Лекции по "Оценке и анализу рисков"

15 — реализация проекта (принятие  риска),

16 — отказ от реализации проекта  (избежание, риска)

Рис. 1.2. Блок-схема процесса управления риском

     3. Количественный анализ предполагает определение вероятности наступления риска и его последствий, определение допустимого уровня риска.

     Наиболее  распространенными методами количественной оценки риска являются статистические методы и методы экспертных оценок.

     Суть  статистических методов заключается в том, что изучается статистика потерь и прибылей, имевших место в данной области, и составляется наиболее вероятный прогноз на будущее. Данные методы требуют наличия значительного массива данных и соответствующего математического сопровождения.

     Использование методов экспертных оценок заключается в получении количественных оценок риска на основании обработки мнений опытных предпринимателей или специалистов.

     4. Меры по устранению и минимизации  риска включают следующие шаги:

• оценку приемлемости полученного уровня риска;
• оценку возможности снижения риска или его увеличения при повышении ожидаемой отдачи;
• выбор методов снижения (увеличения) рисков.

Тема 2. Количественные характеристики и  схемы оценки рисков в условиях неопределенности.

      Матрица последствий. Матрица рисков. Анализ связанной группы решений в условиях полной неопределенности. Правило Вальда. Правило Сэвиджа. Правило Гурвица. Анализ связанной группы решений в условиях частичной неопределенности. Оптимальность по Парето при учете двух характеристик финансовой операции. Правило Лапласа равновозможности.

2.1. Матрицы последствий и матрицы рисков

      Понятие риска предполагает наличие рискующего; будем называть его Лицом, Принимающим  Решения (ЛПР).

      Допустим, рассматривается вопрос о проведении финансовой операции в условиях неопределенности. При этом у ЛПР есть несколько возможных решений i = 1,2,...,т, а реальная ситуация неопределенна и может принимать один из вариантов j = 1,2,..., n. Пусть известно, что если ЛПР примет i-e решение, а ситуация примет j-ый вариант, то будет получен доход q_ij. Матрица Q = (q_ij) называется матрицей последствий (возможных решений) ⁴.

      Оценим  размеры риска в данной схеме.

      Пусть принимается i-е решение. Очевидно, если бы было известно, что реальная ситуация будет j-я, то ЛПР принял бы решение, дающее доход q_j = . Однако, i-е решение принимается в условиях неопределенности. Значит, ЛПР рискует получить не q_j , а только q_ij. Таким образом, существует реальная возможность недополучить доход, и этому неблагоприятному исходу можно сопоставить риск r_ij, размер которого целесообразно оценить как разность

                                            r_ij = q_j - q_ij.                                  (2.1)

      Матрица R = (r_ij) называется матрицей рисков ⁵.

     Пример 2.1.  Используя формулу (2.1), составьте матрицу рисков

       R = (r_ij) по заданной матрице последствий

      .

       Решение.  Очевидно, q₁ = = 8; аналогично q₂ = 5, q₃ = 8, q₄ = 12 . Следовательно, матрица рисков имеет вид

       .

2.2. Анализ связанной группы решений в условиях полной

неопределенности

      Полная  неопределенность означает отсутствие информации о вероятностных состояниях среды (“природы”), например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации; в лучшем случае известны диапазоны значений рассматриваемых величин. Рекомендации по принятию решений в таких ситуациях сформулированы в виде определенных правил (критериев). Рассмотрим основные из них.

      Критерий (правило) максимакса. По этому критерию определяется вариант решения, максимизирующий максимальные выигрыши - например, доходы – для каждого варианта ситуации. Это критерий крайнего (“розового”) оптимизма, по которому наилучшим является решение, дающее максимальный выигрыш, равный  . Рассматривая i-е решение, предполагают самую хорошую ситуацию, приносящую доход , а затем выбирают решение с наибольшим a_i.

      Пример 2.2. Для матрицы последствий в примере 2.1 выбрать вариант решения по критерию максимакса.

      Решение.  Находим последовательность значений : a₁=8, a₂=12, a₃=10, a₄=8. Из этих значение находим наибольшее: a₂=12. Следовательно, критерий максимакса рекомендует принять второе решение (i=2).

      Правило Вальда (правило максимина, или критерий крайнего пессимизма). Рассматривая i-e решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход: b_i = min q_ij. Но теперь выберем решение i₀ с наибольшим . Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i₀ такое, что = = .

      Пример 2.3. Для матрицы последствий в примере 2.1 выбрать вариант решения по критерию Вальда.

      Решение.  В примере 2.1 имеем b₁ = 2, b₂ = 2, b₃ = 3, b₄ = 1. Теперь из этих значений выбираем максимальное b₃ = 3. Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение (i=3).

      Правило Сэвиджа (критерий минимаксного риска). Этот критерий аналогичен предыдущему критерию Вальда, но ЛПР принимает решение, руководствуясь не матрицей последствий Q, а матрицей рисков R = (r_ij). По этому критерию лучшим является решение, при котором максимальное значение риска будет наименьшим, т.е. равным . Рассматривая i-e решение, предполагают ситуацию максимального риска r_i = и выбирают вариант решения i₀ с наименьшим = = .

      Пример 2.4. Для исходных данных в примере 2.1 выбрать вариант решения в соответствии с критерием Сэвиджа.

      Решение. Рассматривая матрицу рисков R, находим последовательность величин r_i = : r₁ = 8, r₂ = 6, r₃ = 5, r₄ = 7. Из этих величин выбираем наименьшую: r₃ = 5. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение (i=3). Заметит, что это совпадает с выбором по критерию Вальда.

      Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации).  По данному критерию выбирается вариант решения, при котором достигается максимум выражения c_i= {λminq_ij + (1 – λ)maxq_ij},  где 0 λ 1. Таким образом, этот критерий рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом. При λ=0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при λ=1 он совпадает с критерием Вальда. Значение λ выбирается из субъективных (интуитивных) соображений.

      Пример 2.5.  Для приведенной в примере 2.1 матрицы последствий выбрать наилучший вариант решения на основе критерия Гурвица  при λ =1/2.

      Решение.  Рассматривая матрицу последствий Q по строкам, для каждого i вычисляем значения c_i= 1/2minq_ij + 1/2maxq_ij. Например, с₁=1/2*2+1/2*8=5; аналогично находятся с₂=7; с₃=6,5; с₄= 4,5. Наибольшим является с₂=7. Следовательно, критерий Гурвица  при заданном λ =1/2 рекомендует выбрать второй вариант (i=2).

2.3. Анализ связанной группы решений в условиях частичной

неопределенности

      Если  при принятии решения  ЛПР известны вероятности p_j того, что реальная ситуация может развиваться по варианту j, то говорят, что ЛПР находится в условиях частичной неопределенности. В этом случае можно руководствоваться одним из следующих критериев (правил).

        Критерий (правило) максимизации среднего ожидаемого дохода. Этот критерий называется также критерием максимума среднего выигрыша. Если известны вероятности p_j вариантов развития реальной ситуации, то доход, получаемый при i-ом решении, является случайной величиной Q_i с рядом распределения

 

        Математическое ожидание M[Q_i ] случайной величины Q_i и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также :

       = M[Q_i ] = .

      Для каждого i-го варианта решения рассчитываются величины , и в соответствии  с рассматриваемым критерием выбирается вариант, для которого достигается 

      Пример 2.6.  Пусть для исходных данных примера 2.1 известны вероятности развития реальной ситуации по каждому из четырех вариантов, образующих полную группу событий:

     p₁ =1/2, p₂=1/6, p₃=1/6, p₄=1/6. Выяснить, при каком варианте решения достигается наибольший средний доход и какова величина этого дохода.

     Решение. Найдем для каждого i-го варианта решения средний ожидаемый доход: =1/2*5+1/6*2+1/6*8+1/6*4= 29/6, = 25/6, = 7, = 17/6. Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответствует третьему решению.

     Правило минимизации среднего ожидаемого риска (другое название –критерий минимума среднего проигрыша).

     В тех же условиях, что и в предыдущем случае, риск ЛПР при выборе i-го решения является случайной величиной R_i с рядом распределения

 

       Математическое ожидание M[R_i] и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также : = M[R_i] = .. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск: .

     Пример 2.7. Исходные данные те же, что и в примере 2.6. Определить, при каком варианте решения достигается наименьший средний ожидаемый риск, и найти величину минимального среднего ожидаемого риска (проигрыша).

       Решение.  Для каждого i-го варианта решения найдем величину среднего ожидаемого риска. На основе заданной матрицы риска R найдем: = 1/2*3+1/6*3+1/6*0+1/6*8=20/6, = 4, = 7/6, ⁼ 32/6.

       Следовательно, минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6 и соответствует третьему решению: = 7/6.

      Замечание. Когда говорят о среднем ожидаемом доходе (выигрыше) или о среднем ожидаемом риске (проигрыше), то подразумевают возможность многократного повторения процесса принятия решения по описанной схеме или фактическое неоднократное повторение такого процесса в прошлом. Условность данного предположения заключается в том, что реально требуемого количества таких повторений может и не быть.

      Критерий (правило) Лаплпаса равновозможности (безразличия). Этот критерий непосредственно не относится к случаю частичной неопределеннос-ти, и его применяют в условиях полной неопределенности. Однако здесь предполагается, что все состояния среды (все варианты реальной ситуации) равновероятны – отсюда и название критерия. Тогда описанные выше схемы расчета можно применить, считая вероятности p_j одинаковыми для всех вариантов реальной ситуации и равными 1/n. Так, при использовании критерия максимизации среднего ожидаемого дохода выбирается решение, при котором достигается . А в соответсвии с критерием минимизации среднего ожидаемого риска выбирается вариант решения, для которого обеспечивается .