Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений

r">                        Yr-1= f r-1(x,Y1,…,Yr-2),

                          Yr= f r(x,Y1,…,Yr-2,Yr-1) 

     и чтобы величина Yrбыла известной из условия задачи:

                                             Yr=a .                                             (2)

Если все эти  соотношения сопоставить, то удастся  сначала выразить Y2, через х (т. е Y2= f 2(x,Y1)= f 2(x, f 1(x)), затем можно будет выразить Y3, через х и т. д., пока наконец мы не получим выражение последней величины Yr через x:

                                             Yr= f (x).                                           (3)

Учитывая соотношение (2), мы получим тогда уравнение для решения задачи:              f (x)= а. Такова общая схема составления уравнения в текстовой задаче (эту схему можно было бы заменить несколько более обшей, но, как правило, применяется именно такая схема).

 Приведем  еще пример.

 Задача 2. В одном баке было вдвое больше бензина, чем я другом. Когда из первого бака вылили во второй 20 л бензина, во втором баке стало бензина на 5 л больше, чем осталось в первом. Сколько бензина было во втором баке первоначально?

Здесь мы имеем  следующие физические величины, связанные  с содержанием задачи:

х —количество бензина (в литрах) во втором баке до переливания;

Y1 — количество бензина в первом баке до переливания;

Y2—количество бензина в первом баке после переливания;

Y3—количество бензина во втором баке после переливания;

Y4—разность между количеством бензина во втором и первом бане после переливания. По условию задачи мы имеем следующие зависимости:

Y1 =2x,

Y2=Y1-20,

Y3=x+20,

Y4=Y3-Y2.

 И здесь каждая из величин Y1, Y2, Y3 Y4 выражается через х и предыдущие величины, и это дает возможность в конечном итоге выразить Y4, через х:

 Y4= Y3= Y2=(x+20)-(Y1-20) =(x+20)-(2x-20).

Так как, кроме  того, по условию задачи Y4= 5, то мы и получаем уравнение

(х + 20) — (2х — 20) = 5.

  Итак, общая схема составления уравнения по условиям текстовой задачи выяснена и проиллюстрирована на примерах. Однако при решении текстовой задачи мало составить уравнение. Дело в том, что рассматриваемые физические величины всегда подчинены некоторым  ограничениям, которые явно в условии задачи не указываются,  но вводятся по смыслу рассматриваемых физических величин. Так, число дней работы по плану есть (по смыслу) величина положительная (и притом выражающаяся целым числом); количество бензина в баке после переливания величина (по смыслу) неотрицательная; температура воды в градусах Цельсия (при нормальном давлении) есть величина, заключенная в отрезке [0; 100] и т. д. В общем виде можно сказать, что если при решении текстовой задачи были введены физические величины х,Y1,... Yr, то (по смыслу этих физических величин) имеются некоторые ограничения:

|              x€M, Y1€N1, .. ., Yr€Nr,                    (4)

где М, N1,. .. , Nr, — некоторые числовые множества. Например, если (по смыслу) физическая величина должна быть неотрицательной, то это означает, что накладывается ограничение Y1€N1,гдеN1€(0,∞). Если бы ограничений (4) (по смыслу рассматриваемых физических величин) наложено не было, то содержание задачи в точности соответствовало бы системе соотношений (1), (2), т. е. получаемому из них уравнению (3). И тогда, (разумеется, при условии, что уравнение решено правильно) никакой проверки делать было бы не нужно. Но беда в том, что по смыслу на рассматриваемые физические величины накладываются ограничения (4), которые никак не отражены в составленном уравнении. Поэтому, после того как уравнение решено, нужно обязательно посмотреть, какие из корней этого уравнения удовлетворяют всем ограничениям (4). Чтобы это проверить, надо для каждого найденного корня х = x0 найти соответствующие физические величины и проверить выполнение ограничений (4). Если хотя бы одно из них не выполняется, корень x0 по смыслу задачи непригоден и должен быть отброшен.

 И вот тут-то заключена основная опасность. Дело в том, что при составлении  уравнения мы обычно не выписываем (обозначая отдельными буквами Y1,..., Yr) все встречающиеся физические величины, а сразу выражаем их через х и составляем уравнение. И может случиться, что корень х = x0 требуемому ограничению х€М удовлетворяет, но одна из вспомогательных физических величин  (скажем, Yi) требуемому ограничению (т. е. Yi€Ni) не удовлетворяет, и потому корень x0 должен быть отброшен (хотя на первый взгляд x0 требуемому ограничению, т. е. х€М, удовлетворяет). Как можно это  обнаружить? Только проверкой по условию задачи с учетом смысла вводимых физических величин. Рассмотрим простые примеры.

 Задача 3. В трех баках было вместе 50 л бензина, причем в первом было на 10 л больше, чем во втором. Когда из первого бака вылили в третий 26 л, во втором и третьем баках стало бензина поровну. Сколько было первоначально в первом баке?

 Решение (обычное, т. е. не вводящее обозначений Y1,... Yr, для встречающихся в задаче физических величин).

 х — в первом баке до переливания,

 х—10—во втором баке,

50 — х — (x — 10) — в третьем баке до переливания,

50 — х — (x — 10) + 26 — в третьем баке после переливания.

Получаем уравнение

    х — 10 = 50 — х — (х — 10) + 26,

решая которое, находим х =32.

 Если бы мы не произвели проверку по условию задачи, а успокоенные тем, что полученное решение х = 32 положительно, написали ответ (в первом баке было 32 л), то совершили бы ошибку.

 Разберемся  в этом. В рассматриваемой задаче имеются следующие физические величины:

 х—количество бензина в 1-м баке до переливания;

 Y1— количество бензина во 2-м баке;

 Y2—количество бензина в 3-м баке до переливания;

 Y3—количество бензина в 1-м баке после переливания;

 Y4 — количество бензина в 3-м баке после переливания;

 Y5 — разность между количеством бензина во 2-м и 3-м баках после переливания.

  По смыслу этих физических величин все числа x,Y1, Y2, Y3 Y4 должны быть неотрицательными:

 х≥0, Y1,≥0,Y2≥0,Y3≥0, Y4≥0.

Таковы ограничения (по смыслу) в этой задаче. Проверим, выполняются ли они для найденного значения х = 32:

х = 32 — число положительное;

Y1, = х — 10 = 32 — 10 ==22 — число положительное;

Y2 = 50 — x — Y1= 50 — 32 — 22 = — 4 —число отрицательное.

Дальше нечего проверять—величина Y2 требуемому ограничению не удовлетворяет, и, значит, корень х = 32 должен быть отброшен по смыслу задачи, т. е. задача решения не имеет. Как видим, мнение Т. Н. Поляковой о том, что «нет необходимости в проверке по каким-либо соображениям принципиального характера», неверно и приводит к прямым ошибкам.

 Еще один пример.

 Задача 4.  Ракета стартует и движется вертикально вверх с ускорением 10 м/сек² и поражает цель (самолет противника} на высоте 18 км. Через сколько времени после старта ракеты звук взрыва, будет зафиксирован наземной --станцией слежения, находящейся в 24 км от ракетной установки? Скорость звука принять 1/3 км/сек.

 Решение. Из теоремы Пифагора без труда вытекает, что в момент взрыва цель находилась на расстоянии 30 км от станции слежения. Обозначим через х время (в секундах), прошедшее от момента старта до момента фиксирования звука взрыва на станции. Так как звук от взрыва дошел до станции через 30: ⅓ =90 (секунд) после взрыва, то поражение цели (взрыв) произошло через x-90 секунд после старта ракеты. За это время ракета прошла путь (по формуле s=at²/2), равный [10(x-90)²]/2 метров. А по условию этот путь равен 18000 метров. Получаем уравнение: [10(x-90)²]/2 =18000,

отсюда находим  два корня: x1 = 150, x2 = 30 (секунд). Оба корня вроде бы вполне приемлемы (во всяком случае, они положительны), и, следуя совету Т. Н. Поляковой их оба надо было бы без всякой проверки признать дающими решение задачи. Между тем очевидная проверка (по условию задачи) показывает, что пригоден только первый корень. Это и ясно: ведь только после взрыва звук идёт до станции 90 секунд, и потому 30 секунд явно недостаточно.

 Разумеется, в обеих только что рассмотренных задачах совершенно прозрачны причины; по которым следует отбросить неприемлемые решения (и другой способ выбора неизвестного сделал бы это еще яснее), но легко составить более сложные задачи, в которых причины отбрасывания решений не столь прозрачны и только проверка по условию задачи позволяет их выявить.                        

Вывод. Уравнение, составленное для решения текстовой задачи, не учитывает ряд ограничений на физические величины, которые должны быть наложены по смыслу задачи. При этом ограничения накладываются не только на основное неизвестное х, относительно которого составляется уравнение, но и на другие физические величины, рассматриваемые в процессе составления уравнения. Благодаря этому не все корни составленного уравнения оказываются пригодными для получения решения текстовой задачи (причем это не сразу «видно»), а некоторые должны быть (по смыслу задачи) отброшены. Вопрос о том, какие корни уравнения дают решение поставленной задачи, а какие должны быть по смыслу задачи отброшены, решается только проверкой. Поэтому проверка является необходимым элементом решения текстовой задачи: без проверки задача не может считаться решенной. Проверка заключается в следующем: взяв корень x0 уравнения, мы вычисляем все физические величины, входящие в условие задачи, и проверяем, удовлетворяют ли эти величины смысловым ограничениям: