Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений

  При изучении геометрии учащиеся в начале VII класса уже знакомятся с анализом древних, эту форму анализа они осваивают в ее практическом применении к решению геометрических задач на построение, к отысканию путей доказательства теорем, им известны и характерные черты этой формы аналитического мышления.

  Поэтому, приступая к алгебраическому  решению задач, целесообразно сообщить учащимся, что алгебраический способ решения задач носит название алгебраического анализа. Надо, пользуясь конкретными задачами, разъяснить основные, характерные особенности алгебраического анализа, может быть даже кратко зафиксировать их в тетрадях, примерно, в такой редакции.

  Алгебраический  анализ при решении задач имеет  следующие характерные признаки: 1) в нем мыслительный процесс идет от неизвестного к известному, поэтому после уяснения, что дано и что требуется определить, неизвестные обозначаются с помощью букв и далее с ними оперируют, как бы с известными; 2) задача расчленяется на ряд простых задач, ответы на которые даются в процессе выражения величин задачи через неизвестные и данные; 3) в нем путем приравнивания двух величин, представленных различными выражениями, составляется уравнение (позднее система уравнений), которое является ключом для решения задачи.

  Сообщение общего плана алгебраического способа решения задач, выяснение на примерных задачах сущности алгебраического анализа, неоднократное подчеркивание этой сущности в различных концентрах решения задач (VII, VIII, Х классы) приведет к тому, что учащиеся хорошо овладеют алгебраическим анализом, осознают его сущность и значение. Надо заметить, что в процессе обучения всегда в конкретной форме и достаточно популярно следует вскрывать общие методы математики. Методология математики, поскольку она может быть выяснена при изучении элементарной математики, должна сделаться неотъемлемой частью математического образования в средней школе.

  В дальнейшем, когда часть учащихся будет продолжать образование в вузах, когда они будут изучать другие математические дисциплины, они познакомятся с другими формами современного анализа, а алгебраический анализ, с которым они хорошо освоились в школе, послужит хорошей пропедевтикой в этом деле.

  Известно, что существуют многочисленные попытки  классификаций арифметических задач, однако, в разрешении этого вопроса до сих пор не достигнуты удовлетворительные результаты. Конечно, практически ценная классификация алгебраических задач представляет еще более трудную проблему. И нам кажется, что такая классификация вряд ли осуществима.

      Однако это не должно препятствовать использованию при обучении подразделения задач по типам. Такое подразделение не носит характера логически безупречной классификации, но удобно по ряду методических соображений, а поэтому в случае надобности может быть использовано.

  В отношении  группировки задач по типам при  обучении встречаются два мнения: одни считают такую группировку нецелесообразной, так как она предопределяет подход ученика к задаче, указание типа задач направляет его мышленье в определенное русло, что мешает развитию инициативы и творчества, столь ценных при решении задач; другие считают, что такое подразделение задач по типам уместно и необходимо, так как оно позволяет в методическом отношении планомерно изучить решения различных типов задач, обеспечивает навыки в решении каждого типа, а в результате обеспечивает и максимальную инициативу, и творчество при решении задач.

  Думается, что эти две крайние точки  зрения обе верны и обе неверны. Чтобы научить учащихся решать задачи какого-либо типа, конечно, недостаточно решения одной-двух задач и дальнейшее решение таких задач от случая к случаю. Чтобы учащиеся овладели решением ; задач какого-либо типа, надо дать такое число задач этого типа, какое необходимо для выработки умения и навыка в решении всеми учащимися. Адрианов В. В. пишет: „Работа будет продуктивнее, если ее сосредоточить на к.-н. определенном типе и переходить к задачам другого типа только после удовлетворительных результатов для большинства учащихся по решению задач первого типа". Отсюда мы делаем вывод, что расположение задач по типам целесообразно и необходимо. Однако, оно недостаточно: вслед за решением задач, расположенных по типам, надо приступить к решению задач из смешанного отдела, который содержит задачи всех рассмотренных типов и, кроме них, задачи все» возможных других типов.

  Конечно, внутри одного типа задачи могут быть весьма различной трудности, поэтому расположить типы по трудности входящих в них задач—дело вообще невозможное. Такую работу можно выполнить только "применительно к данному задачнику. Однако типы задач надо прорабатывать в известной, последовательности: при чем эта последовательность будет определяться родством задач различных типов. Например, задачи на „бассейны" напоминают задачи на „работу": эти типы должны решаться в непосредственной близости друг от друга-

  В некоторых  статьях последнего времени намечается классификация приемов решения задач на составление уравнений. Нам кажется, наиболее приемлемое методическое подразделение приемов дано В. В. Адриановым в указанной выше статье. На подразделение В. В. Адрианова нельзя смотреть, как на логически безупречную классификацию, ее значение не в этом, а в том, что она намечает целесообразные последовательные этапы в подходе к задачам постепенно нарастающей трудности.

  Приемы  составления уравнений подразделяются по трем признакам: во-первых, что обозначено через неизвестное, то ли число, о котором поставлен вопрос в задаче, или какое-либо другое вспомогательное число; во-вторых, по характеру приравнивания величин; в третьих, по характеру выражения тех функциональных зависимостей, которые лежат в сюжете задачи.

  Первый  прием отличается тем, что x-ом обозначается то число, о котором поставлен вопрос в задаче, и что одно данное число сохранено для составления уравнения. Задачи № 1 и № 2 нашей работы решены первым приемом. В задаче № 1 спрашивается, сколько куплено груш и сколько яблок; в ее решении х-ом и обозначено одно из неизвестных, а именно число купленных груш; стоимость всех купленных фруктов сохранена для составления уравнения. В задаче № 2 спрашивается, сколько стоит карандаш и сколько стоит ручка; х-ом обозначена стоимость карандаша, а стоимость всех купленных предметов сохранена для составления уравнения. Рассматриваемый прием употребляется в первом концентре решения задач алгебраическим способом (VII класс) чаще других; он проще других. Для составления уравнения, вообще говоря, можно оставлять любое число, как это показано при решении задачи № 2.

  Однако  имеются задачи, в которых иногда удобнее, а иногда и необходимо обозначать x-ом не то число, о котором ставится вопрос задачи, а другое вспомогательное и связанное с первым. Второй прием составления уравнений отличается от первого тем, что отступают от одной особенности первого приема, от обозначения через х числа, о котором ставится вопрос в задаче; в нем х-ом обозначается вспомогательное число, связанное с искомым.

  Задача № 3. Найти двузначное число, в котором число, выраженное цифрой единиц, больше числа, выраженного цифрой десятков, на 3 и которое, будучи сложено с числом, имеющим обратный порядок цифр, дает 77.

I. Дано: 1) число единиц в двузначном числе на 3 больше числа десятков,

               2) сумма искомого числа с числом, имеющим обратный порядок цифр, равна 77.

П. Определить: двузначное число.

III. Что приравнять? Для составления уравнения сохраним число 77, которое сделаем правой частью уравнения.

Обозначения:

1) число десятков двузначного числа х,

2) число единиц его х+3,

3) искомое двузначное число равно 10x+x+3=11x+3,

4) число с обратным порядком цифр = 10(х+3)+х,

5) сумма чисел =11x +3+10 (x+3)+ х.

IV. Уравнение. 11x +3+10 (x+3)+ х =7.

V. Решение. 11x +3+10 x+30+ х =7,

                      22х=44,     х=2.

Проверка. 11. 2+3+ 10.5+2== 77.

VI. Ответ. Искомое число имеет 2 десятка и 5 единиц, т. е.==25.

VII. Исследование. 5—2=3, 25+52 ==77.

  В этой задаче требуется определить двузначное число, однако не оно обозначается      х-ом, а х-ом обозначаются его десятки (могут быть обозначены и единицы). При этом такое обозначение необходимо: обозначение неизвестного числа одной буквой не дало бы возможности составить уравнения и решить задачу.

  Задача № 4. Разделить 360 на три части пропорционально числам 2:3:4.

  При решении этой задачи можно было бы х-ом обозначить, например, первую часть, тогда вторая и третья соответственно получат обозначения 3/2х и 2х. Значит, эта задача может быть решена первым приемом, но удобнее обозначить х-ом не первую или какую-либо другую часть числа, а одну долю, тогда получим для частей соответственно обозначения 2х, Зх и 4х и уравнение 2х+3х+4х=360. Таким образом, обозначение в этой задаче доли не является необходимым, но оно полезно, так как упрощает последующие обозначения, рассуждение и уравнение. Задачи, в которых применяется, пропорциональное деление, часто встречаются среди геометрических задач, поэтому приучать учащихся обозначать х-ом одну долю вполне уместно.

   Задача № 5. Найти дробь, если известно, что знаменатель ее на единицу больше числителя, а если к числителю прибавить 5, а от знаменателя отнять 1, то получится дробь

равная 3/2.

         Дано: 1) знаменатель дроби на 1 больше числителя,

                    2) к числителю прибавляется 5,

                    3) от знаменателя отнимается 1,

                    4) получается дробь, равная .

II. Определить дробь.

III. Что приравнять? Правой частью уравнения сделаем -„ .

Обозначения:

                     1) числитель искомой дроби =х,

                     2) знаменатель ее =х+1,

                     3) числитель полученной дроби =x+5,

                     4) знаменатель ее =х,

                     5) полученная дробь = (x+5)/x.

IV. Уравнение: (x+5)/x=3/2 

V. Решение:

2x+10=3x,

x=10.

Проверка:

(10+5)/10=15/10=3/2

VI. Ответ: числитель =10, знаменатель =11 ,а искомая дробь =10/11

VII. Исследование: 

(10+5)/(11-1)=15/10=3/2.

  В этой задаче требуется найти дробь, однако обозначение  ее через х. не дало бы возможности составить уравнение, Необходимо обозначить или числитель дроби, как это сделано при решении задачи, или ее знаменатель, т. е. обозначение вводится опять не для искомого числа, а для числа, связанного с искомым, по которому искомое легко определяется.

  К третьему, четвертому и пятому приемам решения  В. В. Адрианов относит такие задачи, в которых обе части уравнения выражены функциями неизвестных. При этом, „при составлении уравнений по третьему приему равенство обеих частей устанавливается на основе одного из условий задачи, явно выраженного числом, данным в задании". Четвертый прием отличается от третьего тем, что основою приравнивания является условие, выраженное не числом, а словами или вытекающее из общего смысла задачи. Особенность пятого приема заключается в том, что приравнивание обеих частей уравнения обусловливается функциональной зависимостью, которая дается условием задачи. Надо заметить, что отличить третий, четвертый и пятый прием друг от друга довольно трудно, в силу этого их различие не следует подчеркивать перед учащимися. Однако педагог при подборе и постепенном усложнении задач эти особенности может учитывать.

  Задача  № 6. В одном районе 49 школ, а в другом 55 школ. В первом ежегодно открывают по 7 новых школ, во втором—по 5. Через сколько лет число школ в обоих районах уравняется?

I. Дано: 1) в I районе 49 шк.; 2) во II районе 55 шк.;

3) в I районе ежегодно открывают 7 шк., а во II районе — 5 шк.

II.Найти через сколько лет число школ уравняется.

III. Что приравнять? Задача подсказывает, что удобно приравнять число школ в районах по прошествии неизвестного числа лет.