Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений

  Полезно привить навык учащимся, чтобы  они величины

•одного и того же рода при решении задачи выражали в одних и тех же единицах.

Кроме того, отсутствие наименований иногда вызывает затруднения при написании ответа задачи (пункт V плана): пока ученик решает уравнение, он забывает, что обозначено

х, и, вычислив х, не знает, что же он определил. Приходится вновь читать задачу и вспоминать, что обозначено через х и в каких мерах введено это обозначение. Очевидно, что этого не произойдет, если учащиеся приучатся ставить наименования.

   4) При решении некоторых задач может значительную помощь оказать чертеж, который внесет наглядность в соотношения величин, употребляющихся или в качестве данных, или в их качестве искомых, или в их взаимной связи. К числу таких задач относятся, например, задачи на движение, задачи с геометрическими сюжетами, а также и такие, в которых имеет место разностное или кратное отношение и другие. Чертеж помогает нагляднее осознать данные, яснее представить искомые, он способствует более конкретному представлению других величин и чисел, которые появляются в процессе

обозначения, он же помогает и составить уравнение. Таким образом, роль чертежа в методическом отношении значительна, а поэтому надо приучить учащихся иллюстрировать задачи чертежами, где это полезно и удобно.

   5) Пункт VI плана может показаться неопытным преподавателям излишним. Но учителя-практики хорошо знают, что учащиеся часто в этом пункте допускают недоделки: если задача требует определения нескольких чисел, то записывается одно—корень уравнения, а другие забываются; если задача требует именованного числа, забывается наименование; если решается система уравнений, то, определив одно неизвестное, забывают найти другое. Чтобы избежать этих неприятных недоделок, полезно требовать записи ответов в отдельном пункте плана.

  6) Исследование решений задачи часто производится неправильно. Учащиеся, решая уравнения, приучаются производить проверку корней, путем подстановки их в уравнение вместо неизвестного. Но такая проверка позволяет сделать заключение только о том, верно или неверно решено уравнение. Судить же по ней о правильности решения задачи нельзя: может случиться, что уравнение составлено неверно, а решено верно, тогда корни уравнения не будут являться решениями задачи; может случиться, что уравнение составлено и решено правильно, однако корни его могут не удовлетворять требованиям задачи. Вот эти соображения на конкретных задачах и надо развить перед учащимися и показать им, что единственно целесообразный и надежный путь выяснения пригодности корней для задачи заключается в выполнении вычислений по условию задачи. Такую проверку называют исследованием решений. Это исследование в задачах с числовыми данными носит весьма несложный характер, а в задачах с буквенными данными требует значительного напряжения мышления и специальной теоретической подготовки.

  7) Излюбленным обозначением неизвестного является х, а позднее х и у. Такое засилье этих букв является для некоторых учащихся вредным: если при решении какой-либо геометрической или физической задачи неизвестное окажется обозначенным другой буквой, то учащиеся теряются, пытаются ввести без всякой пользы для дела х. Чтобы избежать такого явления, надо наряду с х и у использовать для обозначения неизвестного и другие буквы. Например, если неизвестной является скорость, то обозначить ее v; если неизвестно время, обозначить его t и т. д.

  Это создаст большую гибкость в использовании символики и улучшит применение уравнений, к разрешению задач из других предметов.

  8) Для более глубокого понимания содержания изучаемого математического материала, как правило, полезно давать учащимся в порядке домашних заданий составить примеры или задачи и затем проверить путем решения, правильно ли они составлены. Эта работа, систематически проводимая, очень полезна: она развивает инициативу, способствует развитию творчества, она вскрывает правильность и глубину понимания, она срывает с математических задач тот ореол таинственности, которым они иногда окружаются учащимися.

  Для более глубокого и полного  понимания типичной задачи на составление  уравнений также бывает полезно  давать учащимся домашние задания составить задачу и затем проверить ее путем решения. Конечно, в классе надо показать на 1-2 примерных задачах, как составляются такие задачи. Поясним на примере. „Первый рабочий может выполнить некоторую работу в 8 час., а второй может выполнить ту же работу в 12 час. Если они будут выполнять ту же работу вместе, то им потребуется [1÷(1/8+1/12)]час, т.е 4·4/5. В этом расчете все известно, а значит, нет и задачи. Сделаем неизвестным время, в течение которого второй рабочий один может выполнить всю работу. Тогда получим такую задачу: „Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу в 4·4/5 часа. Один первый может выполнить эту работу в 8 час. Вычислить, в какое время может выполнить ту же работу один второй рабочий".

  Если сделать  неизвестным время, в течение которого первый рабочий может выполнить один всю работу, то получим задачу, аналогичную только что формулированной. Можно получить несколько более сложную задачу: „Двое рабочих могут выполнить, работая вместе, некоторую работу в 4 ч. 48 мин., а один первый может выполнить ту же работу на 4 часа быстрее, чем один второй. В какое время может выполнить ту же работу каждый рабочий отдельно?" Эта задача уже требует использования квадратного уравнения.

  Опыт показывает, что учащиеся очень охотно составляют задачи, любят зачитывать их в классе, интересуются решением своих задач. Конечно, нет возможности прорешать  в классе все задачи, составленные учащимися дома. Возможно, поступить так: учитель читает эти задачи дома, выбирает из них наиболее оригинальные, интересные и удачные и использует их в классной работе; вместе с тем он разбирает задачи неудачные, вскрывая основные их дефекты и указывая пути исправления.

  9) Как один из способов составления задач, можно показать учащимся получение задач путем перефразировки, путем вложения в одни и те же соотношения между числами различного конкретного содержания. Этот путь составления задач надо показать в классе. Пусть дана такая задача:

  „Число 74 разделить на три части, чтобы вторая была в 3 раза более первой, а третья на 4 единицы более второй".

  После того как задача будет решена, она перефразируется, например, так:

  „Магазин  имел сукно в 3-х кусках, всего 74 м. Во втором куске было в 3 раза более, чем в первом, а в третьем — на 4 м более, чем во втором. Сколько метров содержит каждый кусок?,,

  „74 кг мороженого распределены на три киоска. Второй киоск получил втрое более, чем первый, а третий—на 4 кг более второго. Сколько мороженого получил каждый киоск?"

  „Трое рабочих за выполнение некоторой работы получили 740 руб. Этот заработок они поделили пропорционально числу рабочих дней, затраченных каждым из них; при этом оказалось, что второй работал втрое более, чем первый, а третий — на 4 дня более второго. Сколько получил каждый рабочий?"

  Получение задач с помощью такой перефразировки покажет ученикам, что составить задачи уже не так трудно; они перестанут пугаться количества задач, так как увидят, что при всем видимом разнообразии задач они сводятся к сравнительно небольшому числу основных задач, которые можно и составить и решить.

  Особенно  интересно показать учащимся, что  задачи о бассейнах, курьерах, поездах, наращении капиталов и о работе по существу сводятся к задачам о работе. Приведем пример перефразировки одной задачи с двумя неизвестными:

 „Некоторая  работа может быть закончена двумя  рабочими в 18 дней. После трехдневной совместной работы первый рабочий был снят и второй окончил оставшуюся часть в 25 дней. Во сколько дней каждый из них отдельно мог бы выполнить работу?"

  „Бассейн  при одновременном действии двух труб может быть наполнен в 18 час. По истечении трехчасового действия двух труб первая труба была закрыта и вторая наполнила оставшуюся часть бассейна в 25 час. Во сколько часов каждая труба отдельно могла бы наполнить бассейн?"

  „Два  поезда, идущие навстречу один другому  и вышедшие из двух станций А и  В одновременно, должны встретиться  через 18 час. после отправления. Но первый поезд через три часа после выхода со станции был задержан и второй встретился с первым только через 28 ч. после выхода со станции. Во сколько часов каждый поезд прошел бы расстояние между станциями А и В?" 

Об  общем методе решения задач составлением уравнений.

  Перейдем  к рассмотрению вопроса об общем  методе решения задач составлением уравнений или систем уравнений, а также о последовательности задач. Как уже указано ранее, в методической литературе последнего времени в той или другой форме твердо признается, что такой общий метод имеется. Наблюдаются только некоторые различия в истолковании этого общего метода: одни считают, что его сущность заключается в расчленении задачи на ряд простых задач, другие видят его сущность в приравнивании двух различным способом выраженных величин, третьи — в обозначении неизвестного и оперировании с этим символом, как с известным, с целью получить уравнение. Все указанные точки зрения—отмечают правильно какую-либо одну сторону, одно звено общего метода, но не вскрывают его полностью и в целом.

  Как идет мыслительный процесс при решении  задачи?

  Установив неизвестные величины, их обозначают какими либо буквами, затем эти неизвестные связывают на основании условий задачи с данными величинами; в этом процессе существенную роль играет приравнивание двух величин в случае одного уравнения и многократное приравнивание величин в случае системы уравнений; в результате получается или одно уравнение или система уравнений, решение которых и дает ответ на вопросы задачи.

  Весь  этот мыслительный процесс является типичным анализом. Анализ, как метод отыскания путей и способов доказательства теорем и решения задач, был известен древним грекам. Осознанное применение анализа приписывается философу Платону; Евклид также пользуется анализом. Характерные черты анализа древних таковы: мыслительный процесс отправляется от неизвестного и искомого к известному, от одного неизвестного переходят к другому, которое определить легче, от этого другого к третьему и т. д. до тех пор, пока не придут к известному; в этом мыслительном процессе сложная теорема или задача сводится к ряду более простых теорем и задач. Анализ древних дает план доказательства предложения или план решения задачи. Он не пользуется алгебраической символикой: он является одной из форм того аналитического метода, который применяется математикой.

  Анализ, применяющийся при решении задач на составление уравнений, является другой формой аналитического метода. Его характерные черты таковы: 1) он также отправляется от неизвестного и стремится установить связь его с известным;

2) он расчленяет задачу на ряд более простых задач; 3) он использует алгебраическую символику; 4) он имеет дело с уравнением или системой уравнений. Алгебраическая символика и в частности уравнение или система уравнений придает этой форме анализа большую гибкость, делает его особо плодотворным и мощным. Эта форма анализа носит название алгебраического анализа.

  Анализ  древних неизменно нуждается  в последующем синтезе. Алгебраический анализ также сопровождается синтезом, но этот синтез своеобразен: он сводится; к проверке (исследованию) правильности решения по условию задачи.

  С точки зрения общего метода решения  задач с помощью уравнений, с  точки зрения алгебраического анализа, оказываются частично правы те, которые сущность алгебраического способа решения задач видят в введении обозначений неизвестных. Действительно для алгебраического анализа характерно, что решение задачи начинается с неизвестных, с обозначения этих неизвестных. Но, очевидно, что это только первое звено в работе, только начало анализа.

  Оказываются частично правы и те, которые видят сущность алгебраического способа решения задач в расчленении задачи на более простые задачи. С помощью введенных обозначений неизвестных составляются алгебраические выражения для других величин; эти выражения по существу и являются решениями простых задач, на которые расчленяется сложная задача. Но, очевидно, что и это расчленение задачи на простые задачи является только одним из этапов алгебраического анализа.

  Оказываются частично правы и те, которые видят  сущность алгебраического способа  решения задач в соединении двух выражений знаком равенства, в приравнивании двух величин, различно выраженных. Действительно, при составлении уравнений такое приравнивание величин играет существенное значение: на нем покоится получение уравнения или системы уравнений. Но опять, очевидно, что это приравнивание является только особым звеном при решении задачи, особым этапом алгебраического анализа.

  Таким образом, та форма анализа, которая  применяется при решении задач  и которая носит название алгебраического  анализа, объединяет в себе, как составные части, те существенные черты этого метода, которые различными авторами принимаются за общий метод решения задач.