Лекции по "Оценке и анализу рисков"

где m_i  - доходность ценной бумаги i за определенный период (зависимая переменная);

      m_r  - доходность на рыночный индекс за этот же период (независимая, объясняющая переменная);

      a_i -   постоянная составляющая модели линейной регрессии, показывающая какая часть доходности i ценной бумаги не связана с изменением доходности на рыночный индекс,  коэффициент смещения;

      b_i   -  параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i ценной бумаги к изменениям рыночной доходности, коэффициент наклона;

      e_i   -     случайная погрешность.

      Оценку  параметров регрессионной модели   (4.5) можно получить с помощью МНК⁵.

      «Бета» - коэффициент

      Отметим, что наклон в рыночной модели ценной бумаги измеряет чувствительность ее доходности к доходности на рыночный индекс. Коэффициент наклона рыночной модели часто называют «бета»- коэффициентом (beta) и вычисляют так:

        = = =    (4.6)

 
 
 

      а_i =       

 

      где s_ir- ковариация между доходностью акции i-ой бумаги и доходностью на рыночный индекс, а s_mr²- обозначает дисперсию доходности на индекс.

      Бета-коэффициент оценивает изменения в доходности отдельных акций в сопоставлении с динамикой рыночного дохода. Ценные бумаги, имеющие коэффициент выше единицы, характеризуются как агрессивные и являются более рискованными, чем рынок в целом. Бета-коэффициент может быть положительным или отрицательным. Если он положителен, то доходность соответствующих ценных бумаг будет аналогична динамике рыночной доходности. При отрицательном бета - коэффициенте  эффективность данной ценной бумаги будет снижаться при возрастании эффективности рынка.

      Исходя  из рыночной модели (4.5),  общий риск ценной бумаги i, измеряемый  ее дисперсией  s_i²= Var(m_i), состоит из двух частей¹²: (1)  рыночный (или систематический) риск (market risk); (2) собственный  (или несистематический) риск (unique risk)⁶.

      Var(m_i)= Var(a_i+b_i´m_r+e)=

      =Var(a_i)+Var(b_i´m_r)+Var(e_i)=

      = Var(m_r)+ Var(e_i).

      Таким образом, Var(m_i)= s_i² равняется следующему выражению:

               s_i² = b_i²s_mr²+s_e²,

 

      где     ,

                 = ,

 

               b_is_mr   обозначает рыночный риск ценной бумаги i(измеренный в СКО), а s_e собственный риск ценной бумаги i, мерой которого является СКО случайной погрешности e_i из уравнения (4.5.).

 

      Как отмечено выше, вариация доходности каждой ценной бумаги состоит из двух слагаемых: «собственной» вариации, не зависящей от рынка, и «рыночной» части вариации, определяемой случайным поведением рынка в целом. отношение  b_i²s_mr²/s_i² обозначается R_i² и называется R-squared (в регрессионном анализе R_i² называют коэффициентом детерминации)⁷. Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком. Те бумаги, для которых R-squared велико, в каком-то смысле предпочтительнее, так как их поведение более предсказуемо.

      Таким образом, коэффициент регрессии β служит количественным измерителем систематического риска, не поддающегося диверсификации. Ценная бумага, имеющая β - коэффициент, равный 1, копирует поведение рынка в целом. Если значение коэффициента выше 1, реакция ценной бумаги опережает изменение рынка как в одну, так и в другую сторону. Систематический риск такого финансового актива выше среднего. Менее рисковыми являются активы, β-коэффициенты которых ниже 1 (но выше 0).

      Рассмотрим  в этой ситуации портфель ценных бумаг. Оказывается, доходность (рисковой части) портфеля с зафиксированными долями бумаг также линейно зависит от доходности рынка. В самом деле, пусть доля i-й ценной бумаги есть x_i, тогда доходность портфеля:

                          m_p = S x_i(a_i + b_i ´m_r + e ).                                 (4.7)

      Марковиц  разработал очень важное положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные  части. С одной стороны, это так  называемый систематический риск, который нельзя исключить, и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. С другой - специфический риск для каждой конкретной ценной бумаги, который можно избежать при помощи управления портфелем ценных бумаг. При этом сумма сложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений (например, часть средств на банковском счете вводится в модель как инвестиция с нулевым риском).

       Из уравнения (4.7) можно показать, что общий риск портфеля состоит  из двух компонент: рыночного риска  и собственного риска.

                                      s_p² = b_p²s_mr²+s_ep²  ,                                                 (4.8.)

 

      где ,

      

      увеличение диверсификации (увеличение количества ценных бумаг в портфеле) приводит к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же.

      Задача  Марковица о формировании портфеля заданной эффективности с учетом ведущего фактора и минимального риска может быть сформулирована следующим образом [1, с.172]:

      Необходимо  найти вектор Х= (X₁, X₂,… X_n), минимизирующий риск портфеля s_p  .

      s_p =

      

      

     Отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения оптимального портфеля этой задаче:

1. Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности   каждой ценной бумаги.
2. По рыночному индексу (например, АК&М) вычислить рыночные доходности r_m для того же промежутка времени.
3. Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги от рыночной доходности (от индекса рынка).

4. Определить величину дисперсии рыночного показателя s_mr², а также и найти величины

5. Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели
6. Подставить эти значения в соответствующие уравнения

 

      После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса Х_i ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля   m_p, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

 
 

      Концепция β - коэффициентов составляют основу модели оценки финансовых активов (Capital Assets Pricing Model, CAPM). При помощи этого показателя может быть рассчитана величина премии за риск, требуемой инвесторами по вложениям, имеющим систематический риск выше среднего.

 

      Модель  доходности финансовых активов (САPМ).

      Модель (САPМ) описывает зависимость между рыночным риском и требуемой доходностью. Модель (САPМ) основывается на системе строгих предпосылок [16]. Cогласно логике этой модели, инвестиционное решение принимается под воздействием двух факторов - ожидаемой доходности и риска, мерой которого является дисперсия или стандартное отклонение доходности.  Приняв ряд допущений (инвесторы ведут себя рационально, измеряют время в одних единицах, мыслят сходным образом, заимствуют и предоставляют средства в долг под безрисковую ставку и др.), авторы модели показали, что при соблюдении указанных допущений инвестиционный портфель, повторяющий пропорции рынка, должен быть оптимальным инвестиционным решением для всех инвесторов.

     Формальная  запись итогового уравнения данной модели выглядит следующим образом:

                   ,                                     (4.9)

где         -  ожидаемый доход на конкретную ценную бумагу при условии равновесия рынка;

               m_f - ставка дохода на безрисковую ценную бумагу, которые являются важнейшим элементом фондового рынка. примером гарантированных ценных бумаг с фиксированным доходом являются, например,  государственные облигации.

               b_i - коэффициент акции i (b_i) – это мера рыночного риска акции. Он измеряет изменчивость доходности акции по отношению к доходности среднерыночного портфеля. b -коэффициент связан с наклоном характеристической линии акции,  представляющей собой графическое изображение уравнения регрессии, построенного по статистическим данным о доходности i-й акции и среднерыночной доходности. b -коэффициент связан с наклоном характеристической линии акции,  представляющей собой графическое изображение уравнения регрессии, построенного по статистическим данным о доходности i-й акции и среднерыночной доходности.