Использование метода треугольника при решении задач как основа формирования знаний и умений учащихся на уроках геометрии в основной школ

Задача7: Прямая АВ проходит через точки А и В, лежащие в двух взаимно перпендикулярных плоскостях α и β. Перпендикуляры, опущенные из точек А и В на линию пересечения плоскостей α β, соответственно равны 2 и 3 см. Найдите отрезок АВ и его проекции на данные плоскости, если расстояние между основаниями перпендикуляров равно α.

Задача8: Диагональ правильной четырехугольной призмы равна κ и наклонена к боковой грани под углом α. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Задача9: В прямом параллелепипеде стороны основания равны a и 2а, угол между ними 60⁰. Найдите его диагонали, зная, что меньшая из них составляет с основанием угол 45⁰.

Задача10: Основанием пирамиды является  прямоугольник со сторонами 3 и 4м. Каждое ребро пирамиды равно 13м. Найдите высоту пирамиды и площадь боковой поверхности.

     ВЫВОД: «Тригон» и его методы широко вошли в курс геометрии и крепко основались. Нет ни одной фигуры подобной треугольнику, у которого существует столь разнообразные методы нахождения неизвестной величины и элементов.   

      В последующем учащиеся знакомятся с понятиями: цилиндр, конус, шар, объем фигур, поверхность, где опять же применяется метод треугольника, и если у учащегося сложилась плохая система знаний о треугольнике его элементов и свойств, то «дверь» в планиметрию и стереометрию ему будет закрыта. Как сказал один мудрец: «Пусть геометрия сложна, ее до края не познать, откроет двери всем она в них только надо постучать». Без фундаментальных понятий и основных свойств решение задач будет проходить на уровне пустых умозаключений.    

               [10, 41]  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава II. Использования метода треугольника при решении геометрических задач как основа формирования знаний и умений  учащихся на уроках геометрии в основной школе 

2.1 Методические рекомендации по использованию метода треугольника в основной школе 

     Признаки равенства треугольников  занимают центральное место в  курсе геометрии VII класса. Велика их роль и в дальнейшем изучении геометрии. Впервые при доказательстве этих теорем применяются многошаговые дедуктивные обоснования, которые  служат развитию логического мышления учащихся. К тому же при изучении темы закладывается фундамент важнейшего метода доказательства – применения признаков равенства треугольников. Доказательства большей части теорем курса строятся по схеме: поиск равных треугольников -доказательство их равенства- следствия, вытекающие из равенства треугольников.  Поэтому эти признаки должны усваиваться учащимся именно как метод в процессе решения задач. Следует иметь в виду, что формирование умений учащихся использовать признаки равенства треугольников как аппарат геометрических доказательств будет продолжаться и при изучении следующих разделов курса.  На этом этапе обучения основной целью являются формирование умений решать такие задачи, где в явном виде указано то равенство треугольников, которое нужно доказать. Большое внимание полезно уделять готовым чертежам, применяя таблицы и ТСО. В дальнейшем при решении задач нужно нацеливать учащихся на самостоятельное выполнение рисунка по условию задачи.[1, 789]

     К моменту изучения данной  темы учащимися накоплен некоторый  объем знаний о свойствах отрезков и углов, это позволит им выделить на основании данных условий недостающие равные элементы. Кроме того, учащиеся уже должны уметь проводить самые простые доказательные рассуждения в ходе решения задач, хотя у них еще нет достаточного опыта поиска решения задачи. Поэтому необходимо обращать внимание на наличие таких условий в формулировке задачи, которые позволяют применять то или иное свойство фигуры или ту или иную теорему. Приведенное ниже планирование учебного материала и методические рекомендации позволяют учителю лучше сориентироваться в материале главы II «Треугольники». [15,12]  

                          Примерное тематическое планирование

Атанасян Л.С.: 2ч в неделю.

     На основе данного планирования можно сделать небольшое заключение,   т. к. у многих авторов выпускающих учебники геометрии оно примерно одинаково, хотя и имеют разные подходы.  Количество часов отведенных для изучения темы «Треугольник» определено не только для понятий, но и для формирования умений и навыков по применению их при решении геометрических задач.[22]. Отметим также, что каждый признак равенства треугольника должен быть вначале закреплен сам по себе и лишь, потом встроен в систему признаков с помощью специальной системы упражнений. Если сравнить системы упражнений по алгебре и по геометрии, то можно увидеть, что в курсе алгебры каждое правило закрепляется большим количеством однотипных примеров (от 20 до 100), в курсе геометрии на закрепление первого признака равенства треугольника в учебных пособиях приводится 4-5 задач, с помощью признаков равенства треугольников вообще не отрабатывается. [9] 

     1.При изучении определения треугольника обратить внимание следует учащихся на то, что три точки, являющиеся вершинами треугольника, не лежат на одной прямой. Это условие можно продемонстрировать на рисунке:

 
 

      На этом этапе впервые в  учебнике используется понятие периметра треугольника, поэтому необходимо напомнить учащимся, что периметр треугольника АВС равен сумме длин всех его сторон, т.е. P_АВС= АВ+ВС+АС.

     2. В учебнике при объяснении понятия равенства треугольников и в доказательстве первого признака равенства треугольников авторы ссылаются на определения равенства отрезков и равенство углов. Поэтому перед началом изучения понятия равенства треугольников целесообразно повторить с учащимися методы сравнения отрезков и углов, при этом учащиеся вспомнят и метод наложения.

     Понятие равенства треугольников в учебнике, как и понятия равенства отрезков и углов, вводится на основе наглядного представления путем наложения: при совмещении двух равных треугольников попарно совмещаются их равные углы и стороны, т.е. у равных треугольников соответствующие элементы равны: «в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежит равные углы, и наоборот, против соответственно равных углов лежат равные стороны ».

     Полезно напомнить учащимся, как  на чертежах обозначаются равные стороны и углы треугольников. На рис. в равных треугольниках АВС и А₁В₁С₁ отмечены равные стороны: АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁, АС=А₁С₁. Отсюда  

следует равенство углов: <А=<А_1, <В=<В₁, <С=<С₁.

    
 
 

На рис.1 в равных треугольниках АВС и  А₁В₁С₁ отмечены равные углы: <А=<А_1, <В=<В₁, <С=<С₁. Отсюда следует равенство сторон: АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁, АС=А₁С₁.

 

                                                                                                                                                                                                
 

Для закрепления  определения равенства треугольников  полезно предложить учащимся задачу, в которой объединяются понятия  равных треугольников и определение  периметра.

     3. Так как доказательство первого признака равенства треугольников трудное, то его лучше полностью провести самому учителю. Включение же учащихся во фронтальную работу при первичном разборе теоремы может привести не только к значительной потере времени, но и тому, что от учащихся ускользнет основная идея доказательства, логическая последовательность рассуждений.

     Из формулировки теоремы: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны» выделяются условие и заключение. После чего следует выполнить рабочий чертеж (рис2)  и сделать краткую запись. 

Дано:

<ВАС=<В₁А₁С₁,

АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁.

Доказать:

∆АВС=∆А₁В₁С₁.

Доказательство.

1) Так  как <ВАС=<В₁А₁С₁,то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи  А₁В₁ и А₁С₁.

2) Поскольку  АВ=А₁В₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, в частности совместятся точки В и В₁.

3) Поскольку  АС=А₁С₁ , то сторона АС совместится со стороной А₁С₁, в частности совместятся точки С и С₁.

     Следовательно, совместятся стороны  ВС и В₁С₁.

     После совпадения всех трех  вершин делается вывод о равенстве  треугольников. 

    При решении задач на основании  равенства треугольников делают вывод о равенстве его элементов: по трем данным равным элементам треугольника устанавливаются равенство оставшихся соответственных элементов. Поэтому после доказательства теоремы полезно обратить внимание учащихся на следующий факт, если доказано равенство треугольников АВС и А₁В₁С₁ по первому признаку равенства треугольников.

4) Учить  применять первый признак равенства треугольников при решении задач желательно начать с отработки умения выделять три соответственно равных элемента данных треугольников по готовым чертежам. Для этого можно использовать плакаты. (приложение1). 

     4. При обработке определений медианы, биссектрисы и высоты треугольника основное внимание необходимо уделять не столько запоминанию учащимися формулировок определений, сколько их пониманию, целесообразнее иллюстрировать на чертеже. (Приложение 2).

После чего учащимся без доказательства сообщают их важные свойства, а именно, медианы (биссектрисы и высоты) треугольника пересекаются в одной точке.

     5. Так же как и при изучении первого признака равенства треугольников, доказательство второго признака равенства треугольников целесообразно провести самому учителю. Однако если уровень подготовки и темп работы класса позволяют, доказательство второго признака можно провести и в форме беседы, фактически повторяя доказательство первого признака равенства треугольников. При этом следует явно казать имеющуюся аналогию.

     Начать отрабатывать навык применения  второго признака полезно с  выделения по готовым чертежам  трех соответственно равных элементов  равных треугольников. Для этого можно использовать плакаты, например приложение 3.

    6. При доказательстве третьего признака равенства треугольников возникают три варианта расположения треугольников. Поэтому рекомендуется доказательство одного из возможных вариантов провести полностью учителю, а доказательство двух других провести в форме фронтальной работы.

     Начать обучение применять третий  признак  необходимо с обучения  школьников умению выделять три  соответственно равные элементы  равных треугольников по готовым  чертежам, например приложение 4.