Анализ и прогнозирование доходов населения

   Рисунок5.10 – График исходных данных

   Судя  по графику можно сказать, что  наиболее точно можно будет предсказать прогнозное значение исследуемого показателя используя параболическую модель вида:

                                   Y_p(t) =        _{,где               (5.19)}

                             (5.20)

                       (5.21)

                                          (5.22)

   Расчеты для определения коэффициентов  параболической модели представлены в таблице 5.8.

Исходя  из расчетов представленных в таблице  коэффициенты будут равны: 
 
 
 
 
 

Следовательно, уравнение параболического тренда имеет вид  

   Построим  точечный прогноз на k-шагов вперед путем подстановки в модель параметра t = N+1, ..., N+k.

При прогнозировании  на шаг и два шага k=1; k=2:

Y_p(11) = 8169+68,311+186,511²= 31486,8

Y_p(12) = 8169+68,312+186,512²=35844,6

   Таким образом мы можем увидеть, что  в 2010 году уровень расходов населения  составит  31486,8 тыс руб, а в 2011 году – 35844,6 тыс руб.Значит уровень расходов  будет увеличиваться.

Таблица5.8- Расчеты  для определения коэффициентов  параболической модели

Задание 5.Оценить адекватность модели полученной ранее, описывающей  временной ряд Y(t), на основе исследования:

•   случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических используйте уровни d₁ = 0,697 и d₂ = 1,641) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1)= 0,36;

•   нормальности распределения остаточной компоненты по RS-критерию с критическими уровнями 2,7—3,7.

   Качество модели определяется ее адекватностью исследуемому процессу, которая характеризуется выполнением определенных статистических свойств, и точностью, т.е. степенью близости к фактическим данным.

     Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

     Модель является адекватной, если ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения и равенства нулю средней ошибки.

Отклонения  расчетных значений от фактических  наблюдений вычисляются как

                           Е(t) = Y(t)-Y_p(t), t=1,2,…,17.                      (5.23)   

       Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждый уровень ряда сравнивается с двумя рядом стоящими. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается сумма поворотных точек "р". В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство: 

Р >                       (5.24)

При N=20 в правой части неравенства будем  иметь:

  

   Таким образом число поворотные точек должно быть больше 8. В нашем случае количество поворотных точек 19>8. Неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется. Необходимые расчеты представлены в таблице 5.9.

   При проверке отсутствия автокорреляции определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d-критерия Дарбина – Уотсона

                                                                         (5.25)

 d  = 0,1

      Вычисленная величина этого критерия сравнивается с двумя табличными уровнями (нижним d₁=0,697 и верхним d₂= 1,641).

      Если 0 < d < d₁ - то уровни остатков сильно автокоррелированы, а модель не адеквата;

d₂ < d < 2 - то уровни ряда являются независимыми;

d > 2 - то это свидетельствует об отрицательной корреляции и перед входом в таблицу необходимо выполнить преобразование: d = 4 - d;

      В нашем случае значение попадает в интервал 0 < d < d1,что значит что модель сильно автокоррелирована.

      Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS- критерия (5.5):

                       RS⁼ : S_E,                                                (5.26)

где   E_max-максимальный уровень ряда остатков;

        E_min - минимальный уровень ряда остатков;

         S_E - среднее квадратическое отклонение.

                                                                      (5.27)

S_e = 181589

E_max = -7660,2; E_min = -82080,6

     Если расчетное значение RS-критерия попадает между критическими значениями с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. Для N=20 и 5%-ного уровня значимости этот интервал равен [3,18;4,49](см.приложение С)

RS  = 4,09

      Расчетное значение попадает в интервал. Следовательно, свойство нормальности распределения  выполняется, что  позволяет строить доверительный интервал прогноза и указывает на то, что остаточная компонента распределена нормально.

      Построим доверительный интервал:

Верхняя граница:      Y_p (N+k)+ U(k)

Нижняя  граница:       Y_p(N+k)- U(k)

Величина  U(k) для линейной модели имеет вид (5.28):

                            Uτ                                 (5.28)

Если  в качестве линии тренда используется уравнение прямой, то

                                           τ =                                                 (5.29)

τ = 191677

Коэффициент Кр является табличным значением  t-статистики Стьюдента t_табл(a=0,1k=18) = 1,734 (см.приложение В)

U1916771,734 = 1 287055

U1916771,734 = 1 414484

Расчеты прогнозных оценок сведем в таблицу 5.10.

                    Таблица 5.10 – Расчеты прогнозных оценок

 

Оценим  точность линейной модели по среднему квадратическому отклонению и по средней по модулю ошибки (5.30):

                           E_отн =                           (5.30)

E_отн = 9,5%

       Модели со средней относительной ошибкой менее 5% считаются хорошими, до 15% - приемлемыми, поэтому в нашем случае величина E_отн = 9,5% считается приемлемой моделью.

       В данной модели выполняется свойство случайности. По  d-критерию Дарбина – Уотсона  модель является сильно автокаррелированой, т.е. d стремиться к 0.

       Автокорреляция остатков может возникать по несколькими причинами: 
Во-первых, иногда автокорреляция связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях Y. 
Во-вторых, иногда причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. В модель может быть не включен фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, но влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Зачастую этим фактором является фактор времени t.

        RS- критерия подтверждает соответствие ряда остатков нормальному закону распределения.