Обучение доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики 5-6 классов

        Одна из отличительных особенностей верификации результатов математического доказательства по сравнению с приемами оправдания доказательств в других областях знания — это отсутствие возможности непосредственной эмпирической проверки доказательств теорем математики. Теоремы математики доказываются чисто дедуктивно, без помощи разного рода эмпирических вспомогательных приемов. Правда, в конечном счете истинность математических теорий обнаруживается на основе общественной практики человечества, путем выяснения вопроса об эффективности приложений математических методов в естествознании.

        Другая характерная черта математического доказательства состоит в том, что оно носит наиболее абстрактный характер по сравнению с методами доказательства в других научных дисциплинах. Особо важное значение в теории математического доказательства приобретает поэтому выяснение и точное установление логических средств, применяемых в процессе доказательства. Возникает проблема логической систематизации математики, без решения которой само дальнейшее развитие этой науки ставится под угрозу.

            Развитие мышления учащихся при решении математических задач.

          1) Мыслительные умения, восприятие и память при решении задач. Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической науки.

           2) Обучение мышлению. Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.

      Собственно, одно из основных назначений задач  и упражнений и заключается в  том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.

           Математические задачи должны прежде всего будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

      Правильно организованное обучение решению задач  приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих  случаях на аксиомы, введенные определения  и ранее доказанные теоремы. С  целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение ^ задач в два столбца: слева - утверждения, выкладки, вычисления, справа - аргументы, т. е. предложения, подтверждающие правильность высказанных утверждений, выполняемых выкладок и вычислений.

          3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, решение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов. Рассмотрим некоторые из них.

          а) Задачи и упражнения, включающие элементы исследования. Простейшие исследования при решении задач следует предлагать уже с первых уроков алгебры и геометрии и даже на уроках математики в 5-6 классах.

      В последующих классах следует  предлагать не только задачи с элементами исследований, но и задачи, включающие исследование в качестве обязательной составной части.

          б) Задачи и упражнения в отыскании ошибок также играют значительную роль в развитии математического мышления учащихся. Такие задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости и т. д. Первые упражнения в отыскании ошибок должны быть несложными.

          в) Задачи на доказательство доказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

      В процессе доказательства принимаются  определенные правила вывода, с помощью которых от одних доказанных суждений можно переходить к другим доказанным суждениям. Обычно это два правила: (1) правило подстановки и (2) правило вывода заключений (вывод следствий из доказанных посылок).

      Решение математических задач на доказательство требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации.

           Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.

           Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.

          Математические задачи должны прежде всего будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

        Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева - утверждения, выкладки, вычисления, справа - аргументы, т. е. предложения, подтверждающие правильность высказанных утверждений.

        Задачи на доказательство доказывают  существенное влияние на развитие  мышления учащихся. Именно при  выполнении доказательств оттачивается  логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

        Для овладения в полном объеме  всеми аспектами содержания пропедевтико-геометрической  подготовки учащийся должен быть  включен в специально организованную геометрическую деятельность.

        Методологической основой отбора  и конструирования содержания  пропедевтико-геометрической подготовки  к доказательствам учащихся 5-6 классов  является системный, целостный  подход. Он обеспечивается целостной  структурой геометрической деятельности, т. е. присутствием всех ее компонентов.

        Анализ программ обучения математике  в средней школе, учебно-методической  и психолого-педагогической литературы  позволили выдвинуть гипотезу  о возможности обучения учащихся 5-6 классов элементам доказательства. Мы выделили следующие линии, по которым в 5-6 классах должна вестись подготовительная работа, способствующая сознательному усвоению учащимися доказательства:

      -воспитание потребности в доказательстве;

      -ознакомление с некоторыми вопросами структуры и сущности доказательства.

        Особенность дедуктивных рассуждений  в 5-6 классах заключается, прежде всего, в их тесной связи с индуктивными. Собственно поэтому и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения как таковые отсутствуют в курсе математики этих классов. Здесь дело в том, что для сознательного прове-дения дедуктивных умозаключений при решении задач необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления школьника, которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшем дедуктивным рассуждением. Для того чтобы учащиеся более осознанно могли пользоваться дедуктивными умозаключениями при решении задач, необходимо проводить пропедевтику по исследуемой теме. Начинать надо с самого элементарного и далее продвигаться к более сложным заданиям, таким, как решение нестандартных математических задач. При решении примеров на порядок действий рассуждения учащихся носят дедуктивный характер. В качестве общей посылки выступает правило выполнения порядка действий в выражении, в качестве частной – конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуются правилом порядка действий.                                             Данные знания понадобятся нам в дальнейшем при решении задач и различными формами работы над ней. «Практика показывает, что для усвоения общих положений, правил, выводов учащимся требуется большое количество конкретных упражнений. Только в результате целенаправленной длительной работы в этом направлении появится возможность для благотворного развития логического мышления школьников». Для того чтобы заинтересовать детей математической логикой мы должны разработать интересные и увлекательные задания, которые дети с удовольствием выполняли бы и которые послужили бы пропедевтикой для решения нестандартных задач

         В соответствии с выделенными нами типами задач назовем этапы обучения доказательствам в 5-6 классах:

        1) Подготовительный этап

      Этому этапу соответствуют задачи первого  типа.  Можно использовать задачи на логическое рассуждение как способа  обоснования, о разъяснении структуры умозаключения на примере умозаключения, в основе которого лежит правило заключения. Эти задачи требуют конкретного ответа: да или нет. Их можно проводить на каждом уроке во время устного счета или актуализации знаний.

         Логико-психологические проблемы  начальной математики как учебного  предмета, в последнее время у  нас и за рубежом часто обсуждаются. Вопрос стоит о недостатках традиционных программ преподавания математики в школе. Эти программы не обеспечивают должного развития математического мышления учащихся, не обладают преемственностью. Умение рассуждать, обосновывать и доказывать то или иное положение более или менее уверенно и правильно тоже приходит постепенно и в результате специальной организации учебной деятельности. Развитие мышления, совершенствование умственных операций, способности рассуждать прямым образом зависят от методов обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам - необходимое условие успешного усвоения учебного материала. Широкие возможности в этом плане дает решение логических задач.

           Пример. Если одно число при счете называют раньше, чем другое, то это число меньше. При счете 3 называют раньше 5, значит 3 меньше 5.

      Развитие  представления о том, что из одних  утверждений можно выводить другие, целесообразно осуществлять при решении арифметических задач.

      Опыт  показывает эффективность специального акцентирования внимания школьников при решении задач на выводимости одних утверждений из других.

          Таким образом, мы видим, что  курс математики 5—6 классов уже дает возможность в единстве осуществлять формирование потребности в логическом обосновании, умения осуществлять дедуктивные выводы и понимание того, что из одних утверждений можно выводить другие

          2) Этап построения выводов. Второй этап  обучения доказательству должен включать формирование потребности в логических обоснованиях утверждений, навыков выполнения дедуктивных умозаключений и понимания того, что из одних предложений логическим путем можно получать новые предложения.