Обучение доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики 5-6 классов

             Следующий этап должен характеризоваться умением школьников выполнять цепочки дедуктивных умозаключений и применять некоторые эвристики. На этом этапе следует формировать действия преобразования требования задачи (заключения теоремы) в равносильное ему или в такое требование, из которого данное вытекает как следствие, а также действия выведения следствий, составления вспомогательных задач и т. д. Эти  действия составляют основу применения многих эвристических приемов и методов научного познания (аналогии, обобщения и т. д.) в различных ситуациях. К тому же некоторые логические действия, например выведение следствий, имеют эвристический характер и используются  в поиске способа доказательства. Другими словами, формирование логических действий включает знакомство учащихся с их эвристичностью и использованием в осуществлении поиска решения задачи. Это, в частности, и является проявлением единства логического и эвристического в доказательствах, осуществляемых учащимися.

          Пример. Если число делится на 2, то оно четное. 4 делится на 2. Какой вывод можно сделать?

            3) Этап построения умозаключений. Обучение умениям осуществлять цепочки логических шагов в доказательстве и применять эвристические приемы составляет содержание третьего этапа в обучении школьников доказательству.                                                                                                                                        

      Для лучшего осознания и запоминания  учащимися структуры доказательства рекомендуется записывать в тетради  краткое изложение доказательства в виде таблицы из двух столбцов: в левом записывать цепочку утверждений, из которых слагается доказательство, а в правом – обоснование каждого из утверждений. Упражнения такого характера выполняют и воспитательную функцию, поскольку учат школьников рассуждать аргументировано, доказательно.

          Пример 1. Докажите, что если , то

      Условие: . Заключение:

      Предложение:                                     Обоснование:

      1)                                             1) Условие

      2)                                            2) Почему?

          Пример 2. Если , то a=bc. Доказать.

      Условие: Заключение: a=bc

      Предложение:                                     Обоснование:

      1)                                             1) Условие

      2) a=bc                                                2) Почему?

          Пример 3. Докажите, что а-а=0

      Условие: а является целым числом

      Заключение: а-а=0

      Предложение:                                     Обоснование:

      1) Z-множеству целых чисел       1) Условие

      2) а+0=а                                               2) В множестве целых чисел  

                                                                     существует

                                                                      элемент «0», такой что

                                                                      а+0=0+а=а                                                            

      3) 0=а-а                                               3) Почему?

      4) а-а=0                            4) Симметричность отношения

                                                                      равенства

      Обучение  анализу доказательства: выделению  логических шагов, поиску и устранению логических пробелов, развертыванию дедуктивных умозаключений в логическую схему, выделению идеи доказательства и его воспроизведению, применению эвристических приемов - составляет содержание третьего этапа обучения школьников доказательству. Содержание этого уровня, особенно поиск и устранение логических пробелов в тексте доказательства теоремы, выделение идеи доказательства готовит школьников к новому этапу - самостоятельному поиску и осуществлению доказательства. Немаловажное значение в этом принадлежит и вооружению школьников эвристическими приемами, начало чему положено уже на более раннем уровне усвоения доказательства.

      Формированию  потребности в доказательствах, интереса к ним способствует использование «визуальных» доказательств. Особенно они эффективны в 5-6 классах, так как в мышлении школьника, возраст которого соответствует этому этапу обучения, преобладает наглядно-образная составляющая. Приведем примеры «визуальных» доказательств.

      Пример 4. Докажите, что  (n — натуральное число).

      Обосновать  утверждение можно так: начертить  квадрат, разделить его стороны на п (например, шесть) равных частей (квадрат разобьется на п² единичных квадратов), «срезать» в квадрате верхнюю полосу, т. е. прямоугольник со сторонами 1 и п, «приставить» ее к боковой стороне образовавшегося прямоугольника со сторонами п и п— 1, так чтобы данный квадрат оказался преобразованным в фигуру, состоящую из прямоугольника со сторонами п—1, п+1 и единичного квадрата.

      Пример 5. Докажите, что 

      Наглядное доказательство утверждения заключается  в разбиении квадрата со стороной а+b на два квадрата со сторонами соответственно а и b и два прямоугольника, стороны которых равны а и b.

          4) Творческий этап. Четвертый этап заключается в открытии нового факта (для учащегося) и осуществлении доказательства этого факта.

           Огромная роль в самостоятельном открытии нового факта принадлежит умению использовать методы научного познания: аналогию, обобщение, конкретизацию, анализ и т. д.  Умение использовать методы научного познания и умение самостоятельно выполнять доказательство можно считать содержанием четвертого типа работы с доказательством. На этом этапе осуществляются доказательства по аналогии, с использованием обобщения и т. д.

          Пример. Сравните дроби  и , и . Сформулируйте в буквенном виде полученную закономерность.

      Ответ. < ,  < , т. е. <

          Такая специальная работа необходима для формирования умения проводить дедуктивные умозаключения, для воспитания потребности в доказательстве утверждений, для привития взгляда на то, что справедливость утверждений выясняется рассуждением и что из одних предложений, пользуясь исключительно одними рассуждениями, можно вывести другие. Учащиеся, с которыми будет проводиться  эта работа, в 7 классе значительно свободнее будут ориентироваться  в доказательствах теорем, испытывать меньше трудностей в изучении курсов алгебры и геометрии.

      Мы  выделили этапы пропедевтики, типы задач. У нас возник вопрос: как же составить задачу на доказательство?

      Как уже говорилось, задачи первого вида - это задачи, требующие ответа да/нет. Мы составляем умозаключение и просим учеников подтвердить или опровергнуть его.

      Пример 1. Если число делится на 2, то оно четное. 33 не делится на 2. Значит 33 – нечетное число.

      Пример 2. Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10. 294 476 740 оканчивается на 0, значит оно делится на 10.

      Задачи  второго вида можно легко составить, переделав задачи первого вида:

      Пример 1. Если число делится на 2, то оно четное. 33 не делится на 2. Какой вывод можно сделать?

      Пример 2. Всякое составное число можно  представить в виде произведения простых чисел. 90=2·3·15. Что можно  сказать о числе 90?

      Третий  вид задач – задачи на построение умозаключений. В задачах на доказательство основными понятиями являются условие и заключение. Чаще всего, узнав доказательство той или иной теоремы, учащиеся решают задачи на нахождение, в которых теорема находит свое непосредственное применение.

      Составить задачу на доказательство можно из имеющейся, переформулировав её. Но сначала эту задачу нужно решить. Это необходимо для того, что бы в дальнейшем проверить, не повлияла ли перефразировка на ход решения и результат задачи.

      Пример 1. Найдите значение выражения: 7585:37+95

      Чтобы это была задача на доказательство, ее нужно переформулировать так:

      Докажите, что 7585:37+95 не равно 87

      Как и в первом случае, ученики должны вычислить выражение, но во второй задаче они еще должны ответ сравнить с заключением. Посредством таких упражнений ребята будут осваивать структуру доказательства.

      Пример 2. Докажите, что 15 лежит между 20 и 30

      Пример 3. Докажите, что 375+197<600

      Пример 4. Докажите, что 5·(37·2)=5·(2·37)=(5·2)·37

      Пример 5. Докажите, что угол 54º острый

      Пример 6. Докажите, что периметр прямоугольника вычисляется по формуле Р=2∙(а+b), где а – длина, b – ширина.

      И, наконец, четвертый вид задач  – творческие задачи. Здесь просим ребят решить и сделать вывод  в буквенном виде или записать правило.

      Пример 1. Сравните выражения 280+361 и 361+280. Сформулируйте в буквенном виде полученную закономерность.

      Пример 2. Выполните действия 12+0, 0+425, 1244+0. Какой  вывод вы можете сделать? Сформулируйте  его в буквенном виде.

      Пример 3. Выполните действия 12·1, 14·1, 1·128, 1·1 и сделайте вывод. Запишите его в символичной форме.

      Пример 4. Докажите, что числа 85, 100, 15 065 делятся на 5 и сформулируйте признак делимости на 5

      Пример 6. Выполните действия и сформулируйте  признак делимости на 2: 12:2, 30:2, 34:2, 78:2, 66:2, 67:2, 11:2, 983:2, 555:2, 909:2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Выводы  по главе 2

         Вторая глава посвящена организации деятельности учащихся 5-6 классов по обучению доказательствам.

         В первом параграфе «Основные  виды задач на доказательство, используемые в 5-6 классах» мы выделили 4 вида задач:

        1. Задачи, требующие ответа да/нет.

        2. Задачи, требующие вывода заключения.

        3. Задачи построения умозаключений.

        4. Творческие задачи, требующие открытия  нового факта и его доказательства.

          Второй параграф «Структура и этапы организации деятельности учащихся по обучению доказательствам» посвящен учебной деятельности, этапам обучения доказательствам. Проанализировав учебники математики 5-6 классов в соответствии с видами задач выделили следующие 4 этапа организации деятельности по обучению математическим доказательствам учеников 5-6 классов:

           1. Подготовительный этап

2. Этап построения выводов

      3. Этап построения умозаключений

           4. Творческий этап

      Каждому этапу мы составили задачи, из уже  имеющихся в школьных учебниках. Мы их переформулировали.

         
 
 
 
 
 
 

      Заключение.

        Основной целью математического  образования должно быть развитие  умения математически, а значит, логически и осознанно исследовать  явления реального мира. Реализации  этой цели может и должно  способствовать умения строить дедуктивные умозаключения при решении на уроках математики различного рода математических задач на доказательство. Итак, в работе  исследована и доказана необходимость использования дедуктивных умозаключений при решении задач уже в 5-6 классах. Именно разработав группу заданий, мы сможем улучшить математическую подготовку учащихся, реализуя на практике поставленную нами цель. Организация различных форм работы с задачами поможет нам развивать у детей логическое мышление, с помощью умения строить дедуктивные умозаключения, и математические способности. А так же поможет нам расширить детский кругозор и разрушить стереотипы у детей при решении различного рода задач. Исходя из выше сказанного,  можно заключить, что действительно, развивать умение строить дедуктивные умозаключения, учить рассуждать и доказывать на уроках математики, возможно при условии использования на уроках системы всевозможных задач, проводя из урока в урок аналитико-синтетическую работу с каждым из заданий. Использование пропедевтических упражнений в органической связи с программным материалом содействует повышению успеваемости учащихся.