Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений

Обозначения:

1) число школ уравняется через x лет,

2) тогда в I районе увеличится на 7х шк.,

3) во II районе увеличится на 5x шк.,

4) в I районе будет (49 +7x) шк.,

5) во П районе будет (55+ 5x) шк.

IV. Уравнение: 49 + 7х == 55 + 5x.

V. Решение:                           

7x-5x=55—49,

2x=6, x=3.

Проверка:    49+7·3=70, 55 + 5∙3 = 70.

VI. Ответ: через З года.

VII. Исследование: через 3 года в I районе откроется 21 шк. и будет 49 шк.+21 шк.=70 шк., во II районе откроется 15 шк. и будет 55 шк.+15 шк.70 шк.

  Прием составления  уравнения в этой задаче является примером третьего приема: в нем обе части уравнения являются функциями неизвестного, а для получения уравнения послужило то, что число школ уравнивается. Конечно, для решения этой задачи можно составить уравнение по первому приему. Однако, пользуясь такой задачей, можно показать учащимся, что получается уравнение, которое содержит неизвестное в обеих своих частях. Задачи, относящиеся по решению к этому третьему приему, явятся подготовительными к решению тех задач, в которых появление и в той и в другой части уравнения функций неизвестного будет необходимо.

  Задача № 7. Найти два числа, если известно, что сумма их равна 54 и что учетверенное меньшее число равно разности этих чисел, увеличенной в 25 раз.

      I. Дано: 1) сумма двух чисел равна 54, 2) учетверенное меньшее число = разности этих чисел, умноженной на 25.

  II. Найти: 1) меньшее число, 2) большее число.

  III. Приравняем учетверенное меньшее число и увеличенную в 25 раз разность искомых чисел.

Обозначения:

1) меньшее число =х,

2) большее число =54—х,

3) учетверенное меньшее число = 4x,

4) разность между большим и меньшим числом =(54—x)—x=54—2x,

5) произведение разности чисел на 25 равно (54 — 2x). 25.

 IV. Уравнение: 4x = (54 — 2x)·25.

 V. Решение:

 4x=54 ·25 — 50л,

 54x=54·25,

x =25.

Проверка: 4·25= 100, (54—50)·25== 100.

 VI. Ответы: 1) меньшее число =25; 2) большее число ==29.

 VII. Исследование: 1) 25+29=54; 2) 25· 4== 100;

                                      3) (29—25)·25 ==100.

  При решении этой задачи, если и возможно избежать такого уравнения, в котором  неизвестное содержится в обеих  частях, то делать это неудобно; задача почти необходимо приводит к уравнению, обе части которого — функции неизвестного.

  При решении задач третьим приемом  надо обратить внимание учащихся, что нет надобности сохранять число для составления уравнения, что при решении надо наметить, какие величины предполагается приравнять, а затем и получить выражение этих величин через неизвестные и данные. Своевременное в процессе решения выяснение, какие величины удобно приравнять, представляется очень существенным, так как это .придает целенаправленность всей последовательности обозначений, какие вводятся в III пункте плана решения задачи, и избавит от лишних и непригодных для решения обозначений.

  Задача № 8. По окружности круга навстречу двигаются две точки: одна со скоростью v см в секунду, другая v1 см в секунду. Через какие промежутки пути происходят их встречи, если длина окружности равна с см (v > v1).

I. .Дано: 1) скорость первой точки v см в сек.,

               2)     „     второй   „   v1 „ „ „,

               3) длина окружности с см.

 П. Определить, через какие промежутки пути происходят встречи точек.

 III.Что приравнять? Возможно приравнять время движения I точки времени движения II точки между двумя очередными встречами.

Обозначения:

1) Точки встречаются через x см. (Длина меньшей дуги).

2) Первая точка пройдет путь, равный (с—x) см.

3) Время движения первой точки = (c-x)/v сек.

4) Время движения второй точки = x/ v1 сек.

IV. Уравнение:

(с— х)/v=x/ v1

V. Решение:

cv1-v1x=vx,

vx+ v1 x=c v1,

x∙(v+ v1)=c v1,

x=c v1 /(v+ v1). 
 

Проверка: [c-(c v1 /(v+ v1)]=c/(v+ v1),   (c v1 /(v+ v1)÷ v1 =c/(v+ v1).

VI. Ответ: точки встречаются через (c v1 /(v+ v1), считая по пути движения второй точки (с меньшей скоростью).

8. Исследование. 1) [c-(c v1 /(v+ v1)]=c/(v+ v1)(см).

                                       2) (cv/(v+ v1)÷v=c/(v+ v1) (сек).

                                       3) (c v1 /(v+ v1)÷ v1 =c/(v+ v1) (сек).

Решение задачи № 8 является примером четвертого приема. В нем, как и в третьем, обе части уравнения являются функциями неизвестного, но он отличается от третьего приема тем, что приравнение выполняется по смыслу задачи, как в задаче № 8, или по условию, выраженному словами. Конечно, прежде чем решать такую задачу с учащимися в общем виде, уместно решить ее с числовыми значениями величин, положив, например, v =10 см в сек., v1 =8 см в сек., С ==378 см.

  Задача № 9. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р, а боковая высота относится к высоте треугольника, как т: п. Определить стороны треугольника.

  I.Дано:1) периметр=2p, 2) АЕ:ВД=т :п, 3) АВ=ВС.

  II. Определить: 1) AC, AB или ВС.

  Ш. Что  приравнять? Отношение двух сторон треугольника равно обратному отношению соответственных высот, проведенных на эти стороны.

Обозначения:

1. АС=х ед. дл., 2) АС+ВС=(2р—х) ед. дл., 3) ДС=(2p-x)/2ед. дл.

IV. Уравнение:

х(2p-x)/2=m:n,

V. Решение:

пх=(2mp-mx)/2,

2пх =2mp — тх,

x(2n+n)=2mp, x=2mp/(2n+m)

Проверка:

Левая часть=2mpn/(2n+m);

Правая  часть равна=2mp-[2 m²p/(2n+m)]/2= 2mpn/(2n+m); 

VI. Ответы: 1)АС=2mp/(2n+m) ед.дел.,

                  2)АВ=ВС=[2p-(2mp/(2n+m))]÷2=(4np+2mp-2mp)/((2n+m)∙2)=2np/(2n+m) ед.дел.

VII. Исследование:

1)AB + ВС + А С =(2np/(2n+m))+ (2np/(2n+m))+ (2mp/(2n+m))=(4np+2mp)/(2n+m)=2p; 

2) (2mp/(2n+m))÷ (2np/(2n+m))=m÷p.

  Решение задачи № 9 является примером пятого приема. В нем опять обе части уравнения являются фунциями неизвестного, а приравнивание обеих частей уравнения основывается на функциональной зависимости: отношение двух сторон треугольника обратно пропорционально отношению соответственных высот.

Обзор особенностей решения  задач по концентрам.

  Решение задач с помощью составления одного уравнения первой степени с одним неизвестным фактически является первым (1) концентром алгебраического способа решения задач. Последующие концентры таковы: 2) составление системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными; 3) составление нескольких уравнений первой степени с таким же числом неизвестных; 4) составление квадратного уравнения с одним неизвестным; 5) составление системы двух или нескольких уравнений соответственно с двумя или несколькими неизвестными, приводящейся к квадратному уравнению; 6) составление уравнений или систем уравнений, решаемых способами элементарной алгебры, по преимуществу таких, в которых данные буквенные, с последующим исследованием в Х классе. Первый концентр в методическом отношении является самым трудным, а вместе с тем и решающим в этой части обучения алгебре. Успешная работа класса в этом концентре в значительной мере обеспечивает успешную работу в последующих концентрах, и недоработка в первом концентре неизменно вызывает затруднения в дальнейших концентрах. Дело в том, что при решении задач в последующих концентрах применяются те же приемы и методы, тот же план (с незначительными поправками), что и при составлении одного уравнения первой степени. Поэтому нет надобности подробно останавливаться на остальных концентрах, а возможно ограничиться несколькими краткими замечаниями.

 а) Если по каким-либо причинам подготовительные упражнения к составлению уравнений использованы в первом концентре недостаточно полно, если педагог убедится в полезности таких упражнений и в дальнейшем, то следует их вести на подступах и во время проработки 2, 3 и даже 4 концентров. Конечно, эти упражнения несколько видоизменяются: появится возможность использовать два и три неизвестных, с развитием учащихся появится возможность давать несколько более сложные упражнения. Упражнения могут обогатиться новыми функциональными зависимостями, а „значит и новыми сюжетами задач.

 б) Для первого  ознакомления с составлением системы  двух уравнений первой степени с  двумя неизвестными может быть использована одна из задач, которая уже решалась ранее, например, в нашей работе, задачи №№ 1 и 2. Можно решить одну из таких задач с помощью одного уравнения, а затем дать решение той же задачи с помощью системы уравнений. Надо обратить внимание учащихся, что второе решение легче:

в нем меньше затруднений в выполнении III и IV пунктов плана, которые, вообще говоря, являются наиболее трудными для учащихся. Решение системы, конечно, несколько сложнее решения соответствующего уравнения с одним неизвестным, но эти трудности таковы, что с ними ученики уже научились справляться ранее — в процессе решения систем. Затем надо предложить задачи, которые уже не могут быть решены с помощью одного уравнения, а обязательно требуют использования системы двух уравнений. Таким образом, учащиеся убеждаются в практической полезности решения систем, они убеждаются в том, что количество задач, доступных им, увеличивается,