся текстовыми задачами, которые решаются составлением одного уравнения с одним неизвестным (аналогичные соображения применимы в случае, когда задача сводится к системе уравнений). Возьмем задачу, которая приведена в заметке Т. Н. Поляковой.

 Задача 1. Артель лесорубов должна по плану ежедневно заготовлять 100 кубометров дров. Лесорубы, перевыполняя план, заготовляли ежедневно сверх нормы 10 кубометров дров, а потому окончили заготовку на 5 дней раньше намеченного планом срока. Сколько кубометров дров заготовили лесорубы?

 В этой задаче встречается целый ряд величин, которые мы условимся называть «физическими» величинами:

x —число кубометров дров, заготовленных лесорубами;

Y1 — число дней работы по плану;

Y2— число дней, потраченных лесорубами на заготовку дров фактически;

Y3—число сэкономленных дней (т. е. разность между плановым и фактическим сроками заготовки дров).

Здесь х (первая встречающаяся физическая величина) есть основное неизвестное, вводимое для составления уравнения, а остальные физические величины (т. е. Y1,Y2, Y3) являются вспомогательными. Для составления уравнения мы последовательно выражаем эти вспомогательные физические величины через х и ранее введенные величины:

Y1=x/100, Y2=x/110, Y3=Y1-Y2

  В результате удается выразить Y3 через х:

Y3=Y1-Y2=x/100-x/110.

Так как по условию  задачи Y3=5, то это и дает возможность составить уравнение

x/100-x/110=5.

 Мы столь  подробно остановились на процессе составления уравнения, чтобы был ясен общий метод решения таких задач. Он заключается, как это ясно из сказанного, в следующем. Мы вводим для решения задачи ряд физических величин:       х, Y1,Y2,…,Yr , Yr-1,причем делаем это так, чтобы каждую из величин Y1,…, Yr можно было выразить (в силу условия задачи) через ранее введенные величины:

  Y1= f 1(x0,

      Y2= f 2(x,Y1),

                                     …………………..               (1)