Анализ и прогнозирование доходов населения

 

2.2.Основные  показатели изменения уровней  временного ряда

  Одной из важнейших задач анализа временных рядов является определение изменений, происходящих в данном явлении, а также вычисление направления, скорости и интенсивности этого изменения. Для решения этой задачи вычисляется ряд показателей: абсолютный прирост, темп роста, темп роста. [8,c.35]

  Абсолютный  прирост– важнейший статистический показатель динамики. Он характеризует размер увеличения (уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Абсолютный прирост равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста:

                        ,                              (3)

    где -   абсолютный прирост,

    - n-й уровень ряда,

    - базисный уровень, отстоящий от у_i на k лет/

 Коэффициент роста показывает, во сколько раз  данный уровень ряда больше (или  меньше) базисного уровня. Он равен, отношению двух сравниваемых уровней:

                                                                    (4)

K_p >1 – рост  уровня ряда,

K_p =1 – если уровень не меняется,

K_p =1 – если уровень снижается

  Коэффициент прироста выражает абсолютное изменение коэффициента роста. Он рассчитывается по формуле: 

                                                        (5)

  На  практике чаще применяются не коэффициенты роста и прироста, а темпы роста и прироста.

  Темп  роста характеризует отношение  двух сравниваемых уровней ряда, как правило, выраженное в процентах.

  Цепной  темп роста равен отношению текущего уровня (у_r,) и предыдущего (у_r-1) :

      %,                                              (6)

где t = 2, 3, ...n; n -  число уровней или длина временного ряда.

  Базисный  темп роста может быть представлен  в виде (формула4):

      100%,                                                (7)

где у_t, - текущий уровень временного ряда;

 y_b  -  уровень временного ряда, принятый за базу сравнения.

  Базисный  темп роста отражают интенсивность роста исследуемого объекта за весь отрезок времени.

  В свою очередь, цепные темпы роста  показывают интенсивность роста  исследуемого объекта по годам.

  Темп  роста всегда положителен. Если темп роста равен 100%, то значение уровня не изменилось, если меньше 100%, то значение уровня понизилось, больше 100% соответственно повысилось.

  Темп  прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов  изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. Темп прироста есть выраженное в процентах отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения.

  Цепной  темп прироста может быть представлен  в виде:

      %,                                                       (8)

где y_t - текущий уровень временного ряда;

 - предыдущий уровень ряда

t = 2, 3, ... n; n - число уровней или длина временного ряда.

  Преобразовав  выражение (8), можно показать зависимость  цепного темпа прироста от соответствующего темпа роста :

      % - 100%=Т_r -100%                                    (9)

где Т_r   -  цепной темп роста.

  Базисный  темп прироста равен отношению базисного  абсолютного прироста к уровню ряда, принятому за базу сравнения:

                                                                          (10)

  Темп  прироста показывает на сколько уровень  одного года (периода) увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем явления другого года (периода). Он выражает относительную величину прироста в процентах.

  Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же промежутки времени показывает, что замедление темпа прироста часто не сопровождается уменьшением абсолютных приростов. При замедлении темпов роста может увеличиваться абсолютный размер прироста уровня. Сопоставление абсолютного прироста с темпами роста осуществляется путем их сравнения. Эффективность одного процента прироста выражается отношением абсолютного прироста к темпу прироста, выраженному в процентах.

  2.3Средние  характеристики временного ряда

  Средние величины временного ряда — это  обобщенные характеристики развития явления  за изучаемый период. К ним относятся: средняя хронологическая, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста-

  Средняя хронологическая, или средний уровень ряда, показывает, какова средняя величина уровня, характерная для всего анализируемого периода. К расчету среднего уровня чаще прибегают для рядов, изменение которых стабилизируется в течение большого периода времени и рядов с колеблющимися уровнями в короткие промежутки времени.

  Средняя хронологическая вычисляется по-разному  для интервальных и моментных  временных рядов.

  Для интервального ряда, уровни которого можно суммировать и получить итоги за более продолжительный период, средняя определяется по формуле:

                                                                                                  (11)

  Для моментного временного ряда с равностоящими  уровнями средняя хронологическая  рассчитывается как:

                                                                     (12)

  Cредний абсолютный прирост показывает скорость развития явления. Прогноз динамики ряда с помощью среднего абсолютного прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на L шагов вперед

(L- период  упреждения), достаточно воспользоваться  следующей формулой:

      _, (13)

где   - фактическое значение в последней  n-й точке ряда (конечный уровень ряда);   

 - прогнозная оценка значения (n + T)-ro уровня временного ряда;

  - значение среднего абсолютного прироста, рассчитанное для временного ряда  y₁,  y₂ , y₃…. Y_{т .}

Т  - период упреждения.

  Экстраполяция по среднему абсолютному приросту может  быть выполнена в том случае, если считать общую тенденцию развития явления линейной, либо выполнить следующее неравенство: 

где  - остаточная дисперсия, не объясненная  эстраполяцией по среднему абсолютному  приросту;  - общий прирост показателя от начального уровня до конечного  у_i.

  Средний темп рост используют для определения средней скорости изменения изучаемого явления за рассматриваемый период времени. Он показывает, сколько в среднем процентов последующий уровень составляет от предыдущего на всем периоде наблюдения. Этот показатель рассчитывается по формуле средней геометрической из цепных темпов роста:

                                                                       ₍₁₄₎

  Выразив цепные темпы роста Г₂, Г₃, ..., Т_n  через соответствующие уровни ряда, получим:

                        (15) 

  Прогноз по среднему темпу роста может осуществиться в случае, когда есть основания считать, что общая тенденция ряда динамики характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Прогнозируемый уровень ряда в этом случае определяется следующей формулой:

                                       , (16)

где   - средний темп роста, рассчитанный по формуле средней геометрической.

Т- период упреждения.

  Доверительный интервал прогноза по среднему темпу  роста может быть получен только в том случае, когда средний  темп роста определяется с помощью  статистического оценивания параметров экспоненциальной кривой.

  Средний темп прироста соответственно равен:

                                                                                        (17)

  Для удобства расчета показателей динамики, сведем формулы для их нахождения в одну таблицу 2.1

  Таблица2.1 -Показатели динамики

 

3 Определение основной тенденции временных рядов

3.1.Понятие  основной тенденции

  Важнейшей задачей анализа временных рядов является определение основной закономерности изменения изучаемого явления во времени.

  При представлении совокупности результатов  наблюдений в виде рядов фактически используется предположение о том, что наблюдаемые величины принадлежат некоторому распределению, параметры которого и их изменение можно оценить. По этим параметрам (как правило, по среднему значению и дисперсии, хотя иногда используется и более полное описание) можно построить одну из моделей вероятностного представления процесса.

  Важнейшей задачей анализа является выявление  основной тенденции поведения системы, как результата влияния комплекса  причин, действующих на изучаемый  процесс. Основная тенденция характеризуется трендом. Для выявления основной тенденции применяют сглаживание рядов динамики.

 Необходимость сглаживания временных рядов  обусловлена тем, что помимо влияния на уровни ряда главных факторов, которые в конечном счете и формируют конкретный вид неслучайной компоненты (тренда), на них действует большое количество случайных факторов, которые вызывают отклонения фактических уровней от тренда. Результат этого воздействия и формируется с помощью остаточной случайной компоненты в уравнении следующего вида: 

  Сам факт отклонения от сложившейся тенденции  требует тщательного анализа  и, быть может, соответствующих оперативных действий. Всегда существует опасность сгладить под видом «отклонений» существенные изменения показателей, отражающие важные экономические факты, или выровнять такие уровни, самое существо которых не допускает подобной их обработки . Целью анализа, временных рядов экономических явлений за определенный интервал времени является выделение тенденций их изменения за рассматриваемый период, которая покажет общую наблюдаемую картину развития изучаемого явления.

  Все методы сглаживания временных рядов  с целью выявления основной тенденции  исходят из фактического состояния  явления, которое имело место  в течение прошедшего периода. На практике тренд определяют эмпирически, чаще всего на основании графического анализа или же путем использования некоторых критериев (например, путем сравнения различных кривых по среднеквадратической ошибке).