Федеральное агентство по образованию

ГОУ СПУ  Тюменский педагогический колледж  №1

 ПЦК  математики и информатики 
 
 
 
 
 

Использование метода треугольника при решении  задач как основа формирования знаний и умений учащихся на уроках геометрии в основной школе. 
 
 
 
 
 

    

                                                                Выпускная квалификационная работа

                                                               по специальности 050302

                  математика

                                 студентки 416 рм. гр.

                                 школьного отделения

                                                               Измайловой Алены Сергеевны

                                     Научный руководитель:

                                            Митителу Татьяна Ивановна

                                               Отметка___________________ 

Тюмень 2009.

                                                              Содержание 

Введение                                                                                                             3 

Глава I. Треугольник  и основные методы решения задач при помощи треугольника.                                                                                                       5

1.1. Исторические сведения  треугольника и его элементы.                         5

1.2 Виды треугольников и их свойства.                                                            7

1.3 Основные методы решения задач при помощи треугольника.             11 

Глава II. Использования метода треугольника при решении геометрических задач как основа формирования знаний и умений  учащихся на уроках геометрии в основной школе.                                       18

2.1 Методические рекомендации по использованию метода треугольника в основной школе.                                                                                                18

2.2 Опыт учителя.                                                                                              26

2.3 Опытно-экспериментальная работа.                                                         31 

Заключение                                                                                                        44

Список  литературы                                                                                            45

Приложение                                                                                                       48 
 
 
 
 
 
 
 

                                            Введение

 

 «Высшее проявление духа - это разум. Высшее

проявление  разума – это геометрия. Клетка

  геометрии – треугольник.  Он так же неисчерпаем,

как и Вселенная….

А.А. Спирит 

     Простейший из многоугольников - треугольник – играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трех китах»- трех признаков равенства треугольников. Лишь на рубеже ХIX-XX вв. математики научись стоить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятие геометрического преобразования.

     За несколько тысячелетий геометрии столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

     В настоящее время на уроках геометрии используют три основных метода решения задач при помощи треугольника: метод подобия, метод площадей и метод треугольника. Но все-таки главным из них является метод треугольника, так как именно он первоначально изучается, а значит и закладывает основу формирования умения решать задачи. Потребность в решении треугольников, нахождение неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам, раньше всего возникла в астрономии. Все выше сказанное подтверждает актуальность выбранной темы.

     Объектом исследования является процесс обучения геометрии.

  Предмет: использование метода треугольника при решении  геометрических задач.

    Цель выпускной квалификационной работы заключается в том, чтобы оценить возможности использования метода треугольника при обучении решению задач.

Задачи:

1. Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования.
2. Изучить исторически сложившееся мнение о треугольнике, раскрыть основные понятия темы «Треугольник».
3. Выявить возможности использования метода треугольника при обучении решению геометрических задач.
4. Разработать и апробировать систему заданий, решаемые методом треугольника, способствующих  формированию умений и навыков решения задач   на уроках геометрии.

Гипотеза: Если в содержание уроков геометрии включать задания, решаемые методом треугольника: на использование теоремы Пифагора, теоремы синуса и косинуса, соотношение между сторонами треугольника, то это должно заложить основу формированию умений и навыков решения других видов геометрических задач на вычисление.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава I. Треугольник  и основные методы решения задач при помощи треугольника 

1. Исторические  сведения  треугольника и его  элементы

 

     Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал ещё в глубокой древности, т.к. эта фигура всегда имела широкое применение в практичной жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство местности треугольников для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и др. древних документах. В Греции учении о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до н.э. Фалесом, в школах Пифагора и др.; оно было затем полностью изложено в первой книге «Начал » Евклида. Среди «определений» которыми начинается эта книга, имеются и следующие: «Из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же- имеющий только две равные стороны, разносторонний- имеющий три неравные стороны.»[ 6 ]                            

     Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами.

Вершины треугольника: А, В, С.

Стороны треугольника: АВ, ВС, АС.

Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВи АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С. (Сумма углов треугольника равна .

     Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис.2).

     Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне треугольника (рис.3)

     Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, поведенный из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника(рис.4).

                                                                                                                    

    

    

Средняя линия треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. 

ВЫВОД: Если обратится к истории, то в самом первом учебнике по геометрии - «Началах» Евклида можно найти следующее определение: «Совмещающиеся друг с другом равны между собой…». Прошло больше двух тысяч лет, а определение не изменилось....

      Треугольник имеет большое практическое значение в жизни человека. Его основные элементы тесно взаимосвязаны друг с другом. 
 
 
 
 

1.2 Виды треугольников и их свойства 

     Треугольники подразделяют на виды по сравнительной длине их сторон или по величине их углов.

В зависимости  от длины  сторон различают:

     1.Разносторонние треугольники, когда все стороны различной длины.

     2.Равносторонние( правильные) треугольники, у которого все стороны равны между собой.

     Свойства:

- Все  углы равны

- Каждая  из трех высот является также  биссектрисой и медианой.

- Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает  с центром окружности, вписанной  в него.

      3.Равнобедренные треугольники, у которых две стороны равны. Эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника (рис.5).

     Свойства:

- В равнобедренном  треугольнике углы при основании  равны.

- Высота, проведенная из вершины, является также биссектрисой и медианой. 

В зависимости  от величины углов различаются:

     1.Тупоугольные треугольники, когда среди углов есть тупой (рис.6).

 
 

          
 

   2.Остроугольные треугольники, когда все углы острые (рис.7). 
 
 
 
 

     3.Прямоугольные треугольники, когда среди углов есть прямой.(рис.8) 

     Стороны, заключающие прямой угол прямоугольного треугольника, называют катетами прямоугольного треугольника.

     Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.[ 3] 

      Некоторые свойства прямоугольных треугольников.

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы.
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен .[1,72]

 

     Центральное место в геометрии  треугольника занимают свойства  так называемых «точек и линий»  С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.