Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений

Федеральное агентство по образованию 
 

      ГОУ ВПО 

     «Новосибирский государственный

      педагогический университет» 

                                              Математический факультет 
 
 
 

Тема: « Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений» 

Курсовая  работа по дисциплине:

Методика  преподавания математики. 
 

               Выполнила: студентка v курса ОЗО, МИ

      Федорова  В.В.

                                         

                Научный руководитель:                                                                                                                                   

                                                  К.п.н., доцент кафедры    

                                                  Геометрии и методики

                                                   Преподавания

                                                   математики

                                                   Яровая Е.А.

                                                                 

                                
 

Новосибирск 2006

План 
 

I. Воспитательно-образовательное значение решения задач с помощью уравнений.

II.Трудности, испытываемые учащимися при решении текстовых задач.

III. Методика обучения школьников решению текстовых задач.

1. Подготовительные упражнения в решению задач с помощью уравнений.
2. Методика составления уравнений.
3. Об общем методе решения задач составлением уравнений

IV. Нужна ли «проверка» при решении текстовых задач на составление уравнений?

V. Заключение. 
 
 
 
 

 Найти безотказно действующие правила для решения всех возможных задач — это старая мечта, которая навсегда останется только мечтой. Но можно изучить типичные приемы, полезные при решении задач ... Собрание таких приемов, расположенных в четкой последовательности, вещь полезная.

Д. Пойя 
 

По содержанию школьный курс алгебры представляет довольно пеструю дисциплину: в ней  продолжает развиваться начатое  в арифметике учение о числе, значительное место уделяется тождественным преобразованиям над рациональными и иррациональными выражениями, видную роль играет учение об уравнениях, чаще всего связанное с изучением алгебраических функций, наконец, в нем имеется серия так называемых „дополнительных" глав (соединения, бином Ньютона). Однако учение об уравнениях и связанное с ним развитие понятия о числе безусловно являются основным материалом курса алгебры средней школы. Около центрального предмета алгебры—уравнений—группируются другие отделы и главы, или подготовляющие решение уравнений, или дающие материал для приложений уравнений.

  А в этом центральном предмете алгебры следует  выделить итоговый, конечный этап—решение задач с помощью уравнений. Это решение имеет особое значение в свете общих задач советской школы. Отметим основное, в чем заключается ценность задач на составление уравнений.

а) При составлении  уравнений или систем уравнений  по условиям задач необходим довольно разносторонний мыслительный процесс. При решении задачи ученик должен уяснить условия задачи и ее требования, должен ввести обозначения неизвестных, затем расчленить сложную задачу на ряд простых и, решая их, найти выражения для других величин через неизвестные и данные, и потом приравнять величины, выраженные различными способами. Конечно, при этом ученик должен подметить те функциональные зависимости, которые обусловливаются сюжетом задачи. В этом мыслительном процессе преобладает анализ в его своеобразной форме, обусловленной алгебраической символикой и использованием уравнений, но в нем имеет место и синтез (приравнивание двояко выраженных величин). Решив уравнение или систему уравнений, ученик должен проверить корни, затем исследовать пригодность корней к данному условию задачи, в иных случаях исследовать решение при некоторых частных значениях данных.

  Весь мыслительный процесс отличается тем, что он требует инициативы, активности, некоторых элементов творчества, понимания функциональных зависимостей и умения переложить их на язык алгебраических выражений и уравнений.

  И прав Симон, когда он пишет: „Теперь, как и раньше, я утверждаю, что для упражнения в самостоятельном мышлении нет ничего более подходящего, чем задачи на построение и составление уравнений". Задачи на составление уравнений, или систем уравнений в значительно большей мере, чем какой-либо другой материал элементарной алгебры, способствуют развитию математического мышления учащихся, а, значит, и тех форм мышления, которые являются схожими с математическим и которые находят широчайшее применение во многих научных дисциплинах.

  В частности  составление уравнений приучает учащихся к тому своеобразному аналитическому мышлению, которое использует алгебраическую символику и уравнения и которое имеет громадное практическое значение.

  б) Конкретные практические проблемы, требующие математической обработки, часто приводят к уравнениям. Поставленные „живой жизнью" проблемы о решении уравнений развиваются в алгебре в стройные абстрактные теории, в которых освещаются и пути решения уравнений или систем уравнений и пути исследования корней. И когда эти теории сообщены учащимся, необходимо научиться применять их в практике, т. е. в решении конкретных практических задач. Без этого этапа весь процесс изучения уравнений был бы методологически искривлен, не закончен и не приемлем. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике,— таков диалектический путь развития учения об уравнениях и таков путь изучения уравнений. Составление уравнений по условиям задач и является последним заключительным звеном изучения уравнений в школе. Составление уравнений—тот канал, которым алгебра связывается с жизнью и становится орудием познания действительности.

  в) Многие дисциплины и многие школьные предметы, разрешая свои частные задачи, вынуждены пользоваться уравнениями, составлять уравнения применительно к своим частным задачам. К числу таких предметов относятся, прежде всего, математические: геометрия, тригонометрия, аналитическая геометрия, анализ бесконечно малых. Из числа других предметов, широко пользующихся уравнениями, надо назвать в первую очередь механику, астрономию, физику и химию.

  Таким образом, алгебра путем решения задач составлением уравнений оказывает помощь многим другим дисциплинам, она обслуживает своими методами эти дисциплины, помогает им разрешать их частные проблемы. А это значит, что практическая значимость уравнений в процессе обучения прежде всего будет продемонстрирована на применении их к решению частных проблем школьных математических предметов и других школьных предметов, которые пользуются методами математики (физика, химия, астрономия).

  г)  Следует особо отметить использование уравнений при разрешении многочисленных вопросов и проблем техники. Технические проблемы нередко приводят к решению уравнений или систем уравнений весьма различной сложности. Простейшие из них могут решаться методами элементарной алгебры. Проблемы технических дисциплин, а также проблемы других научных дисциплин чаще всего приводят к сложным уравнениям или системам уравнений, в частности к дифференциальным уравнениям. Но это не умаляет значения элементарной алгебры: составление уравнений по условиям задач является своеобразной пропедевтикой к аналогичному использованию более сложных видов уравнений, а в частности и дифференциальных уравнений.

  д) Алгебраический способ решения задач требует от учащихся критического отношения к полученным результатам: необходимо проверить полученные числа по отношению уравнения, необходимо выяснить пригодность полученных результатов для условий задачи, необходимо, наконец, в иных случаях изучить решения в зависимости от частных значений известных или от особых соотношений между ними, выяснить условия решаемости задачи, подметить особые частные случаи при решении. Все это воспитывает у учащихся критическое отношение к работе, прививает осторожность в использовании результатов алгебраических расчетов.

  е) Применение уравнений к решению задач является завершением изучения того ила другого раздела алгебры: оно оправдывает в сознании ученика сложную, кропотливую работу с тождественными преобразованиями, с решением уравнения преобразования и сопутствующие виды уравнений являются практически нужными и полезными.

  ж) Следует, наконец, отметить, что алгебра дает значительно более совершенные методы, решения задач, чем арифметика. И как раз там, где методы арифметики оказываются мало удобными или несостоятельными, методы алгебры оказываются особо эффективными и удобными. Конечно, эта мысль должна быть достаточно обстоятельно и ярко на конкретных задачах продемонстрирована учащимся, чтобы они осознали все преимущества уравнений и систем уравнений в решении задач.

  Итак, решение  задач алгебраическим способом имеет  многогранную воспитательно-образовательную ценность: оно является прекрасной школой для развития математического мышления; оно приучает к контролю и критическому отношению к результатам решения уравнений; оно является тем этапом изучения алгебры, который с особой силой показывает практическую полезность и применимость этой дисциплины, а в частности ее применимость к решению теоретических и практических вопросов других предметов элементарной математики и также других дисциплин; оно является тем этапом изучения алгебры, когда можно показать полезность ее в решении технических задач, а в результате этого в представлении учащихся находит оправдание и весь кропотливый процесс изучения алгебры.

  Эта многогранная воспитательно-образовательная ценность рассматриваемого вопроса делает его  с методической точки зрения интересным и придает ему особую значимость.

Трудности, испытываемые учащимися  при решении текстовых  задач

  Каждый  учитель математики, работающий в неполной средней или средней школе, знает, что решение задач с помощью составления уравнений является в методическом отношении довольно трудным материалом. Наблюдения за классами показывают, что составление уравнений вызывает значительные затруднения у многих учащихся, что такие затруднения можно видеть не только в VII классе, где учащиеся впервые встречаются с этим вопросом, но и в старших классах до Х включительно. Профессорско-преподавательский состав высших учебных заведений, в которых изучается математика, и которые обычно укомплектовываются молодежью наиболее полноценно подготовленной по математическим предметам, хорошо знает, что одним из узких мест в подготовке абитуриентов высшей школы является решение задач с помощью составления уравнений.

  Вместе  с тем наша методическая литература бедна конкретными указаниями по интересующему нас вопросу, эти указания разбросаны в различных источниках, не систематизированы, а это мешает использованию их, а в условиях работы провинциальных школ часто бывает совершенно невозможно найти необходимую литературу. Такое положение нередко затрудняет учителя математики.

  В этой работе мы пытаемся дать возможно полное решение методической проблемы о составлении уравнений по условиям задач. С этой целью мы суммируем тот ценный опыт школ, который нашел отображение в нашей литературе, как методической, так и учебной. Вместе с тем мы намечаем и новые пути в преодолении трудностей рассматриваемого методического вопроса, разрабатывая их в деталях.

  Как при  решении многих методических вопросов, и в нашем случае полезно ясно осознать те трудности, которые мешают продуктивному решению задач с помощью уравнений. Знание этих трудностей позволит наметить целесообразные пути их преодоления. Итак, в чем же заключаются трудности алгебраического способа решения задач?

  1) В общем плане обучения математике в школе решению задач с помощью составления уравнений предшествует довольно длительный период обучения решению задач в курсе арифметики. По-видимому, дать безупречную классификацию задач на арифметические и алгебраические крайне трудно, а, может быть, и невозможно. Приведем одну из классификаций, практически достаточно удобную. Пусть а, b, ..., k—данные в задаче числа, а х искомое число; если решение задачи приводится к уравнению x=f(a, b, ... k), то такая задача может быть названа арифметической; если же решение задачи приводится к уравнению F(x, а, b, ... А)=0, то задача будет алгебраическая. Эта классификация не является безупречной, но практически она достаточно удобна.