Использование метода треугольника при решении задач как основа формирования знаний и умений учащихся на уроках геометрии в основной школ

        Следствия:

• Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
• Медианы треугольника пересекаются в одной токе.
• Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. [1,169]

     Первый признак  равенства треугольников:

     Теорема (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

     Второй признак равенства треугольников:

     Теорема (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

     Третий признак  равенства треугольников:

     Теорема (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. [18,32] 

Признаки  равенства прямоугольных  треугольников:

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и одному углу другого, то такие треугольники равны.
4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны  гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.[ 1,73]                                                            

 
 

     В повседневной жизни встречаются  предметы одинаковой  формы, но  разных размеров, например футбольный  и теннисный мячи, круглая тарелка  и большое круглое блюдо. В  геометрии фигуры одинаковой  формы принято называть подобными.  Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга. Изложение темы «Подобные многоугольники» начинается в учебнике с изложения признаков подобия   простейшей геометрической фигуры-треугольника. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (обозначение ). [,Колягин Ю.М., 228] Ниже в работе автора  рассмотрены признаки подобия треугольника.    

ВЫВОД: У каждого вида треугольника есть свои определенные свойства. Зная лишь, к какому виду принадлежит данная фигура, человеку не составит труда  делать соответствующие умозаключения и использовать его в практической  жизни.  
 
 
 
 
 
 

         1.3Основные методы решения задач при помощи треугольника 

     В настоящее время на уроках  геометрии используют три основных метода решения задач при помощи треугольника. Потребность в решении треугольников (нахождение неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам) раньше всего возникла в астрономии: и в течении долгого времени тригонометрия развивалась изучаясь как один из отделов астрономии. Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.  

    1. Метод подобия

     Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строят треугольник, подобному искомому, а затем, используя остальные данные, строят искомый треугольник. Свойства подобных треугольников используют для проведения различных измерительных работ на местности: определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки. Очень часто метод подобия оказывается удобным при доказательстве теорем или при решении задач, в которых речь идет об отношениях отрезков.[1,143]  

      Основная теорема о подобных треугольниках: Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют с его сторонами подобные между собой треугольники. [25,163]

     В соответствии с тремя признаками равенства треугольников можно сформулировать и три признака подобия треугольников. 

     Первый признак подобия треугольников.

     Теорема: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.  

  
 
 
 

Второй  признак подобия  треугольников.

     Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 
 
 
 
 
 

Третий  признак подобия  треугольников.

     Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. 
 
 
 
 

                                                                                                                                 [20,164] 

Подобные  между собой треугольники обладают одним очень важным свойством, которое является характерным для любых подобных фигур.

     Теорема: Отношение любых соответствующих линейных элементов двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. [26,165]        

 

    2. Метод площадей

     Этот метод оказывается близким «родственником» метода подобия. Во всяком случае, во многих теоремах и задачах они с успехом заменяют друг друга.  [ 26,265]

     Площадь треугольника:

• Площадь треугольника равна половине произведения  его стороны на высоту, проведенную к этой стороне, т.е.   
• Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла, заключенного между ними, т.е.  
• Если треугольник равносторонний. То площадь его определяется формулой    ,  где а- сторона треугольника.
• Формула Герона. Это формула, выражающая площадь треугольника через три его стороны а, b и c: 

                             

                            

             где     - полупериметр. 

     3. Метод треугольника

      Как известно, с давних времен, существует целая наука тригонометрия ("тригон"- по-гречески означает "треугольник"). С ее помощью можно было, измерив одну сторону и два угла треугольника, найти длины всех его сторон. Но еще ранее с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. [7,136]

     Рассмотрим основные составляющие данного метода: 

Используя свойства площадей многоугольников, можно  установить замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Такая теорема называется теоремой Пифагора и является важнейшей теоремой геометрии.

     - Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

                                             

     - Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

     Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

                                               

     Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

                                              

      Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.                                    

                                                                                             [18,107] 

    - О соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема : в треугольнике против большей стороны лежит больший угол .

Следствие: гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета.

Теорема (неравенство треугольника): в каждом треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон.

Теорема о сумме углов  треугольника: сумма углов треугольника равна 180°.

Теорема Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают и на другой его стороне.

     Следствия:

•  В треугольнике может быть только один неострый (прямой или тупой угол).

•  Из данной точки на данную прямую можно опустить только один перпендикуляр.

•  Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних , не смежных с ним углов.

•  Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. 

-Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

                       ,  где R-радиус описанной окружности

- Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус двоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.       

[1,242]

     Для более детального рассмотрения метода треугольника как основного способа нахождения того или иного элемента, целесообразно рассмотреть типовые задачи, которые вводятся учебной программой на протяжении всего курса геометрии 7-11 класс,  
 

Задача1: Четырехугольник ABCD- параллелограмм с периметром 10см. Найдите BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8см.

Задача2: Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

Задача3: Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10.

Задача4: Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием a и боковой стороной k.

Задача5: Дана трапеция с острыми углами при основании и β. Меньшее ее основание равно 4м, а высота равна 3м. Найдите боковые стороны, большее основание и диагонали трапеции.

Задача6: В прямоугольник со сторонами 3 и 4м вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как 1: 3. Найдите площадь этого прямоугольника.