Лекции по "Оценке и анализу рисков"

      Решение. В примерах 1-2 и задаче 1 распределение  вероятностей предполагалось известным заранее. Во многих ситуациях доступны лишь данные о том, какой доход приносила некая финансовая или хозяйственная операция в предыдущие годы. Именно такой характер имеет доступная информация в примере 3. В подобных случаях для расчета среднеквадратичного отклонения  s   используется такая формула

                                          

                                     (3.5)

      Здесь n — число лет, за которые приведены данные, a ARR (ARR — Average Rate of Return, средняя норма доходности) — среднее арифметическое всех IRR за n лет — рассчитывается по формуле:

                                                                                        (3.6)

 

Таким образом, по формуле (3.6) рассчитаем среднюю норму доходности для обоих проектов:

ARR_K = (20 + 15 + 18 + 3)/4 = 19%;          ARR_L = (40 + 24 + 30 + 50)/4 = 36%.

       По формуле (3.5) найдем величину среднеквадратичного отклонения

             

            

     Видим, что у проекта L средняя норма доходности выше, но при этом выше и величина s. Поэтому необходимо рассчитать коэффициент вариации CV.

По формуле (3.4) получаем:   CV_K = 2,9/19= 0,15;       CV_L = 9,9 / 36 = 0,275.

     Коэффициент вариации для проекта L выше почти в 2 раза, следовательно, вложение в этот проект почти вдвое рискованнее.

      Однако  данные таблицы 3.5 говорят, что минимальная доходность проекта L выше максимальной доходности проекта К. Очевидно, что вложение в проект L в любом случае более рентабельно. Полученные же значения s и CV означают не возможность получения более низкой доходности, а возможность неполучения ожидаемой доходности от проекта L.

3.4. Коэффициенты риска  и коэффициенты  покрытия рисков

      Пусть С – средства, которыми располагает инвестор (ЛПР), а Y – возможные убытки.   Если  Y превышает С, то возникает реальный риск разорения. Для оценки подобных ситуаций вводится в рассмотрение коэффициент риска  К₁ = Y/С, значения которого ограничивают специальным числом x₁. Операции, для которых К₁>x₁ , считают особо рискованными. Часто учитывают также вероятность р убытков Y и тогда рассматривают коэффициент риска К₂ = рY/С, который ограничивают другим числом x₂ (ясно, что x₁>x₂). В финансовом менеджменте чаще применяют обратные отношения С/Y и С/(рY), которые называют коэффициентами покрытия рисков. Коэффициенты покрытия С/Y и С/(рY) ограничиваются снизу соответственно числами 1/x₁  и  1/x₂.

      Именно  такой смысл имеет так называемый коэффициент Кука, равный отношению: 

      

 

Коэффициент Кука используется банками и другими финансовыми компаниями. В роли весов при «взвешивании» выступают вероятности — риски потери соответствующего актива.

 

Тема 4. Задачи формирования портфелей  ценных  бумаг.

4.1.  Основные характеристики  портфеля ценных бумаг.

      Портфель  – это совокупность различных  инвестиционных инструментов, которые собраны воедино для достижения конкретной инвестиционной цели вкладчика. В портфель могут входить бумаги только одного типа, например акции или облигации, или различные инвестиционные ценности, такие как акции, облигации, депозитные и сберегательные сертификаты и т. д.

      Портфельный менеджмент, т. е. формирование инвестиционного портфеля ценных бумаг, берет свое начало примерно с тех времен, когда появились сами ценные бумаги. Методология же инвестиционного менеджмента начала складываться в двадцатые годы с появлением понятия <истинной> цены (fair price) акции. Задача инвестора состояла в том, чтобы приобрести недооцененные акции, чья рыночная цена на момент покупки ниже истинной, и избавиться от переоцененных бумаг и тем самым получить в перспективе максимальную прибыль. Эта цель не менее актуальна и сейчас.

      Начало  современной теории финансового  портфеля было заложено в статье Гарри  Марковица «Выбор портфеля» (1952). В этой статье была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг и были приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях. С вычислительной точки зрения получающаяся оптимизационная задача относится к классу задач квадратической оптимизации при линейных ограничениях. К настоящему времени вместе с задачами линейного программирования это один из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых разработано большое число достаточно эффективных алгоритмов.

      затем в работах Вильяма Шарпа (1964) и Джона Литнера (1965), и было основано на понятиях систематического (рыночного) и несистематического рисков ценной бумаги.

        Риск (в литературе также встречается  термин общий риск) ценной бумаги  есть неопределенность ее дохода в конце периода инвестирования. Риск измеряется дисперсией доходности ценной бумаги за фиксированный интервал времени, например, месяц, квартал, год и т. д. Данное определение риска является наиболее распространенным, хотя существуют и другие.

      Главная цель в формировании портфеля состоит  в достижении оптимального сочетания  между риском и доходом для  инвестора, т. е. соответствующий набор  инвестиционных инструментов призван снизить до минимума риск его потерь и одновременно максимизировать его доход.

      Для получения количественных характеристик  инвестиционного  портфеля могут использоваться следующие показатели:

1. m_p- доходность портфеля ценных бумаг. Данный параметр рассчитывается как взвешенная средняя из ожидаемых доходов по каждому из компонентов

                                                      m_p =S x_i m_{i ,}                                                                                     (4. 1.)

где x_i - доли инвестиций, помещенных в каждый из видов активов (эти доли называют портфельными весами) X^T=(х_1, х_2, … х_n);

        m_i - ожидаемая ставка дохода по каждому виду активов.

2. риск портфеля - s_{p -} стандартное отклонение ставок дохода по портфелю. Стандартное отклонение  дохода представляет собой квадратный корень из дисперсии¹ портфельного дохода  (дисперсию доходности портфеля называют его вариацией V_p), которая определяется по формуле:

 

s²_p =V _p = X^T*COV*X    ,          (4.2.)

где COV- ковариационная матрица²  порядка n.

  ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух случайных  переменных, таких, например, как доходности двух ценных бумаг. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону. Ковариация между двумя акциями x и y рассчитывается следующим образом:

                                                                                    (4.3)

      Содержательно интерпретировать численное значение ковариации достаточно сложно, поэтому очень часто для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая  коэффициентом корреляции ³. Этот коэффициент позволяет стандартизировать ковариацию путем деления ее на произведение соответствующих средних квадратических отклонений и привести величины к сопоставимому виду. Коэффициент корреляции между двумя переменными i и j рассчитывается следующим образом: 

                                          r_i,j = COV_i,j /s_i ´s_j,                                                        (4.4)

      Знак  коэффициента корреляции совпадает со знаком ковариации, поэтому положительная его величина означает однонаправленное изменение переменных, а отрицательная – их изменение в противоположных направлениях. Если значение r_i,j близко к нулю, связь между переменными слабая. Кроме того, процедура стандартизации приводит к тому, что коэффициент корреляции принадлежит интервалу от – 1.0 до +1.0. Отметим также, что формула (4.4) может использоваться для расчета ковариации: Ковариация  может быть выражена как произведение коэффициента корреляции r_i,j и двух стандартных отклонений:

COV_i,j = r_i,j ´s_i ´s_j,

 s_i - стандартное отклонение дохода по i –ому активу,

 r_ij – коэффициент корреляции доходов между i-м и j-м активом. 

              

      Наличие совершенной положительной корреляции (рис. 4.1. а) наблюдается, например, при приобретении двух видов обычных акций одной корпорации, выпущенных на одинаковых условиях. Это означает, что когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, тогда и другая ценная бумага имеет относительно высокую доходность. Стандартное отклонение ставок дохода по портфелю в этом случае рассчитывается как средневзвешенная из стандартных отклонений доходов, входящих в состав портфеля активов.

      При наличии совершенной отрицательной  корреляции (рис. 4.1. б), когда при уменьшении дохода по одной акции на один пункт происходит увеличение на один пункт по другой, инвестор получает возможность уменьшить стандартное отклонение дохода по этим двум активам вместе до нуля, т.е. свести риск к минимуму.

      Рассмотрим портфель, состоящий из двух видов ценных бумаг: акций с ожидаемой доходностью 12% и облигаций, доход по которым равен 5.1%. Стандартное отклонение акций 21.2%, облигаций – 8.3%.

 

      Варьируя  портфельные веса включенных в состав портфеля активов, можно добиться оптимального портфеля, с точки зрения применяемого типа активов. Результат такого варьирования может быть представлен в таблице 4.1.

 

      Таблица 4.1. Ожидаемый доход и стандартное отклонение портфеля