Использование метода треугольника при решении задач как основа формирования знаний и умений учащихся на уроках геометрии в основной школ

     Отметить можно и то, что каждый  признак равенства треугольников  должен быть вначале закреплен  сам по себе и лишь, потом  встроен в систему признаков  с помощью специальной систем  упражнений. Если сравнить системы  упражнений по алгебре и по геометрии, то можно увидеть, что в курсе алгебры каждое правило закрепляется большим количеством однотипных примеров (от 20 до 100), в курсе геометрии на закрепления признаков равенства треугольников в учебных пособиях приводится 4-5 задач. А отдельно составляющие умения по решению задач с помощью признаков равенства треугольников вообще никак не отрабатывается.[2,77]

    7. Изучение тем: сумма углов треугольника, и соотношений между сторонами и углами треугольника целесообразно вводить с конкретных

задач. Например: На рис 3 BD || AC. Найдите сумму углов треугольника ABC. 
 
 

     8.  Как  выше было сказано на изучение темы «Площади параллелограмма, треугольника и трапеции» отводится 6часов, из них на рассмотрения площади треугольника – 2урока. Перед выводом формулы площади параллелограмма полезно провести подготовительную работу, с тем чтобы напомнить основные свойства площадей и признаки равенства прямоугольных треугольников. [2,22]

     9. По организации повторения планиметрии в IX или XI классах при подготовке к ЕГЭ. Учащиеся систематизируют знания и умения в три этапа. На первом этапе рассматриваются учебный материал, отражающий свойства одной из  основных фигур планиметрии- треугольника: повторяются теоремы о свойствах и признаках различных треугольников, в результате чего систематизируется умения учащихся проводить доказательные рассуждения. На втором этапе многоугольники, и на третий этап относят свойства окружности.[14,19]  

    Вывод: Главная задача педагога заключается в формировании умений и навыков при решении задач методом треугольника в курсе геометрии  основной школы - так как именно он закладывает основу для изучения многоугольников и окружностей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.2. Опыт учителя 

     Автор работы использовал опыт  учителя математики Сиверенко Елены

Васильевны.

Рассмотрим  фрагмент урока по теме «Теорема косинуса».

Тип урока: изучение нового материла.

Цели: Повторить теоретический материал необходимый для изучения нового материала; Сформировать и доказать теорему косинусов; Отработать запись в виде равенства теоремы косинусов применительно к данному треугольнику.

…Иногда теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай, теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то соs А = соs 90° = 0 и по формуле получаем , то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

IV Первичное осмысление и применение изученного материала.

Задачи  по готовым чертежам. При решении  задач учащиеся каждый раз проговаривают  формулировку теоремы.

Задача 1 

Ответ: . 

Задача 2

Ответ: 4. 

Задача 3 

Ответ: 60°.

Ещё раз  повторить, как звучит теорема косинусов (Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними).

V. Тест.

I  вариант( второй вариант подобный первому)

1. Закончи предложение. Квадрат любой стороны треугольника равен …

а) сумме  квадратов двух других сторон, минус  произведение этих сторон на косинус  угла между ними;

б) сумме  квадратов двух других его сторон;

в) сумме  квадратов двух других сторон без  удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. Заполни пропуски. В треугольнике KHT .

а) KH;

б) HT;

в) TK.

3. В треугольнике CDO известны стороны CD и CO. Величину, какого угла необходимо знать, чтобы найти длину стороны DO?

а) C;

б) D;

в) O.

4. Дан треугольник DEF. Выберите верное равенство:

а) ;

б) ;

в) .

5. В треугольнике CKE найдите сторону CE, если CK = 6, KE = 8, ? K = 60°.

а) 52;

б) 4;

в) .

Анализ: Учитель на протяжении всего урока использует треугольник для формирования навыков применения «теоремы Косинуса». Использования теста позволят учащимся самостоятельно работать и делать умозаключения. 
 

Фрагмент  урока по теме «Теорема Пифагора»

Тип урока: Изучение нового материала

Цели: сформировать представление о новом свойстве прямоугольных треугольников, известном как теорема Пифагора; доказать теорему Пифагора; выработать первичные навыки применения её для решения треугольников; показать возможность вариативных доказательств теоремы.

Оборудование: мультимедийный проектор.

     В ходе урока учитель использовал  решении старинных задач:

1. Задача индийского математика XII века Бхаскары

  «На берегу  реки рос тополь  одинокий.  
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.  
Бедный тополь упал. И угол прямой  
С теченьем реки его ствол составлял.  
Запомни теперь, что в этом месте река  
В четыре лишь фута была широка  
Верхушка склонилась у края реки.  
Осталось три фута всего от ствола,  
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:  
У тополя как велика высота?»

2. Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется  водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает  над водой на 1 чи. Если потянуть камыш  к берегу, то он как  раз коснётся его. Спрашивается: каковаглубина воды и какова длина камыша?».

3. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к стене  лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете  лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать». 
 

Анализ: решение старинных задач позволяют учащимся понять историю развития человечества и определить роль треугольника как основного метода решения задач. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.3 Опытно-экспериментальная работа 

     Опытно-экспериментальная работа  была проведена автором в МОУ Новолыбаевская СОШ Заводоуковского района Тюменской области в 8 классах с целью: выявить возможности использования метода треугольника при обучении решению геометрических задач; разработать и апробировать систему заданий, решаемые методом треугольника, способствующих  формированию умений и навыков решения задач   на уроках геометрии.

     Опытно-экспериментальная работа проведена в 3 этапа:

1. Констатирующий 

     Цель: провести срезовую самостоятельную работу для выявления умений и навыков у учащихся при решении задач методом треугольника. Оценить затруднения учащихся и типичные ошибки.

                           Срезовая работа для учащихся 8-ых классов.                               

1. Что такое треугольник?
2. Какой треугольник называется равнобедренным?
3. Что такое высота, биссектриса, медиана треугольника?
4. Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.
5. Сформулируй теорему Пифагора.
6. Диагональ телевизионного экрана 50 см, длина его сторон относится как 3:4. Чему равны длины сторон экрана?
7. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4м над землей. Найдите длину желоба.
8. Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см одна из диагоналей быть равной 2 см? Докажите.
9. Можно ли построить треугольник со сторонами 1см , 2см и 3см?
10. Радиус окружности равен 5см. Из точки, отстоящей от центра на 13м, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных угол между ними.
11. Диагонали трапеции делят углы, прилежащие к большему основанию, пополам. Периметр трапеции равен 36м, а средняя линия 11,7м. Найдите стороны трапеции.
12.   Может ли синус угла быть равным ¾ см?
13. Четырехугольник ABCD- параллелограмм с периметром 10см. Найдите BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8см.
14. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10.
15. В прямоугольном треугольнике АВС даны гипотенуза а и острый угол β. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

              Результаты срезовой работы 8 «а» -27человек и 8 «б »-20человек.

     Проанализировав работы учащихся  можно с утверждением сказать  теоретический материал, сформирован  не на должном уровне. Типичные  ошибки были выделены в неправильном  и узком использовании теоремы  Пифагора. Задание на доказательство  вызвало у учащихся не понимание, но ведь именно использование треугольника позволяет не только решать, но и устанавливать цепочки равных треугольников широко использованный прием доказательства различных свойств геометрический фигур. Отсюда специальный метод доказательства теорем и решения задач,- метод треугольников.

     Среди учащихся школы был выделен  экспериментальный 8«а» (т.к. в классе сформирована атмосфера положительного восприятия материала) и контрольный класс 8 «б».

2. Формирующий

     Цель: в содержание уроков геометрии включать задания, решаемые методом треугольника: на использование  теоремы Пифагора, теоремы синуса и косинуса, соотношение между сторонами треугольника, т.к. это должно заложить основу формированию умений и навыков решения других видов геометрических задач на вычисление.  

Фрагменты конспектов уроков, основной целью которых является формирование у учащихся знаний и умений при решении задач методом треугольника.

№1

Тема: Повторение Теоремы Пифагора (2 часа).

Цель: сформулировать и вспомнить доказательство теоремы Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора; Показать их историческое и практическое значение; Способствовать формированию у учащихся знаний и умений при решении геометрических задач методом треугольника.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, выполненная при помощи программы PowerPoint, листочки, Exel-приложение.(приложение 5)

     Теорема Пифагора имеет большое практическое применение при решении задач. Она позволяет найти гипотенузу, зная катеты прямоугольного треугольника (слайд 8).Заполните пустые ячейки  таблицы, произведя вычисления без помощи калькулятора  
 
 
 

1. Задание. Решение задач по готовым чертежам – самостоятельная работа в тетрадях по рядам. Каждый ряд имеет свой рисунок (чертежи заранее выполнены на доске): вычислить длину неизвестного отрезка Х по данным рисунка. Затем, один отвечающий от каждого ряда комментирует вслух свое решение.