Математические слова и предложения. Развитие логического мышления при изучение элементов алгебры и математической логики

Эпикурейской  «каноникой» заканчивается история логической мысли ранней античности. На  смену приходит поздняя античность. Ее вклад в логику ограничивается переводческой деятельностью поздних перипатетиков и неоплатоников.

Как самостоятельная наука  логика развивается лишь в странах арабской культуры (VII – XI век). Оригинальная средневековая логика, известная под названием  «logica modernorum» возникает лишь в XII – XIII веке.

Последующие два столетия – эпоха возрождения для дедуктивной логики были эпохой кризиса.

В XIX – XX веке в трудах Дж. Буля возникает алгебраическая логика. Развивалась она в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д. Гильберта и др. Основным предметом алгебраической логики стали высказывания, рассуждения. Под высказыванием понимается каждое предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно.

В алгебраической логике для обозначения истинности вводится символ И, а для обозначения ложности  - символ Л. Часто вместо этих символов употребляются числа 1 и 0.

Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий.

Основным предметом математической логики является построение и изучение формальных систем. Центральным результатом является, доказанная в 1931 году австрийским математиком Геделем теорем о неполноте, утверждающая, что для любой «достаточно разумной» формальной системы существуют неразрешимые в ней предложения, то есть такие формулы А, что ни сама формула А, ни ее отрицания не имеют вывода.

§ 2 Математический язык. Понятие о математических словах и предложениях.

Когда мы пишем сочинение, письмо, выступаем на собрании, то свои мысли выражаем при помощи предложений. Читая книгу, статью, мы опять встречаемся с тем, что рассуждения есть цепочка некоторых предложений.

Изучая математику мы тоже пользуемся предложениями, которые могут быть записаны как на естественно (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов (3 + 4 · 7 = 31). Математические предложения характеризуются содержанием и логической структурой.

Но, как известно, любое предложение образуется из слов, а слова – из букв некоторого алфавита. Алфавит состоит из: десяти цифр, для записи чисел в десятичной системе (0,1,2,…,9); букв латинского алфавита, для обозначения переменных, множеств их элементов (a, b, c, …, z, A, B, C, …, Z); знаков, для записи действий (+, - ,  ·, :,  , и др.); знаков отношений, для записи предложений  ( =, >, < и др.). А также в символических записях встречаются скобки, запятая.

Из этих знаков конструируются слова и предложения. Слово – это такая конечная последовательность букв алфавита, которая имеет смысл. Например, запись 7 - : 8  + смысла не имеет, и, значит словом ее назвать нельзя.

В математике различаются элементарные и составные предложения. Например: «Число 56 делится на 8» – это элементарное предложение. А предложение «Число 56 четное и делится на 8» составное.

Среди суждений, устанавливающих различные отношения между понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы. Высказыванием называется предложение, относительно которого имеет смысл вопрос, истинно оно или ложно.

Например, предложение «число 8 четное» есть истинное высказывание, а предложение «3 + 3 = 32» ложное высказывание. Каждому высказыванию приписывают одно из двух значений: И (истина) и Л (ложь). Значения И и Л называют значениями истинности высказывания. Если высказывание элементарное, то его значение истинности определяется по его содержанию. А если оно составное, то значение истинности зависит от значения истинности составляющих его элементарных высказываний, соединенных при помощи слов: «и», «или», частицы «не», «если…, то…» и др., которые называются логическими связками.

Выясним смысл, который в математике имеет союз «и». Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем из них, с помощью союза «и», составное высказывание. Назовем его конъюнкцией и обозначим А ۸ В (читают: А и В).

Конъюнкицией  высказываний  А и В называется высказывание А ۸ В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «Число 102 четное и делится на 9». Высказывание имеет форму «А и В», где А – число 102 четное – И, а В – число 102 делится на 9 – Л. Следовательно, и все предложение ложно.

Выясним теперь, какой смысл в математике имеет союз «или». Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное высказывание. Назовем его дизъюнкцией и обозначим А ۷ В (читают: А или В).

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ۷ В, которое истинно когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «Число 15  четное или делится на 3», высказывание имеет форму «А или В», где А – Число 15 четное – Л, а В – число 15 делится на 3 – И. Следовательно, и все предложение истинное.

Очень важно знать какой из союзов «и» или «или» присутствует в предложении, иначе может получиться например такое недоразумение: Как-то раз Катя пошла гулять с собакой, и вернулась с прогулки взволнованная. Какой-то прохожий упрекнул ее в нарушении правил содержания собак в городе. Листок с правилами был наклеен на заборе, и одно из них гласило: собака на прогулке должна быть на поводке… в наморднике (кусочек бумаги после слов «на поводке» был оторван).

Она спустила собаку с поводка, но оставила в наморднике. На этом примере хорошо видна роль союза. Если бы был союз «и», прохожий оказался бы прав. Если бы союз «или» была бы пава Катя.

Часто в математике приходится строить высказывание, в которых что-либо отрицается. Например, дано высказывание «Число 12 простое». Это ложное высказывание. Построим его отрицание: «Неверно, что число 12 простое». Получили истинное высказывание. Отрицание высказывания А обозначают Ā читают: «Не А» или «Неверно, что А».

Вообще, отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.

Также составные высказывания можно получить при помощи слов «если…, то…». Например: «Если я куплю билеты, то пойду в театр», «Если ученик получил на экзамене положительную оценку, то он сдал этот экзамен». Высказывания имеет форму «Если А, то В» и называется импликацией  высказываний А и В (от латинского слова implicatiomecho связывают). Импликацию высказываний А и В записывают так: А  В и читают «Если А, то В». Высказывание А называют условие импликации, а высказывание В - ее заключением.

Считают, что импликация А  В истинна во всех случаях, кроме случая, когда А истинно, а В ложно.

Но существует еще и импликация обратная данной. Переставив местами импликацию двух высказываний А  В получим В   А. Ее называют импликацией, обратной импликации А  В. Например, если дана импликация «Если вам больше 14 лет, то вы имеете паспорт», то импликация, обратная данной, такова: «Если вы имеете паспорт, то вам больше 14».

Образуем конъюнкцию двух взаимно обратных импликаций А  В и В  А, то есть высказывание вида (А  В) ۸ (В  А). Это высказывание истинно только тогда, когда высказывания А и В оба истинны, либо оба ложны. Высказывания данного  вида называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают:          А  В. Запись читают: а) А равносильно В;  б) А тогда и только тогда, когда В;  в)  А, если  и только, если В.

Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны.

Например, эквиваленция «2 = 3 тогда и только тогда, когда 3 < 5» - ۸, потому что  ложно высказывание «2 = 3».

Все эти определения можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

    В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или несколько переменных. Например: Х < 3; Х + У = 8. Эти предложения не являются высказываниями, т. к. относительно их не имеет смысла вопрос, истинны они или ложны. Но при подстановке значений переменных эти предложения в высказывания (истинные или ложные).

Предложения такого вида называния высказывательными формами или предикатами. Каждая высказывательная форма порождает высказывания одной и той же формы. Высказывательная форма содержащая одну переменную называется одноместной, а две двух местной.

И так, высказывательная форма – это предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него конкретных значений переменных.

Среди всех возможных значений переменной существуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например, множеством истинности предиката Х > 5, заданного на множестве действительных чисел, буде промежуток (5;∞).

Обозначим множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда согласно определению, всегда Т  Х.

Также как и высказывания, предикаты бывают элементарные и составные. Составные образуются из элементарных при помощи логических связок.

Пусть на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х). Предикат            А(х)  В(х), х  Х называют импликацией данных предикатов. Он обращается в ложное высказывание лишь при тех значениях х из множества Х, при которых предикат А(х)  В(х) истинен. Говорят что предикат В(х) логически следует из предиката А(х).

Вообще если на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х) и известно, что предикат  В(х) логически следует из предиката А(х), то предикат В(х) называют необходимым условием для предиката А(х), а А(х) – достаточным условием для предиката В(х). Очень часто слова «необходимое условие» заменяют словами «только тогда», «только в том случае».

Мы выяснили, что при подстановки значений переменных в предикат, получаем истинное или ложное высказывание. Но это превращение можно осуществить и другим образом.

Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» поставить слово «всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5». Относительно этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит предложение «всякое число х кратно 5» (х  N) – высказывание, причем ложное.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х и обозначается символом х.

Высказывание «существует х такое, что …» в логике называется квантором существования по переменной х и обозначается символом х.

Наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Используя слово «некоторый» в обычной речи имеют в виду «по меньшой мере один, но не все», в математике же слово «некоторые» обозначает «по меньшей мере один, но может быть, и все». И так, если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать кванторм общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать квантором каждую переменную. Например, если дана высказывательная форма «х > у», то для получения высказывания надо связать квантором обе переменные. Например, (х)(у) х > у или (х)(у) х > у.

Одна важно уметь не только переходить от высказывательной формы к высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать высказывания, содержащие кванторы, и выявлять их логическую структуру.

Часто в высказываниях квантор опускается; например, переместительный закон сложения чисел записывают  в виде равенства а + в = в + а, которое означает, что для любых чисел а и в справедливо равенство а + в = в + а, то есть переместительный закон сложения есть высказывание с квантором общности.

Истинность высказывания с квантором общности               устанавливается путем доказательства. Что бы убедиться в ложности таких высказываний, достаточно привести контр пример.

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедится в ложности такого высказывания, необходимо привести доказательство.

Понятия: высказывания, предиката и операции над ними позволяют выяснить логическую структуру многих утверждений. Этому способствует и использование при их записи символов, применяемых в логике.

При изучение математики часто приходится рассматривать предложения, называемые теоремами. Каким бы ни было содержание теоремы, она всегда представляет собой высказывание, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.

Итак, теорема  - это высказывание о том, что из свойства А следует свойство В. Истинность этого высказывания устанавливается путем доказательства.

С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида    А  В, где А и В – высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В – ее заключением.