Лекции по "Оценке и анализу рисков"

      Пример 2.8.  Используя критерий Лапласа равновозможности для исходных данных примера 2.1, выбрать наилучший вариант решения на основе:  а) правила максимизации среднего ожидаемого дохода; б) правила минимизации среднего ожидаемого риска.

Решение.  а) С учетом равновероятности вариантов реальной ситуации величины среднего ожидаемого дохода для каждого из вариантов решения составляют  = (5+2+8+4)/4=19/4, = 21/4, = 26/4, = 15/4. Следовательно, наилучшим вариантом решения будет третий, и максимальный средний ожидаемый доход буде равен 26/4.

                       б) Для каждого варианта решения  рассчитаем величины среднего ожидаемого риска на основе матрицы рисков с учетом равновероятности вариантов ситуации: = (3+3+0+8)/4 = 14/4, = 3, = 7/4, ⁼ 18/4. Отсюда следует, что наилучшим будет третий вариант, и при этом минимальный средний ожидаемый риск составит 7/4.

2.4. Оптимальность по Парето двухкритериальных финансовых

       операций в условиях неопределенности

 

      Из  рассмотренного выше следует, что каждое решение (финансовая операция) имеет две характеристики, которые нуждаются в оптимизации:  средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Таким образом, выбор наилучшего решения является  оптимизационной двухкритериальной задачей. В задачах многокритериальной оптимизации основным понятием является понятие оптимальности по Парето ⁶. Рассмотрим это понятие для финансовых операций с двумя указанными характеристиками.

      Пусть каждая операция а имеет две числовые характеристики Е(а),  r(а) (например, эффективность и риск); при оптимизации Е стремятся увеличить, а r уменьшить.

        Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач.  Рассмотрим такую задачу в общем виде. Пусть А — некоторое множество операций, и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции желательно, чтобы Е было больше, а r меньше.

      Будем говорить, что операция а доминирует операцию b, и обозначать а > b, если Е(а) ≥ Е(b) и r(a) ≤ r(b) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция b – доминируемой. Очевидно,  что никакая доминируемая операция не может быть признана наилучшей. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций. Множество недоминируемых операций называется множеством (областью) Парето или множеством оптимальности по Парето⁷.

Для множества  Парето справедливо утверждение: каждая из характеристик Е, r является однозначной функцией другой, т.е. на множестве Парето по одной характеристике операции можно однозначно определить другую.

     Вернемся  к анализу финансовых решений  в условиях частичной неопределенности. Как показано в разделе 2.3, каждая операция характеризуется средним ожидаемым риском и средним ожидаемым доходом . Если ввести прямоугольную систему координат, на оси абсцисс которой откладывать значения , а на оси ординат –  значения , то каждой операции будет соответствовать точка ( , )  на координатной плоскости. Чем выше эта точка на плоскости, тем доходнее операция; чем правее точка, тем более рисковая операция. Следовательно, при поиске недоминируемых операций (множества Парето) нужно выбирать точки выше и левее. Таким образом, множество Парето для исходных данных примеров 2.6 и 2.7 состоит только из одной третьей операции.

     Для определения лучшей операции в ряде случаев можно применять некоторую взвешивающую формулу, в которую характеристики и входят с определенными весами, и которая дает одно число, задающее лучшую операцию. Пусть, например, для операции i с характеристиками  ( , ) взвешивающая формула имеет вид  f(i) = 3 - 2 , и наилучшая операция выбирается по максимуму величины f(i). Эта взвешивающая формула означает, что ЛПР согласен на увеличение риска на три единицы, если доход операции увеличится при этом не менее, чем на две единицы. Таким образом, взвешивающая формула  выражает отношение ЛПР к показателям дохода и риска.

     Пример 2.9.  Пусть исходные данные те же, что и в примерах 2.6 и 2.7, т.е. для матриц последствий и риска примера 2.1 известны вероятности вариантов развития реальной ситуации: p₁ =1/2, p₂=1/6, p₃=1/6, p₄=1/6. В этих условиях ЛПР согласен на увеличение риска на две единицы, если при этом доход операции увеличится не менее, чем на одну единицу. Определить для этого случая наилучшую операцию.

     Решение.  Взвешивающая формула имеет вид   f(i) = 2 - . Используя результаты расчетов в примерах 2.6 и 2.7, находим:

f(1) = 2*29/6 – 20/6 = 6,33;     f(2) = 2*25/6 – 4 = 4,33;

    f(3) = 2*7 – 7/6 = 12,83;           f(4) = 2*17/6 – 32/6 = 0,33

     Следовательно, лучшей является третья операция, а худшей – четвертая.

Тема 3. Измерители и показатели финансовых рисков

 

      Количественная  оценка риска. Риск отдельной  операции. Общие измерители риска.

 

     В данной теме рассматриваются критерии и методы принятия решений в тех  случаях, когда предполагается, что  распределения вероятностей возможных исходов либо известны, либо они могут быть найдены, причем в последнем случае не всегда необходимо задавать в явном виде плотность распределения.

  3.1. Общеметодические подходы к количественной оценке риска

      Риск  — категория вероятностная, поэтому  методы его количественной оценки базируются на ряде важнейших понятий теории вероятностей и математической статистики. Так, главными инструментами статистического метода расчета риска являются:

1. математическое ожидание m, например, такой случайной величины, как результат финансовой операции ⁸ k:   m = Е{k};
2. дисперсия как характеристика степени вариации значений случайной величины k вокруг центра группирования m (напомним, что дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания   );
3. стандартное отклонение ;
4. коэффициент вариации  , который имеет смысл риска на единицу среднего дохода.

     Замечание. Для небольшого набора n значений – малой выборки! – дискретной случайной величины речь, строго говоря, идет лишь об оценках перечисленных измерителей риска.

     Так, средним (ожидаемым) значением выборки, или выборочным аналогом математического ожидания, является величина  , где р_i – вероятность реализации  значения случайной величины k. Если все значения равновероятны, то ожидаемое значение случайной выборки вычисляется по формуле .

     Аналогично, дисперсия выборки (выборочная дисперсия) определяется как среднеквадратичное отклонение в выборке: или

. В последнем случае выборочная  дисперсия представляет собой  смещенную оценку теоретической дисперсии. Поэтому предпочтительнее использовать несмещенную оценку дисперсии , которая задана  формулой  .

      Очевидно, что оценка стандартного (среднего квадратического) отклонения может быть рассчитана следующим образом или .

      Ясно, что оценка коэффициента вариации  принимает теперь вид .

      В экономических системах в условиях риска принятие решений основывается чаще всего на одном из следующих критериев.

      1. Ожидаемого значения (доходности, прибыли или расходов).

      2. Выборочной дисперсии или стандартного (среднего квадратического) отклонения .

      3. Комбинации ожидаемого значения и дисперсии или среднего квадратического отклонения  выборки .

      Замечание. Под случайной величиной k в каждой конкретной ситуации  понимается соответствующий этой ситуации показатель, который обычно записывается в принятых обозначениях: m_p – доходность портфеля ценных бумаг, IRR  – (Internal Rate of Return) внутренняя (норма) доходности ⁹ и т.д.

      Рассмотрим  изложенную идею на конкретных примерах.

3.2. Распределения вероятностей и ожидаемая доходность

Как уже не раз говорилось, риск связан с вероятностью того, что фактическая доходность будет ниже ее ожидаемого значения. Поэтому распределения вероятностей являются основой для измерения риска проводимой операции. Однако, надо помнить, что получаемые при этом оценки носят вероятностный характер.

Пример 1. Предположим, например, что Вы намерены инвестировать 100000 дол. сроком на один год. Альтернативные варианты инвестиций приведены в табл. 3.1.

Во-первых, это ГКО-ОФЗ со сроком погашения один год и ставкой дохода 8%, которые могут быть приобретены с дисконтом, т. е. по цене ниже номинала, а в момент погашения будет выплачена их номинальная стоимость.

Таблица 3.1

Оценка  доходности по четырем  инвестиционным альтернативам

 
 

      Примечание. Доходность, соответствующую различным состояниям экономики, следует рассматривать как интервал значений, а отдельные ее значения — как точки внутри этого интервала. Например, 10%-ная доходность облигации корпорации при незначительном спаде представляет собой наиболее вероятное значение доходности при данном состоянии экономики, а точечное значение используется для удобства расчетов.

Во-вторых, корпоративные ценные бумаги (голубые фишки), которые продаются  по номиналу с купонной ставкой 9% (т. е. на 100000 дол. вложенного капитала можно получать 9000 дол. годовых) и сроком погашения 10 лет. Однако Вы собираетесь продать эти ценные бумаги в конце первого года. Следовательно, фактическая доходность будет зависеть от уровня процентных ставок на конец года. Этот уровень в свою очередь зависит от состояния экономики на конец года: быстрые темпы экономического развития, вероятно, вызовут повышение процентных ставок, что снизит рыночную стоимость голубых фишек; в случае экономического спада возможна противоположная ситуация.

В-третьих, проект капиталовложений 1, чистая стоимость  которого составляет 100000 дол. Денежный поток в течение года равен нулю, все выплаты осуществляются в конце года. Сумма этих выплат зависит от состояния экономики.

      И, наконец, альтернативный проект капиталовложений 2, совпадающий по всем параметрам с проектом 1 и отличающийся от него лишь распределением вероятностей ожидаемых в конце года выплат.

      Под распределением вероятностей, будем понимать множество вероятностей возможных исходов (в случае непрерывной случайной величины это была бы плотность распределения вероятностей). Именно в этом смысле следует истолковывать представленные в табл. 3.1 четыре распределения вероятностей, соответствующие четырем альтернативным вариантам инвестирования. Доходность по ГКО-ОФЗ точно известна. Она составляет 8% и не зависит от состояния экономики.

 
 
 

      Вопрос 1. Можно ли риск по ГКО-ОФЗ безоговорочно считать равным нулю?

      Ответ: а) да; б) думаю, что не все так однозначно, но затрудняюсь дать более полный ответ; в) нет.

      Правильный  ответ в).

      При любом варианте ответа см. справку 1.

 

       Справка 1. Инвестиции в ГКО-ОФЗ являются безрисковыми только в том смысле, что их номинальная доходность не изменяется в течение данного периода времени.  В то же время их реальная доходность содержит определенную долю риска, т.к. она зависит от фактических темпов роста инфляции в течение периода владения данной ценной бумагой. Более того, ГКО могут представлять проблему для инвестора, который обладает портфелем ценных бумаг с целью получения непрерывного дохода: когда истекает срок платежа по ГКО-ОФЗ, необходимо осуществить реинвестирование денежных средств, и если процентные ставки снижаются, доход портфеля также уменьшится. Этот вид риска, который носит название риска нормы реинвестирования, не учитывается в нашем примере, так как период, в течение которого инвестор владеет ГКО-ОФЗ, соответствует сроку их погашения. Наконец, отметим, что релевантная доходность любых инвестиций — это доходность после уплаты налогов, поэтому значения доходности, используемые для принятия решения, должны отражать доход за вычетом налогов.