Лекции по "Оценке и анализу рисков"

      

        По трем другим вариантам инвестирования реальные, или фактические, значения доходности не будут известны до окончания соответствующих периодов владения активами. Поскольку значения доходности не известны с полной определенностью, эти три вида инвестиций являются рисковыми.

      Распределения вероятностей бывают дискретными или непрерывными. Дискретное распределение вероятностей имеет конечное число исходов; так, в табл. 3.1 приведены дискретные распределения вероятностей доходностей различных вариантов инвестирования. Доходность ГКО-ОФЗ принимает только одно возможное значение, тогда как каждая из трех оставшихся альтернатив имеет пять возможных исходов. Каждому исходу поставлена в соответствие вероятность его появления. Например, вероятность того, что ГКО-ОФЗ будут иметь доходность 8%, равна 1.00, а вероятность того, что доходность корпоративных ценных бумаг составит 9%, равна 0.50.

      Если  умножить каждый исход на вероятность  его появления, а затем сложить полученные результаты, мы получим средневзвешенную исходов. Весами служат соответствующие вероятности, а средневзвешенная представляет собой ожидаемое значение. Так как исходами являются внутренние нормы доходности (Internal Rate of Return, аббревиатура IRR), ожидаемое значение — это ожидаемая норма доходности (Expected Rate of Return, аббревиатура ERR), которую можно представить в следующем виде:

                                      ERR =

IRR_i  ,                                                                   (3.1)

      где IRR_i, — i-й возможный исход; p_i — вероятность появления i-го исхода; п — число возможных исходов.

      Используя формулу (3.1), найдем, что ожидаемая  норма доходности, например, проекта 2 равна 12.0%:

 ERR = -2.0% ´ 0.05 + 9.0% ´ 0.20 + 12.0% ´ 0.50 + 15% ´ 0.20 + 6.0% ´ 0.05 =                                    = 12.0%.

          

      Упражнение 1.  По формуле (1) рассчитать ожидаемые доходности трех других альтернативных вариантов инвестирования. Результаты сравните с последней строкой таблицы 3.1.

 

      Напомним, что дискретные распределения вероятностей могут быть представлены не только в табличной, но и в графической форме. На рис. 3.1 приведены столбиковые диаграммы (или гистограммы) проектов 1 и 2.

 

       

Рис. 3.1. Графическое  представление дискретного распределения  вероятностей.

      а — проект 1; б — проект 2.

Возможные значения доходности проекта 1 принадлежат  промежутку от  -3.0 до +19.0%, а проекта 2 – от  -2.0 до +26.0%. Отметим, что высота каждого столбца  представляет собой  вероятность появления соответствующего исхода, а сумма этих вероятностей по каждому варианту равна 1.00. Отметим также, что распределение значений доходности проекта 2 симметрично, тогда как соответствующее распределение для проекта 1 имеет левостороннюю асимметрию.

 
 
 
 

      

      Упражнение 2.  Постройте аналогичные диаграммы для ГКО-ОФЗ и корпоративных ценных бумаг. Сравните свои результаты с ответом.

      Ответ: доходность ГКО будет представлена единственным столбцом, а доходность корпоративных ценных бумаг – диаграммой, имеющей правостороннюю асимметрию.

 

      Таким образом, использование ожидаемого значения в качестве критерия риска обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль или минимизировать ожидаемые затраты. В частности, этот критерий можно количественно выразить в денежных единицах или в единицах полезности денег. Для пояснения разницы между непосредственно деньгами и их полезностью предположим, что инвестиции в 2000 руб. дают с равными вероятностями либо нулевой доход, либо доход в 10 000 руб. В денежных единицах ожидаемый чистый доход составит

      (10 000´0,5 + 0´0,5) – 2000  = 3000 (руб.)

        Подобное вложение денег, на первый взгляд, представляется оптимальным. Однако такое решение не для всех ЛПР приемлемо. Например, для лица А, имеющего ограниченные ресурсы, потеря 2000 руб. может привести к банкротству. Напротив, лицо В, капитал которого значительно превосходит данную сумму, может пойти на такой риск. Следовательно, нецелесообразно использовать ожидаемое значение стоимостного выражения в качестве единственного критерия для принятия решений. Этот критерий служит только ориентиром, а окончательное решение может быть принято ЛПР лишь на основе всех существенных факторов, его отношения к полезности денег.

      Необходимо  также отметить, что использование  критерия ожидаемого значения целесообразно лишь в случае, когда одно и то же решение приходится принимать достаточно большое число раз. Иными словами, ориентация на ожидаемую доходность может приводить к неверным результатам для тех решений, которые приходится принимать эпизодически.

3.3. Комбинации ожидаемого значения и дисперсии  как критерий  риска

     Данный  критерий является модификацией критерия ожидаемого значения, причем он модифицирован таким образом, что его можно использовать для принятия решений в редко повторяющихся ситуациях. Использование дисперсии, или среднего квадратического отклонения ожидаемого дохода в финансовых операциях на сегодняшний день является одной из главных оценок рискованной операции, количественной оценкой риска.

      3.3.1. Анализ общего  риска: активы, рассматриваемые  изолированно

      Понятия распределения вероятностей и ожидаемой  величины могут использоваться как основа для измерения риска. Известно, что риск присутствует в том случае, если исследуемые распределения имеют более одного возможного исхода, однако каким образом можно измерить риск и оценить его количественно? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала методику исчисления общего риска.

      Выше  мы предположили, что возможны 5 состояний  экономики (см. табл. 3.1). На самом же деле состояние экономики может  варьироваться от самой глубокой депрессии до наивысшего подъема с бесчисленным количеством промежуточных положений. Обычно среднему (нормальному) состоянию соответствует самая большая вероятность, далее значения вероятностей равномерно уменьшаются при удалении от нормы как в одну (подъем), так и в другую (спад) сторону, стремясь к нулю в крайних положениях (полная депрессия и наибольший подъем). Если при этом величина доходности, соответствующая нормальному положению, является одновременно и средним арифметическим двух крайних значений, то мы получаем распределение, которое в теории вероятностей носит название «нормального». Его графическое изображение дано на рис. 3.2.

      Нормальное  распределение достаточно полно  отражает реальную ситуацию и дает возможность, используя ограниченную информацию, получать числовые характеристики, необходимые для оценки степени риска того или иного проекта. Далее будем всегда предполагать, что мы находимся в условиях нормального распределения вероятностей.

      Замечание. В действительности в чистом виде нормальное распределение в экономических явлениях встречается редко, однако, если однородность совокупности соблюдена, часто фактические распределения близки к нормальному.

 

      Вопрос 2. Реальные распределения вероятностей могут существенно отличаться от нормального. Насколько сильно будут искажены наши выводы, если в наших рассуждениях мы будем исходить только из нормального закона распределения вероятностей?

      Ответ: а) затрудняюсь ответить; б) существенно  искажены; в) искажения будут несущественными.

      Правильный  ответ в).

      При любом варианте ответа см. справку 2.

 

        

      Справка 2.  Даже если распределение не является близким к нормальному, на основании теоремы Чебышева можно утверждать, что для любого распределения не менее 89% всех исходов лежит в пределах трех средних квадратических отклонений от ожидаемого значения.

      

 

                                     

            

                     ERR

                        Рис. 3.2. Нормальное распределение вероятностей

 

      На  рисунке 3.1 приведены графики распределения вероятностей для проектов 1 и 2. Условиям нормального распределения удовлетворяет проект 2.

      Для большей прозрачности дальнейших рассуждений, полезно предварительно решить самостоятельно следующую задачу

 

      Задача 1.  Рассмотрим два финансовых проекта А и В, для которых возможные нормы доходности (IRR ) находятся в зависимости от будущего состояния экономики. Данная зависимость отражена в таблице 3.2

                                                                              Таблица 3.2.

      Данные  для расчета ожидаемой нормы доходности вариантов вложения капитала в проекты А и В

Рассчитайте для каждого из проектов ожидаемую норму доходности ERR. Сравните  результаты своих вычислений с ответом.

      Ответ: Для проекта А по формуле (3.1) получаем:

      ERR_А = 0,25 ´ 90% + 0,5 ´ 20% + 0,25 ´ (-50%) = 20%.

      Для проекта В:

      ERR_В = 0,25 ´ 25% + 0,5 ´ 20% + 0,25 ´ 15% = 20%

 

      Таким образом, для двух рассматриваемых  проектов ожидаемые нормы доходности совпадают, несмотря на то, что диапазон возможных значений IRR сильно различается: у проекта А от  -50% до 90%, у проекта В от 15% до 25%. На рисунке 3.3 приведены графики распределения вероятностей для проектов А и В, (они удовлетворяют условиям нормального распределения).

      

      Рис. 3.3. Распределение вероятностей для  проектов А и В

      Предполагается, что для проекта А в наихудшем  случае убыток не составит более 50%, а в наилучшем случае доход не превысит 90%. Для проекта В  15% и 25% соответственно. Очевидно, что тогда значение ERR останется прежним (20%) для обоих проектов, совпадая со значением среднего состояния. Соответствующая же среднему значению вероятность понизится, причем не одинаково в наших двух случаях.

      

      

 
 

      Рис. 3.4. Распределение вероятностей для проектов А и В

      Очевидно, чем более «сжат» график, тем выше вероятность, соответствующая среднему ожидаемому доходу (ERR), и вероятность того, что величина реальной доходности окажется достаточно близкой к ERR. Тем ниже будет и риск, связанный с соответствующим проектом. Поэтому меру «сжатости» графика можно принять за достаточно корректную меру риска.

      Меру  «сжатости» определяет величина, которая в теории вероятности носит название «среднеквадратичного отклонения» - s - и рассчитывается по следующей формуле

                                                                                 (3.2)

      Чем меньше величина s, тем больше «сжато» соответствующее распределение вероятностей, и тем менее рискован проект. При этом для нормального распределения вероятность «попадания» в пределы ERR ± s составляет 68,26%.