Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений

1) сколько куплено груш,

2) сколько куплено яблок.

  III. Далее следуют пояснения учителя, которые переходят в беседу.

  — Для решения задачи составим уравнение. С этой целью выделим одно из данных чисел и будем его приберегать, чтобы сделать правой частью уравнения. В этой задаче удобнее выделить стоимость всех купленных фруктов. Итак, пока оставим стоимость фруктов 9 руб. 75 к. и пользоваться этим числом не будем,

  — Для составления уравнения одно из неизвестных обозначим какой-либо буквой, например, х. Какое неизвестное в нашей задаче можно обозначить через х?

  — Обозначим количество купленных груш через х. Запишем это: куплено х груш.

  — Теперь, пользуясь х-м, как бы известным числом, введем обозначения для всех величин, которые необходимы, чтобы подсчитать стоимость всех купленных фруктов.

  — Если куплено х груш, то как обозначить число купленных яблок?

  — Их куплено на 5 штук меньше, т. е. (x—5) яблок.

  — А сколько стоит одна груша?

  — Груша стоит 20 коп.

  — Как выразить стоимость х груш?

  — Стоимость всех груш равна 20л: коп.

  — Сколько стоит одно яблоко?

  — Как выразить стоимость (х—5) яблок?

  — Стоимость всех яблок выражается так: 15 (х—5) кои.

  —Итак, груши стоят 20х коп., а яблоки 15 (х—5) коп. Как же выразить стоимость всех купленных фруктов, пользуясь полученными выражениями?

  — Фрукты стоят [20x+ 15 (x—5)] коп.

  IV. — Теперь вспомним то число, которое мы оставили неиспользованным. Сколько стоят все фрукты по условию задачи ?

  — Сколько копеек в 9 руб. 75 коп,?

  — А сколько стоят фрукты в наших обозначениях?

  — Как же составить уравнение?

     — Получаем уравнение: 

20x+15 (x—5) =975.

— В уравнении наименования величин не пишутся.

  V. В результате нашей работы мы получим уравнение. На время забудем задачу и займемся решением уравнения.

— Нина Молина, идите к доске и решите уравнение.

4x+ 3 (x-5)=195,

4x+3x- 15 =195,

7x=210, x=30.

Выполняется проверка решения уравнения:

4·30+3·25= 120+75 =195.

  VI. — А что мы обозначили через x?

           — Сколько же куплено груш?

           — А сколько яблок?

            — Запишем:

                 Ответы:

                                   1) Куплено 30 груш,

                                    2) Куплено 25 яблок.

  VII. Теперь надо выяснить, правильно ли мы решили задачу, годятся ли полученные ответы для нашей задачи. Такое выяснение будем называть исследованием.

20 коп·30 ==6 руб., 15 коп.·25=3 руб. 75 коп., 6 руб.+3 руб. 75 коп. ==9 руб. 75 коп.

  Исследование  показало, что задача решена, верно.

  Новизна приема решения требует, чтобы весь ход решения с подчеркиванием отдельных его этапов был повторен. Затем уместно решить аналогичную  задачу с подчеркиванием основных этапов в рассуждении.

  В результате подробного решения первых задач  необходимо наметить и зафиксировать общий план решения задач алгебраическим способом.

     I. Выяснить, какие величины известны.

  П. Какие  величины требуется определить.

  III. Обдумать, какие величины удобно приравнять при составлении уравнения. (При решении первых задач—выделить число, которое явится правой частью уравнения). Обозначить неизвестное и выразить через него и данные другие величины, необходимые для составления уравнения.

  IV. Составить уравнение.

  V. Решить уравнение и проверить корень.

  VI. Выписать ответы.

  VII. Исследовать полученное решение по отношению к условию задачи.

Этот план при  решении задач фиксируется на доске и в j тетрадях кратко так:                                 

1. Дано.                                               
2. Определить.                                     
3. Что приравнять? Обозначения.                      
4. Уравнение.
5. Решение.
6. Ответы,                                          
7. Исследование .                                     

  Рассмотрим  еще одну задачу и покажем на ней, как целесообразно производить фиксацию решения.               

Задача № 2. Куплено 10 карандашей и 15 ручек. Карандаш стоит на 7 коп. дороже ручки. За всю покупку заплатили 1 р. 95 коп. Сколько стоит карандаш и сколько стоит ручка?

I. Дано: 1) куплено 10 карандашей,

              2) куплено 15 ручек,

              3) карандаш стоит на 7 коп. дороже ручки,

              4) вся покупка стоит 1 руб. 95 коп.

II. Определить: 1) сколько стоит карандаш,         

                           2) сколько стоит ручка.

III. Для правой части уравнения оставим число 1 руб. 95 коп.

Обозначения:

1) карандаш стоит х коп.,

2) ручка стоит (х—-7) коп.,

3) за 10 карандашей заплачено 10-x коп.,

4) за 15 ручек заплачено [10x+(х—7) ·15] коп.,

5) за всю покупку заплачено [10x+(х—7)-15] коп.

IV. Уравнение:

10x+(х—7)·15=195.

V. Решение:

2x+(х—7)·3=39,

2x+3x—21 =39,

5x=60,    x=12.

Проверка: 10·12 + (12 — 7) • 15 === 120 + 75 = 195.

VI. Ответы: 1) карандаш стоит 12 коп.,

                     2) ручка стоит 5 коп.

VII. Исследование: 12 коп.·10===1 руб. 20 коп., 5 коп.·15 ==75 коп.,

                                  1 руб. 20 коп. + 75 коп.= 1 руб. 95 коп.

При решении  этой задачи для составления уравнения сохранено число 1 руб. 95 коп. Сохранение этого числа дает простейшее уравнение и наиболее простой путь рассуждения. Но для составления уравнения можно сохранить и другое число, например, 7 коп. Тогда обозначения будут уже иные:

Обозначения:

1) цена карандаша х коп.,

2) стоимость 10 карандашей 10x коп.,

3) стоимость 15 ручек (195—10x) коп.,

4) цена ручки x-[(195-10x)/15]коп.

Уравнение: x-[(195-10x)/15]=7

Если для составления  уравнения cохранить число 15 ручек, то обозначения будут таковы:

1) цена карандаша х коп.,

2) цена ручки (х—7) коп.,

3) стоимость 10 карандашей 10х коп.,

4) стоимость всех ручек (195—10x) коп.,

5) число купленных ручек (195-10x)/15 руч.

Уравнение: (195-10x)/x-7=15

       Всякая задача содержит числа двоякого рода: данные и неизвестные. Если одно из неизвестных чисел сделать известным, и в то же время одно из данных принять за неизвестное, то получится новая задача, которая по отношению к первоначальной называется обратной. Очевидно, что из всякой задачи можно получить несколько обратных. Иногда некоторые из обратных задач решаются проще первоначальной; в этом случае решение первоначальной задачи удобно выполняется путем составления уравнения и определения его корней. Таким образом, составление уравнения представляет решение обратной задачи по отношению к данной. Обратных задач может быть по отношению к данной несколько, а поэтому и уравнение для решения задачи может быть составлено разными способами. Сохранение для правой части различных данных чисел равносильно составлению обратных задач, в которых неизвестное первоначальной задачи принято равным х и считается известным. Так как трудность решения различных обратных задач не одинакова, то и трудность составления уравнения получается различная в зависимости от того, какое из данных сохранено для правой части уравнения.

  На одной-двух задачах полезно показать учащимся, что при решении задачи можно  сохранять для составления уравнения различные числа, что при этом меняются обозначения, меняется вид уравнения, но ответы получаются те же. Надо обратить внимание учащихся, что в процессе обозначения мы стремимся получить то число, которое сохранено для составления уравнения. Это указание весьма существенно, так как оно придает целенаправленность обозначениям и избавляет учащихся от ненужных обозначений, которые всегда появляются, если нет этой целенаправленности. Сделаем несколько общих указаний.

  1) Первые задачи, решаемые алгебраическим способом, следует выполнять фронтально всем классом. Беседа эвристического характера будет служить наиболее целесообразным методом такого решения. Такого же рода беседы уместны и впоследствии при первом решении задач какого-либо нового типа (например, первые задачи „на бассейны", на структуру десятичного числа).

  После создания некоторого навыка в составлении уравнений можно использовать такой прием: учащиеся получают задание решить задачу, начинают самостоятельное решение, а затем через 3-5 минут вызывается ученик к доске для выполнения решения задачи. Такой прием предоставляет больше инициативы учащимся, способствует выработке навыков, а вместе с тем он оказывает помощь тем учащимся, которые не смогут самостоятельно осилить задачу. Решение на доске можно проводить с объяснением, когда учитель обнаружит надобность в этом, но можно проводить молча, когда учащиеся класса не нуждаются в этом.

  Когда учитель убедится, что в решении  задач того или другого типа создан настолько достаточный навык, что учащиеся смогут решать задачи самостоятельно, то уместна на уроке организация самостоятельного индивидуального решения задач.

  2) При решении арифметических задач учащиеся привыкли ставить вопросы, этим следует воспользоваться и при решении задач с помощью составления уравнений. Иные методисты и преподаватели рекомендуют даже в начале при решении задач алгебраическим способом вопросы записывать, как это делается при решении арифметических задач, а позднее перейти к такой записи, какая дана при решении задачи № 2. Нам кажется, вопросы надо использовать в устном объяснении, а фиксировать их не следует: фиксация вызовет излишние записи и громоздкое оформление решения, что всегда запугивает учащихся. Фиксируются только ответы на те вопросы, которые ставятся устно. При этом фиксация должна быть, возможно, краткой, но точной. Учитель должен привить учащимся стремление и навык к такой точной и краткой фиксации. В VII и VIJI классах фиксация, подобная той, какая дана при решении задачи № 2, должна считаться обязательной. У учащихся довольно часто наблюдается тенденция сократить фиксацию, особенно в пункте III плана („обозначения"). С этим приходится бороться, так как такое сокращение, иногда безболезненно проходящее в нетрудных задачах, впоследствии, при решении трудных задач, может привести к тому, что задача совершенно не будет решена.

  3) При фиксации обозначений необходимо требовать, чтобы учащиеся ставили наименования тех величин, значения которых обозначены неизвестными или выражениями, содержащими неизвестные. При составлении уравнений учащиеся часто приравнивают величины неоднородные или выраженные в различных мерах (например, рубли приравнивают к копейкам, метры—к километрам и т. д.), в результате чего получаются неверные уравнения. Ошибка эта очень распространена, медленно изживается, встречается даже в старших классах. Постановка наименований в обозначениях в известной мере предохраняет от этой ошибки, она побуждает учащихся осторожнее оперировать с выражениями.