Обучение доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики 5-6 классов

                 2) Аргументы (основания) доказательства - положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключениям, которые строятся по определенным правилам.

                3) Демонстрация - логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису. [18]

              Способ связи аргументов от условия к заключению суждения называют методом доказательства. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, делят на прямые и косвенные (по тому, как строится обоснование тезиса). Методы доказательства делят и в зависимости от математического аппарата, используемого в доказательстве.

           Различают следующие приемы прямого доказательства:

      1) прием преобразования условия  суждения (синтетический);

      2) прием преобразования заключения  суждения: отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ);

      3) прием последовательного преобразования  то условия, то заключения суждения.

          К приемам косвенного доказательства относят:

      1) метод «от противного» (истинность  доказываемого тезиса устанавливается  посредством опровержения противоречащего  ему суждения);

      2) разделительный (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предложений, когда отвергаются все предположения, кроме одного).

            Процесс доказательства расчленяется  на две части:

1. Отыскание доказательства
2. Изложение доказательства

           После формирования у учащихся  всех компонентов, входящих в умение доказывать можно дать им общее правило доказательства. Оно состоит из следующих пунктов:

           1. Отделите условие от заключения.

2. Укажите, что требуется доказать.
3. Назовите все признаки, по которым можно доказать то, что требуется.
4. Укажите, как эти признаки могут быть заданы (скрыты) в условии.
5. Сравните по порядку каждый из признаков с условием и выберите тот из них, который будет использован при доказательстве.
6. Назовите признак, который будете использовать при доказательстве.
7. Укажите в условии то, что говорит о наличии в нем данного признака.

            Умение доказывать включает различного рода действия (логические, познавательные, учебные и т. д.). Методика обучения учащихся доказательству должна ответить на вопросы:

      1) Зачем надо доказывать?

      2) Что надо доказывать?

      3) Как надо доказывать?

          Ответ на первый вопрос обусловлен мотивационным компонентом деятельности, который обеспечивается действиями целеполагания и мотивации.

         Второй вопрос актуализирует действия анализа теоремы - выделение условия, заключения теоремы, объектов, отношений между ними, построение графической модели ситуации, отраженной в теореме. С данным вопросом соотносится и открытие доказываемых фактов, что обеспечивается владением и различными эвристиками. Ответ на третий вопрос предполагает поиск метода доказательства, его соотнесение с доказываемым утверждением, прогнозирование результатов использования метода, нахождение других методов доказательства, выбор наиболее оптимального из них и т. д.

          Ответ на вопрос: «Зачем доказывать?» - в его широком понимании обусловлен целями обучения доказательству, которые, в свою очередь, обусловлены целями обучения математике.

           В реализации общих целей математического образования огромное значение принадлежит доказательствам. Действительно, овладение комплексом математических знаний и умений предполагает овладение доказательством, ибо важное место в системе математических знаний занимают теоремы, изучение которых связано с доказательствами; умения применять знания (теоремы, понятия, аксиомы) предполагают выполнение доказательств. Формирование алгоритмического, эвристического, абстрактного мышления учащихся осуществляется также главным образом в процессе доказательств. Вне этого процесса невозможна реализация и других целей, в частности цели формирования морально-этических качеств личности. Обучение математике предполагает обучение способам деятельности по приобретению знаний, что требует выявления и освоения в процессе обучения математике различных схем используемых в математике рассуждений.

              Проиллюстрируем сказанное. Общие цели обучения доказательствам:

      - формирование и развитие качеств мышления, необходимых образованному человеку для полноценного функционирования в современном обществе, в частности формирование эвристического и алгоритмического мышления;

      - формирование и развитие абстрактного мышления, и прежде всего его дедуктивной составляющей как специфической для математики;

      - реализация возможностей математики в формировании научного мировоззрения учащихся, в освоении ими научной картины мира;

      - формирование и развитие у  учащихся потребности и способности непрерывно и целенаправленно расширять и углублять свои знания;

      - формирование математического языка и математического аппарата как средства описания и исследования окружающего мира и его закономерностей.

          Говоря о роли и месте доказательств в обучении математике, мы не можем удержаться от соблазна привести слова, подтверждающие их особую значимость: «Доказательство в математике не все, но без него в ней нет ничего» (А. А. Столяр)[21]

          Проблема обучения доказательству не может быть решена без учета возрастных возможностей учащихся. Структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 14 годам, поэтому систематическое использование доказательств возможно не ранее 7 класса, хотя обучение элементам доказательства должно осуществляться в 5-6 классах. По мнению психологов, в младших классах доказательство должно сводиться к проверке полученного результата перепроверкой или каким-либо другим действием. Однако, как отмечает п. п. Блонский, проверяющее мышление постепенно развивается в доказывающее мышление. Направляющим моментом в этом процессе становится вопрос: «Истинно ли? Соответствует ли действительности?»

         Прежде всего, учащийся должен быть убежден, что доказательства заслуживают того, чтобы их изучали, что они необходимы и интересны.

          Нужно ли в средней ней школе обучать проведению математических доказательств? Ответ вряд ли может вызвать сомнения ... Строгие доказательства - это отличительный признак математики; он представляет собой существенную часть вклада математики как науки в общую культуру. Учащийся, на которого математическое доказательство ни разу не оказало впечатляющего влияния, упустил одно из важнейших интеллектуальных переживаний. Можно только добавить то, что интеллектуальные переживания ученика во многом обусловлены действиями учителя и авторов методических пособий. Эти переживания достигают апогея в случае приобщения школьников к открытию теорем, их формулировок. В этом случае понимание необходимости логического обоснования утверждений возрастает.

          Итак, доказательства в школьном курсе математики играют огромную роль. Они являются источником и условием развития логического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления. Они представляют сплав логического и эвристического. Велико их значение в формировании и развитии нравственных качеств личности. Доказательства являются способом систематизации учебного материала, с их помощью и посредством их устанавливается связь между доказываемой теоремой и ранее доказанными теоремами. Они являются средством мотивации и получения обучаемым новых знаний, в процессе доказательств развиваются важнейшие интеллектуальные и учебные умения. Велико и общекультурное значение доказательств.

             Исходным моментом в обучении учащихся доказательству является формирование потребности в логических доказательствах.

      Школьники должны научиться  выполнять цепочки  дедуктивных умозаключений и  применять некоторые эвристики. На этом уровне следует формировать действия преобразования требования задачи (заключения теоремы) в равносильное ему или в такое требование, из которого данное вытекает как следствие, а также действия выведения следствий, составления вспомогательных задач и т. д. Эти действия составляют основу применения многих эвристических приемов (элементарных задач, достраивания фигур, представления задачи в пространстве состояний и т. д.) и методов научного познания (аналогии, обобщения и т. д.) в различных ситуациях. К тому же некоторые логические действия, например выведение следствий, имеют эвристический характер и используются в поиске способа доказательства. Другими словами, формирование логических действий включает знакомство учащихся с их эвристичностью и использованием в осуществлении поиска решения задачи. Это, в частности, и является проявлением единства логического и эвристического в доказательствах, осуществляемых учащимися. 

      1.2. Особенности обучения доказательствам школьников 5-6 классов

          Особенность дедуктивных рассуждений  в 5-6 классах заключается, прежде  всего, в их тесной взаимосвязи  с индуктивными. Собственно поэтому  и создается впечатление, что  дедуктивные рассуждения как  таковые отсутствуют в курсе  математики 5-6 классов. Здесь дело в том, что для сознательного проведения дедуктивных рассуждений необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления школьника, которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшем дедуктивным рассуждением.

           Проанализировав литературу, в которой рассматривается проблема обучения дедуктивным умозаключениям, мы видим, что в ее решении преобладает логический подход, заключающийся в том, что основной акцент делается на исследование логических аспектов дедуктивных умозаключений: сущности дедуктивного умозаключения, его видов, правил вывода, обучения логическим действиям, входящим в процесс дедуктивного умозаключения.

             Однако, несмотря на обилие работ, и рекомендаций по обучению учащихся дедуктивным умозаключениям, владении ими, соответствующее умение находится на низком уровне. Основной причиной этому является традиционная методика обучения дедуктивным умозаключениям, которые исходят, главным образом из отождествления дедуктивного умозаключения с его логической формой. Работы В. А. Байдака, М. И. Бурды, Г. Р. Бреслер[3], С. Т. Обидныка, А. А. Столяра  [21] и многих других авторов показывают актуальность проблемы, где предметом исследований является формирование и дальнейшее развитие умения строить дедуктивные умозаключения, умение осуществлять цепочки дедуктивных рассуждений, приемы мышления, адекватные исследуемой проблеме, воспитание потребности в дедуктивных умозаключениях. «Обучение дедукции, включающее разъяснение простейших схем дедуктивных рассуждений, неявно применяемых в доказательствах, является необходимым условием успешного применения дедукции как метода обучения, метода получения новых знаний».

          Среди математиков, методистов  и учителей распространены различные  точки зрения на обучение школьников  дедуктивным умозаключениям. Так,  З. И. Слепкань отмечает, что  положительный эффект в обучении  применению логики и математической символики был обнаружен у способных школьников, а средние и слабые учащиеся по-прежнему плохо рассуждали и решали задачи. Попутно заметим, что лучший результат дает обучение элементам логики наряду с обучением общим умственным действиям (анализ, синтез, обобщение, сравнение, сопоставление) и специфическим действиям. [5]

          При изучении данной проблемы  учеными были выявлены трудности,  возникающие у учащихся при построении дедуктивных умозаключений. Выделяются такие причины как: плохое качество знаний, неумение их применять, неосознанность умственных операций, неумение устанавливать связи между логическими шагами. В качестве средств, устраняющих трудности, предлагается использование приемов:

      1.      формулирования общей идеи дедуктивного  умозаключения;