Математические слова и предложения. Развитие логического мышления при изучение элементов алгебры и математической логики

Содержание.

Введение.

Глава I. Исторические и психолого-педагогические основы темы «Математические слова и предложения. Развитие логического мышления при изучение элементов алгебры и математической логики.»

§ 1. История возникновения математической логики и алгебры.

§ 2.  Математический язык. Понятие о математических словах и предложениях.

§ 3.  Анализ заданий школьного учебника второго класса. Система дополнительных упражнений на развитие логического мышления учащихся.

Глава II. Методика изучения элементов алгебры и математической логики.

§ 1. Методика изучения числовых выражений, выражений с переменными, числовых равенств и неравенств, уравнений.

§ 2. Различные трактовки введения понятий алгебры и математической логики.

§ 3. Разработка конспектов уроков по теме.

§ 4. Материал для внеклассной работы.

§ 5. Эксперимент.

Заключение.

Литература.

Введение

Наука алгебры и алмукабалы – это наука о правилах,

По которым узнают числовые неизвестные по

соответствующим им известным.

Ал-Каши.

В последние годы в связи с дифференциацией обучения, появлением школ различной профильной направленности, в том числе гуманитарных, технических, экономических, естественно-математических и других по-новому встают вопросы о целях, содержании формах и методах обучения математике в школе, о месте и роле каждого школьного предмета.

В 1992 году был принят Закон Российской Федерации об образовании, вторая статья которого посвящена принципам государственной политики в области образования. В ней говорится о гуманистическом характере образования, приоритете общечеловеческих ценностей жизни и здоровья человек, свободного развития личности. Таким образом, Закон открыл широкие перспективы для перестройки среднего образования, возможности для внедрения различных форм дифференцируемого обучения в практику работы школы.

  Психологический аспект дифференциации обучения связан с исследованиями в области дифференциальной психологии.

Исследования проблемы индивидуализации и дифференциации обучения с педагогических позиций посвящены работы Ю. К. Бабанского, И. Э. Унт и других. В них представляются системы обучения, отвечающие склонностям учащихся и направленные на развитие и формирование различных сторон личности учащихся.

В перечисленных работах ставились и решались важные общие психолого-педагогические и методические проблемы учета индивидуальных особенностей учащихся и дифференцированного обучения. В то же время потребности современной              школы ставят перед методикой преподавания математики новые задачи, связанные с дифференциацией обучения.

Необходимы новые учебные пособия, методические разработки которые учитывали бы специфику таких классов, но при этом сохраняли достаточно общий уровень математического образования, достигнутого отечественной школой.

Все выше сказанное определило актуальность исследования.

Объектом исследования является процесс обучения математике в начальных классах.

Предметом исследования является процесс обучения алгебраическому материалу.

Научная проблема исследования состоит в обосновании и разработке некоторых методических положений алгебраического материала.

Целью исследования является разработка методики формирования умений по теме «Алгебраический материал».

Данная тема выбрана мною с целью уточнить и углубить знания об элементах алгебры и математической логики.

В первые в истории русской школы в соответствии с новой программой в начальный курс математики включены элементы алгебры. Учащиеся 1 – 3 классов должны получить первоначальные сведения о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, ознакомиться с буквенной символикой, с переменной, научить решать несложные уравнения и неравенства.

Алгебраический материал изучается, начиная с первого класса в тесной связи с арифметическим. Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовить детей к изучению алгебры в следующих классах.

Обучаясь в 1 – 3 классах дети должны научиться читать и записывать выражения, усвоить правила порядка выполнения действий в выражениях содержащих два и более действия, практически познакомиться с преобразованием выражений на основе использования изученных свойств арифметических действий.

Работа над выражением тесно связано с изучением самих действий и оказывает большое влияние на владение школьниками такими понятиями, как равенства, неравенства, уравнения. И поэтому, недостаточно ясное представление о простейших выражениях  сумме и разности двух чисел является причиной ошибок при выполнении первоклассниками ряда заданий. Только глубокое понимание структуры выражения и твердое знание правил порядка действий могут предупредить дальнейшее не понимание предмета.

Все это обязывает к необходимости разработки системы упражнений по формированию понятия выражения у учащихся начальной школы с учетом возникающих трудностей.

На практике выражением иногда называют последовательность математических символов, включающую знаки отношений: «>», «<», «=». Например, прочитайте выражение: (90 + 30) : 10 > 90 : 10; из заданных выражений выпишите только верные: 7 + 3·5 = 22, (7 + 3)·5 = 22, 7 + 3·5 = 50 и т. д. Конечно, в этих случаях речь должна идти о равенствах и неравенствах, которые являются конкретными видами высказываний. Выше приведенный пример свидетельствует о поверхностных знаниях учителя, что, безусловно, отразится на знаниях учащихся. Поэтому есть основания утверждать, что нечеткое понимание педагога, казалось бы, элементарного материала может привести детей к непониманию и противоречиям. 

Практическая значимость исследования определяется тем что в нем разработаны и проверенны:

1.      Системы задач для темы «Алгебраический материал», в том числе: устных, опорных, стандартных, повышенной трудности, нестандартных, исследовательских, занимательных.

2.      Разработка работ, направленных на развитие умений.

Глава I.

Исторические и психолого-педагогичекие основы темы «Математические слова и предложения. Развитие логического мышления при изучение элементов алгебры и математической логики.»

§ 1. История возникновения математической логики и алгебры.

Кто хочет ограничится настоящим, без знания

прошлого, тот никогда его не поймет …

Лейбниц.

Алгебра – один из больших разделов математики, принадлежащий к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики.

Алгебре предшествовала арифметика. Характерное отличие алгебры от арифметики заключается в том, что в  алгебру вводится неизвестная величина. Намек на такую трактовку арифметических задач есть уже в древне – египетском папирусе Ахмеса (2000 – 1700 до н. э.), где искомая величина называлась словом «куча» и обозначается соответствующим знаком-иероглифом.

В начале 20 века были расшифрованы многочисленные математические клинописи и другие из древнейших культур – вавилонской. Это открыло миру высоту математической культуры существовавшей уже за 4000 лет до наших дней.

Первые общие утверждения о тождественных преобразования встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI века до н. э.

Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Большинство задач решалось путем построений циркулем и линейкой.

В Египте решали задачи способом «аха», а в Вавилоне задачи решались по сути дела с помощью уравнений. Только в то время еще не умели применять в математике буквы. Поэтому вместо букв брали числа, показывали на числах, как решать задачу, а потом уже все похожие на нее задачи решали тем же способом.

Многие уравнения умел решать греческий математик Диофант, который даже применял даже букв для обозначения неизвестных. Но по-настоящему метод уравнений сформировался в руках арабских ученых, первым написал книгу на арабском языке о решении уравнений Мухаммед Ибн Муса ал – Хорезми. Название у нее было очень странное – «Краткая книга об исчислении  ал – джабры и ал – мукабалы.» В этом названии впервые прозвучало известное нам слово «алгебра».

Один персидский математик изложил в стихах обозначение слов «ал - джабра» и «ал - мукабала».

Ал – джабра.

При решении уравнения

Если в части одной,

Безразлично какой,

Встретится член отрицательный,

Мы к обеим частям,

С этим членом сличив,

Равный член придадим,

Только с знаком другим, -

И найдем результат нам желательный.

Ал – мукабала.

Дальше смотрим в уравнение,

Можно ль сделать приведенье,

Если члены в нем подобны,

Сопоставить их удобно,

Вычтя равный член из них,

К одному приводим их.

Таким образом, название «ал - джабра» носила операция переноса отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уже с положительным знаком. По-русски это слово означает «восполнение». Поэтому в Испании, которая долгое время была под арабским владычеством, слово «алгебрист» означало совсем не математика, а … костоправ.

А слово «ал - мукабала» означало приведение подобных членов. Оно не такое употребимое как «ал – джабра» и о нем помнят только историки науки.

Вскоре начали изучение более сложных уравнений, но их успешному решению мешало то, что не применяли букв. Но вскоре уравнения, которыми занимались итальянские и немецкие математики, стали настолько сложными, что без букв оказалось к ним подступится. И тут началось внедрение букв в алгебру.

С VI века центр математических исследований  перемещается в Индию и Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквенную символику.

В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII веке. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пезанский. Его «Книга абака» - тракт, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно. Первым крупным самостоятельным достижением западноевропейских ученых было открытие в XVI веке формулы для решения кубического уравнения. В конце XVI века французский математик Ф. Виета ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных постоянных.

Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения, касающиеся алгебраических уравнений. В конце XVIII века было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.  Это утверждение носит название основной темы алгебры.

В начале XIX века алгебра получила самостоятельное обоснование, не опирающаяся на геометрические понятия. Таким образом, в течение XIX века в математике возникли разные виды алгебр.

В области преподавания арифметики  Россия в XIX веке создала свою передовую математическую школу, далеко опередив в этом смысле западноевропейскую школу. Алгебра как дисциплина более абстрактная оказалась в сильной зависимости от формально – схоластических тенденций.

Программы курса алгебры в первой половине XIX века поражают своей              громосткоcтью. Великий русский геометр с успехом преподавал математику в гимназии и, кроме учебника геометрии, создал учебное руководство по алгебре. В 1985 году Н. И. Лобачевский представил в Казанский университет рукопись «Алгебра». Также над алгебраическими вопросами работают и такие математики как В. А. Евтушевский («Сборник арифметических задач») в первой части, которой ставится задача введение «алгебраического языка»; переход к буквенным обозначениям от числовых формул задач, П. Л. Чебышев («Руководство алгебры») и т. д.

Начало нового века внесло существенные коррективы в преподавание алгебры. Передовая педагогическая мысль признала, что в курс алгебры должны быть включены: идеи переменной величины, понятие функции.

Историческую основу современной логики образуют две теории дедукции, созданные в IV веке до н. э. Древнегреческими мыслителями: одна – Аристотелем, другая – его современниками Мегарской школы. Преследуя одну цель  - найти «общезначимые» законы логоса, о которых говорил Платон, они, столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели.

Аристотель в сочинении «Топика» в качестве доказательства сформулировал основное правило исчисление высказываний – правила «отделения заключения». Именно на этом пути он ввел понятие высказывания как истинной или ложной речи, открыл атрибутивную форму речи – как утверждения или отрицания «чего-либо о чем-то», определил простое высказывание как атрибутивное отношение двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объектных отношений, аксиому и правило силлогизма.

Логические идеи мегариков были ассимилированы в философской школе стоиков. В сочинениях стоиков логические высказывания предшествуют аристотелевской силлогистики, оформляясь в систему правил построения и правил вывода высказываний.

Эпикура – последняя наиболее важная для истории логики школа в античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию, индукцию. Они положили начало индуктивной логике, указав, на роль противоречащего примера в проблеме обоснования  индукции и, сформулировав ряд правил индуктивного обобщения.