Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений

  Как видно, С. С .Бронштейн занимает совершенно другую позицию в вопросе об общем  приеме составления уравнений. Не вдаваясь в рассмотрение существа того метода решения, который рекомендует Бронштейн, заметим, что за последние годы в ряде методических статей прямо или косвенно признается, что общий прием, общий метод решения задач с помощью уравнений существует. Мы думаем, что правы те, которые утверждают, что можно указать общий метод алгебраического способа решения задач, что таким методом является особая форма алгебраического анализа. Это положение развивается ниже, в главе VI настоящей работы, Очевидно, что эта вторая точка зрения на общий метод решения задач коренным образом меняет педагогический процесс, она вносит в него глубокие улучшения: методическая проблема сводится к тому, чтобы вооружить учащихся этим общим методом решения задач. Но, очевидно, что одна возможность дискуссии о существовании общего метода решения задач свидетельствует о том, что этот вопрос отличается существенными трудностями и для учителя и для ученика.

Подготовительные упражнения в решению задач с помощью уравнений.

  Оставив пока без разрешения вопрос об общем методе составления уравнений, легко видеть, что все другие трудности могут быть изжиты заблаговременно путем введения предварительных, систематически проводимых упражнений. Основные цели этих упражнений, как непосредственно следует из изложенного, таковы: а) они должны помочь учащимся правильно понимать, вкладывать верный смысл в те выражения и понятия, которые входят в условия задачи; б) они должны научить составлять по условиям задачи арифметические и главным образом алгебраические выражения, т. е. научить переводить с родного языка учащихся на язык алгебраический и наоборот; в) в процессе их выполнения учащиеся должны освоиться с наиболее распространенными функциональными зависимостями, научиться правильно их понимать и умело ими пользоваться.

  Основные  цели этих упражнений таковы, что они  независимо от задач на составление уравнений имеют определенную значимость вообще при изучении элементов алгебры. Поэтому неизбежная затрата времени на них не является нецелесообразной расточительностью, а служит общему подъему алгебраических знаний, умений и навыков учащихся. Такие упражнения должны вводиться с первых шагов изучения алгебры, они должны систематически проводиться на протяжении VI и VII классов, а в случае надобности они должны  частично найти место и в VIII классе.

  Первая  глава, с которой обычно начинается изучение алгебры, „Буквенные обозначения", по своему существу такова, что в ней вполне уместны упражнения, удовлетворяющие намеченным выше требованиям. Этому в известной мере способствует и стабильный задачник, дающий примеры таких упражнений, хотя и в недостаточном количестве .

  Последующие главы VI и VII классов надо изучать так, чтобы интересующие нас уменья и навыки продолжали развиваться, углубляться и совершенствоваться.

  В известной  мере эти упражнения можно разработать  так, чтобы они не были материалом, совершенно: не связанным с изучаемой главой курса, а помогали бы учащимся осознавать теорию этих глав и давали материал для применения теории к практике. Например, приступая к изучению умножения многочлена на одночлен и желая напомнить учащимся в наглядной форме дистрибутивный закон, учитель может предложить такие задачи: 1) Одна сторона прямоугольника равна а, другая b. Как выразить площадь прямоугольника? 2) Одна сторона прямоугольника равна а+b, другая с. Найти выражение площади прямоугольника. Составить чертеж. 3) Как решить ту же задачу другим способом? Пояснить решение на чертеже. 4) Какое заключение можно сделать о тех выражениях, которые получились в результате первого и второго решения задачи? Какой закон выражает полученное равенство? 5) Проверить справедливость равенства для: а) а =5,b=4, с=3; б) a=−10, b=−7, с=+4.

   Иногда такие упражнения могут занимать значительную часть урока, в таком случае они могут являться центральным, основным этапом урока, но чаще всего такие упражнения удобно проводить в начале или в конце урока алгебры в отводимые на них 7-10 минут. Можно установить, как правило, что в VI и VII классах на каждом уроке алгебры отводится 7—10 минут для таких упражнений и устных занятий. Конечно, в случае надобности они могут быть усилены за 1—2 месяца до начала составления уравнений.

  Для конкретизации  и иллюстрации развиваемых положений  приведем конспекты таких упражнений на тему: „Зависимость между временем и числом рабочих для выполнения определенной работы". В конспекте приводим вопросы и реплики учителя, а также даем необходимые для понимания организации работы указания.

1-е  занятие.

  — Откройте странички в конце тетрадей, где мы упражняемся в записи выражений.

  — Сегодня мы начнем новый вид упражнений. Сделайте заголовок: „Зависимость между временем и рабочей силой для выполнения определенной работы",

  — Один рабочий может закончить некоторую работу в 24 дня.                                  

  Во сколько  дней закончат ту же работу 2 рабочих? 3 рабочих? 4 рабочих?

  — Запишем это в виде таблички.

 

  — Вспомните, как называются две величины, связанные таким соотношением, как в предыдущей задаче.

  — Придумайте сами примеры обратно пропорциональных величин.

  Учитель с классом рассматривает еще 2—3 примера обратно пропорциональных величин, фиксируя их в  виде табличек.

  — Рабочий может закончить работу в х дней, а сколько дней надо для окончания той же работы 2-м рабочим? 5-ти рабочим ? а рабочим?

  — Рабочий может окончить некоторую работу в с дней. Какую часть работы он может выполнить в 1 день? в З дня? в 5 дней ?в п дней?

  — Один рабочий оканчивает работу в 10 дней, а другой— в 15 дней, Какую часть работы, работая вместе, они выполнят в один день?

  — Один рабочий окончил работу в а дней, а другой — в b дней. Какую часть работы, работая вместе, они выполнят в 1 день? в 2 дня? в с дней? 

2-е  занятие.

  — Одна машинистка может перепечатать рукопись в т часов, другая—в n часов. Какую часть рукописи они могут перепечатать, работая вместе р часов?

  — Придумайте сами по одной задачке, похожей на эту или на те, какие мы решали в прошлый урок.

  Учитель и класс заслушивают 2—3 таких задачи и дают их решения.

  — Один тракторист может вспахать озимое поле в а дней, а другой — в b дней. Что можно определить по этим данным и как это сделать?

  — Один маляр может окрасить 50 кв. м полов в а дней, другой — в b дней. Что можно определить, используя все данные, и как это сделать?

3-е занятие.

  — Один рабочий может выполнить некоторую работу в 5 часов, другой—в 6 часов, а оба вместе—в 2·2/9 часа. Как записать эти условия в виде равенства?

  — Один колхозник может засеять поле в а дней, а другой — в b дней, а оба вместе — в с дней. Как записать эти условия в виде равенства?

  — Один колхозник может засеять поле в а дней, а другому надо на 2 дня больше. Оба же вместе выполняют эту работу в с дней. Как записать эти условия в виде равенства?

  — Придумайте задачи, похожие на предыдущие, где участвовало бы не два севца, а три.

4-е  занятие.

  — Одна машинистка может перепечатать рукопись в некоторое число часов, а другой необходимо для той же работы на 2 часа меньше. Какую часть рукописи они, работая вместе, перепечатают в 1 час? в 3 часа? в п часов?

  — Первая машинистка может перепечатать рукопись в а листов в некоторое число часов, а другой необходимо для той же работы на 3 часа больше. На сколько листов первая машинистка может выполнить в 1 час больше, чем вторая?

  — Один комбайнер может убрать поле в некоторое число дней, а другому надо 4/5

   этого  числа дней. Какую часть поля они уберут вместе в 3 дня?                  

  — Первый комбайнер может убрать поле на 5 дней скорее, чем второй, а второй на 3 дня скорее, чем третий. Какую часть поля они уберут вместе в 1 день?

  Приведем  те указания, которыми целесообразно  руководствоваться при проведении предварительных упражнений.

   1) Упражнения, проводимые в один прием, целесообразно группировать или по сюжетам задач, как это сделано в только что приведенном примере, или по тем математическим операциям, которые необходимо выполнить для решения задачи, например, упражнения на кратное и разностное отношение чисел.

   Приступив к упражнениям того или другого  типа, следует добиться, чтобы все  учащиеся научились решать задачи этого  типа. После этого можно перейти  к упражнениям другого типа и  т. д. Однако в дальнейшем через некоторые  промежутки времени надо возвращаться к уже освоенным упражнениям, добиваясь возможно безупречного и быстрого их выполнения. При таких повторных занятиях уместно предлагать упражнения смешанные—различных типов.

  2) Для понимания смысла задач и для лучшего осмысливания буквенных обозначений весьма полезно прибегать к примерным задачам из арифметики с числовыми данными, полезно составлять арифметические выражения по условиям задач. Такие задачи дают необходимое направление мышлению учащихся, когда последние оказываются бессильными дать решение на языке алгебраических символов. Например, среди учеников всегда находится некоторая часть, которая на вопрос задачи:

„Один рабочий  может выполнить некоторую работу в m дней, а другой—в п дней. Сколько нужно дней, чтобы оба рабочих, работая вместе, могли закончить ту же работу?"—легкомысленно отвечают: (т+п) дней. Если же поставить задачу так:

„Один рабочий  может выполнить некоторую работу в 8 дней, а другой—в 10 дней. Сколько нужно дней, чтобы оба рабочих, работая вместе, могли закончить туже работу?'', то учащиеся сейчас же увидят несостоятельность своего первого утверждения и скорее наметят верный способ решения задачи.

  3) В качестве первых упражнений какого-либо типа надо рекомендовать задачи, данные которых выражены явно». Эти задачи отличаются от других тем, что они не требуют" введения обозначений и с этой точки зрения проще, так как напоминают учащимся арифметические задачи. Кроме того, на этих задачах во многих случаях легче наблюдать функциональную зависимость, лежащую в основе задачи.

  Примеры таких задач даны в занятии  первом в разработанном выше примере  о зависимости между временем и рабочей силой.

  4) В некоторых методических статьях о составлении уравнений (Н. Островский) рекомендуется применять задачи без формулированного вопроса.

  Примеры: 1) Скорость одного аэроплана V км в час, а другого V1 км в час. Что можно определить и как, используя все данные задачи? 2) Каждый из двух аэропланов пролетел s км. Один летел T часов, а другой T1 часов. Что можно определить и как определить, используя все данные задачи?

  Значение  этого вида задач − в том, что они развивают гибкость в постановке вопросов, что они приучают учащихся в нужных случаях ставить тот вопрос, который окажется существенным и решающим для задачи на составление уравнений.

  5) Задачи с обозначенными данными, но требующие составления равенства (а не только выражения—ответа), представляют значительный интерес, так как являются прекрасной подготовкой к приравниванию двух величин, различно выраженных, что непременно всегда приходится выполнять при составлении уравнений.

  Примеры: а) Числитель дроби а, а знаменатель b. Разность между этой дробью и обратной дробью равна ½. Записать это условие с помощью равенства. б) Делимое равно а, делитель b, частное р и остаток r. Написать равенство, выражающее зависимость между этими числами.

      Примеры таких задач даны и в примерном конспекте (см. занятие третье).

  6) Следующий вид упражнений—задачи, требующие для решения введения обозначений известных величин, не обозначенных в условии задачи.

  Примеры: а) Определить сумму площадей двух квадратов, стороны которых известны, б) Определить площадь ромба, диагонали которого известны. (Смотрите также примерный конспект—занятие четвертое).

  Такие задачи представляют интерес в том отношении, что учащиеся получают первые навыки во введении обозначений величин, с  которыми имеет дело условие задачи, они далее производят необходимые операции над этими величинами и находят требуемые ответы на вопросы задачи.