Анализ и прогнозирование доходов населения

  Рассмотрим  наиболее распространенные способы  определения тренда, базирующиеся на сглаживании временных рядов.

2. Применение простых скользящих средних

  При анализе  рядов динамики возникает важная задача: определение основной тенденции  в развитии исследуемого явления. В  некоторых случаях общая тенденция  ясно прослеживается в динамике показателя, в других ситуациях она может не просматриваться из-за ощутимых случайных колебаний.

  На  практике для обнаружения обшей  тенденции часто используют простой  прием — укрупнение интервалов. Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд месячной динамики, Ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни нового ряда могут быть получены суммированием уровней исходного ряда либо могут представлять средние значения.

  При выявлении тенденции развития используется распространенный прием - сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

  Методы  сглаживания можно условно разделить  на два класса, опирающиеся на различные  подходы: аналитический и алгоритмический.

  Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую. Например, на основе визуального и содержательного экономического анализа динамики временного ряда предполагается, что трендовая составляющая может быть описана с помощью показательной функции:

      y=ab^t

  Тогда на следующем этапе будет проведена  статистическая оценка неизвестных коэффициентов модели, а затем определены сглаженные значения уровней временного ряда путем подстановки соответствующего значения временного параметра t в полученное уравнение (заданное в явном аналитическом виде).

  В алгоритмическом подходе отказываются от ограничительного допущения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса  не предполагают описания динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой заданный момент времени. Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

  Скользящие  средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

  Алгоритм  сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов.

1. Определяют длину интервала сглаживания l, включающего в себя l последовательных уровней ряда (l < п). При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.
2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания «скользит» по ряду с шагом, равным l.
3. Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок.
4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

  При этом удобно брать длину интервала  сглаживания l в виде нечетного числа l = 2р + 1, так как в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

  Наблюдения, которые берутся для расчета  среднего значения, называются активным участком сглаживания.

  При нечетном значении l = 2р + 1 все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

        ,                       (3.1)

где y_t - центральный уровень активного участка;

, - последовательность  из р уровней активного участка, предшествующих центральному;

- последовательность из р уровней активного участка, следующих за центральным.

  Тогда скользящая средняя может быть определена по формуле:

   , (3.2)

где y_i -   фактическое значение i-го уровня;

 - значение скользящей средней в момент t;

2р  + 1 — длина интервала сглаживания.

  Процедуры скользящих средних опираются на известную теорему Вейерштрасса, согласно которой «любая гладкая  функция при самых общих допущениях может быть локально (т.е. в ограниченном интервале изменения ее аргумента t) представлена алгебраическим полиномом подходящей степени».

  При реализации простой скользящей средней  выравнивание на каждом активном участке  проводится по прямой (по полиному первого порядка). 

  Таким образом, осуществляется аппроксимация  неслучайной составляющей с помощью  линейной функции времени:

   .

  Для устранения сезонных колебаний на практике часто требуется использовать скользящие средние с длиной интервала сглаживания, равной 4 или 12, но при этом не будет выполняться условие нечетности. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

           (3.3)

  Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать 4-  и 12-членную скользящую среднюю:

                                       (3.4)

                              (3.5)

  В первой формуле  каждый активный участок  содержит 5 уровней, во второй - 13, при этом крайние уровни имеют половинные весовые коэффициенты.

  Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического  ряда напоминает прямую. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая  скользящая средняя может привести к существенным искажениям. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, то целесообразно использовать взвешенную скользящую среднюю. 

3.3 Прогнозирование  тенденции развития с помощью моделей кривых роста

Метод Ирвина.

  Важным  условием правильного отражения  временным рядом реального процесса развития является сопоставимость уровней  ряда. Несопоставимость чаще всего  встречается в стоимостных характеристиках, изменениях цен, территориальных изменениях, укрупнении предприятий и др. Для несопоставимых величин показателя неправомерно проводить его прогнозирование. В этом плане часто прогнозирование проводится в отношении к уровню показателя на конкретный период. Например, прогнозирование уровня производства проводится в уровнях цен такого-то фиксированного года.

  Для успешного изучения динамики процесса необходимо, чтобы

информация  была полной на принятом уровне наблюдений, временной ряд имел достаточную  длину, отсутствовали пропущенные наблюдения.

  Уровни  временных рядов могут иметь  аномальные значения. Появление таких  значений может быть вызвано ошибками при сборе информации, записи или  передаче информации – это ошибки технического порядка, или ошибки первого  ряда, т.е. ошибки не отражающие никакой тенденции.

  Однако, аномальные значения могут отражать реальные процессы, например скачок курса  доллара или его падение, такие  аномальные значения относят к ошибкам  второго ряда, они не подлежат устранению. Для выявления аномальных уровней временных рядов можно

использовать  метод Ирвина.

  Пусть имеется временной ряд .

Метод Ирвина предполагает использование  следующей формулы:

                                                   (3.7)

t=2,3,…..T,

где  - среднеквадратическое отклонение временного ряда y₁,y₂,……..y_t

  Расчетные значения  сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина  ; если какое-либо из них  оказывается больше табличного , то соответствующее значение y_t уровня t ряда считается аномальным.

  После выявления аномальных уровней необходимо определить причины их возникновения. Если они вызваны ошибками технического порядка, то они устраняются, либо заменяются значения аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей временной ряд, либо аномальные значения уровней заменяются средней арифметической величиной двух соседних уровней ряда. [10, c.71]

  Ошибки, возникающие из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, устранению не подлежат.

  В таблицу внесена дополнительная информация, вычисляемая по

формулам:

                                                                   (3.8)

                                                       (3.9) 

3.4 Компоненты  временного ряда

  Если  во временном ряде проявляется длительная тенденция изменения экономического показателя, то в этом случае говорят о наличии тренда. Тренд относят к систематической составляющей долговременного действия.

  Во  временных рядах часто происходят регулярные колебания, которые относятся  к периодическим составляющим рядов  экономических процессов.

Значения  уровней временного ряда экономических  показателей складываются из следующих  составляющих (компонент): тренда, сезонной, циклической и случайной. Если период колебаний значений ряда не превышает года, то их называют сезонными, если же период длительностью является более года, то они называются циклическими составляющими. Чаще всего причиной сезонных колебаний являются природные, климатические условия, циклических – демографические циклы и др. [5, c.68]

  Тренд, сезонные и циклические составляющие называются регулярными, или систематическими компонентами временного ряда. Если из временного ряда удалить регулярный компонент, то останется случайный компонент.

Приведем  виды моделей временных рядов:

- аддитивная форма:

                        (3.11)

- мультипликативная форма:

                           (3.12)

- смешанная форма:

                          (3.13) 

где - уровни временного ряда,  - временной тренд, - сезонный компонент, - циклическая  составляющая, - случайный компонент.

3.5 Проверка  гипотезы о наличии тренда. Методом критерия серий

  Прогнозирование временных рядов целесообразно  начинать с построения графика исследуемого экономического показателя. Часто уже  по графику видно имеется ли общая  тенденция временного ряда. В случае наличия

сомнения в наличии тренда у временного ряда применяют так называемый

«критерий восходящих и нисходящих серий».

  Опишем  алгоритм «критерия восходящих и нисходящих серий».

1) Для  исследуемого временного определяется  последовательность знаков в  соответствии с условием: 

  При этом нулевые значения пропускаются, т.е. при равенстве предыдущего  значения последующему в последовательности учитывается только одно из них.

2) Подсчитывается  числи серий V(T). Под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов, при этом один плюс или минус также считается серией.