Обучение доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики 5-6 классов

      2.      мотивации дополнительных построений;

      3.      приведения плана дедуктивного  умозаключения;

      4.      проведения его с опорой на  краткую запись;

      5.      использования блок-схемы доказательства, таблиц.

      Концепция обучения дедуктивному рассуждению  заключается не только содержанием понятия «дедуктивное умозаключение», но и целями, которые выдвигаются в связи с их рассмотрением. Несомненно, и то, что ее формирование должно учитывать возрастные особенности школьников. Очевидна зависимость обучения дедукции от содержания обучения математике, от принятой структуры курса, ступеней обучения.

           Формирование концепции обучения дедукции должно осуществляться с учетом методов обучения, средств и форм обучения математике. Таким образом, обучение дедукции представляет собой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленными связями между различными ее составляющими. Возможность ознакомления школьников с логическими схемами рассуждений в рамках даже ныне действующих учебников математики возросла. Дело в том, что упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию, выведение следствий из факта принадлежности понятию являются неотъемлемым атрибутом методики формирования математических понятий, а потому «проникли» во все учебники математики. У школьников  свойства их психики обуславливают успешность учебной деятельности, быстроту и легкость в овладении новыми знаниями, широту их переноса, то есть выступают как  общие способности к учению. Для их обозначения в психологии широко используют термин «обучаемость». Чем выше обучаемость, тем быстрей и легче приобретает человек новые знания, тем свободнее оперирует ими в относительно новых условиях, тем выше, следовательно, и темп его умственного развития. Логическое мышление предполагает не только широкое использование усвоенных знаний, но и преодоление барьера прошлого опыта, отхода от привычных ходов мысли, разрешение противоречий между актуализированными знаниями и требованиями проблемной ситуации, оригинальность решений, их своеобразие.  

           Использование дедукции и дедуктивных умозаключений в процесс поиска нового закономерно. Однако чтобы найденные таким образом знания могли быть переданы другим, использованы для решения широкого круга задач, должны быть хорошо осознаны как их существенные признаки, так и способы оперирования этими знаниями. Вот почему одним из основных качеств ума, входящих в обучаемость, мы считаем осознанность своей мыслительной деятельности, возможность сделать ее предметом мысли самого решающего проблему субъекта. Это качество ума проявляется в возможности выразить в слове или в других символах (в графиках, схемах, моделях) цель и продукт, результат мыслительной деятельности (существенные признаки вновь сформированных понятий, закономерностей), а также те способы, с помощью которых этот результат был найден, выявить ошибочные ходы мысли и их причины, способы их исправления.   

            Неосознанность мыслительной деятельности проявляется в том, что человек не может дать отчета о решении задачи (даже если оно верное), не замечает своих ошибок, не может указать те признаки, на которые он опирался, давая тот или иной ответ. Внешне хорошо выраженная особенность логического мышления — самостоятельность при приобретении и оперировании новыми знаниями. Это качество ума проявляется в постановке целей, проблем, выдвижении гипотез и самостоятельном решении этих задач.

        Итак, дедуктивные умозаключения  с психолого-педагогической точки  зрения играют огромную роль  и являются источником и условием  развития логического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления. Велико их значение в формировании и развитии нравственных качеств личности. К моменту поступления ребенка в школу, он может, при правильной методике преподавания, развивать у себя умение строить дедуктивные умозаключения. Именно дедукция является способом систематизации учебного материала. С ее помощью и посредством ее устанавливаются различные связи. Она является средством мотивации и получения обучаемыми новых знаний, развивает важнейшие интеллектуальные и учебные умения.  Но для более продуктивной работы, необходимо правильно организовать работу на уроке, используя, по возможности, различные формы работы с математическим материалом.

          В настоящее время актуальность умения строить доказательства возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности на развитие различных мыслительных процессов, чему способствует обучение построению дедуктивных умозаключений. Другими словами, обучение построению доказательства должно быть одной из целей математического образования и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математики в начальной и средней школе. Последнее заставляет взглянуть на проблему обучения дедукции учащихся с более широких позиций. С переходом в среднее звено школы учащиеся знакомятся с таким предметом как геометрия, где весь курс построен на различного рода доказательствах, проводимых  дедуктивным путем. И если перед 7 классом мы не научим детей правильно рассуждать и пользоваться дедукцией, то в дальнейшем учащиеся столкнуться с множеством проблем, так как не смогут доказать ни теорему, ни вывести заключение или вывод. Однако при кажущемся обилии научного материала по этой тематике приходится признать, что конкретного фактического материала, позволяющего строить обучение школьников с учетом особенностей логического мышления, нет.   

            Существует множество методических пособий, но нет ни одного, в котором были бы собраны и обобщены данные, позволяющие развивать в системе логическое мышление школьников на уроках математики, не выходя за рамки курса. Поэтому мы получаем противоречие: с одной стороны мы имеем огромное количество методических пособий и сборников интересных заданий, а с другой – неумение или нежелание учителей обучать детей строить дедуктивные умозаключения при решении задач, проводить аналитико-синтетическую работу на уроке. Обычно все сводится к записи решения задачи или нахождению значения того или иного выражения.

              Умение строить дедуктивные рассуждения (умозаключения) является основным методом математической науки и одним из особых средств усвоения курса математики в средней школе. Очень важно осуществление преемственности. Уже в 5-6 классах надо проводить определенную работу по формированию умения строить правильные дедуктивные умозаключения. В процессе обучения дедуктивным умозаключениям, обращаясь к наблюдению, сравнению, то есть доступным для них операциям, которые активизируют деятельность и на основе которых они могут самостоятельно сделать вывод. И если мы будем строить дедуктивные умозаключения при решении математических задач, то с одной стороны учащиеся будут учиться правильно мыслить, а с другой – совершенствовать умение решать поставленные перед ними задачи, аргументировано и доказательно.

        Нет исследований, в которых методическая  концепция построения пропедевтического  курса геометрии была бы построена  с учетом структуры целостной  геометрической деятельности, в  процессе которой учащиеся в  органичном единстве овладели  бы на доступном им уровне всеми ее компонентами: логическим, пространственным, интуитивным, метрическим, конструктивным, символическим. В большинстве случаев в 7 классе учащиеся не готовы применить даже тот небольшой объем геометрических знаний, полученных на уроках математики, при решении прикладных задач, задач с межпредметным содержанием, при выполнении практических работ. Недостатки подготовки к задачам на доказательства в 5-6 классах предопределены несовершенством пропедевтического курса геометрии.

        Итак, в 5-6 классах нет геометрии, теорем и задач на доказательство нет. Возникает проблема пропедевтики  доказательств в этих классах.

        Для того, чтобы воспитать у  учащихся потребность в математических  доказательствах, нужно, чтобы  они понимали, что в математике  оперируют с утверждениями такого вида: « если что-то является тем-то, то что-то другое следует из этого».[10]

          Очевидно, что формирование сознания  необходимости логических доказательств, возможности из одних утверждений получать другие осуществляется в единстве с обучением умению выполнять дедуктивные выводы. Применительно к пропедевтическому курсу математики (5—6 классы) эти вопросы специально рассматривались в исследовании Г. Р. Бреслер.[3] Однако они решались в рамках курса, насыщенного элементами теории множеств, математической логики и геометрическими сведениями. Поэтому многие рекомендации не могут быть востребованы содержанием действующего курса математики.

        Проанализировав учебники математики 5-6 классов, можно сделать вывод  о специфике упражнений, формирующих у учащихся потребности в доказательстве. Учителя не уделяют достаточного внимания учащихся на логическую структуру доказательства, на высказывания, используемые при доказательстве теорем, на средства вывода и т.п. Не проводится целенаправленной систематической работы по формированию у учащихся умений и навыков самостоятельно доказывать теоремы.

          Выделим умения, необходимые учащимся для проведения доказательств.    Ученики должны уметь:

1. Определять истинность высказывания (непосредственным сопоставлением с действительностью, измерением, построением, приведением примера, логическим доказательством);
2. Задавать условие в словесно-символической форме;
3. Вычленять из формулировки задач условие и заключение;
4. Выполнять логический анализ;
5. Выбирать систему признаков, необходимых и достаточных для проведения доказательства;
6. Строить умозаключения.

            В соответствии с выделенными  умениями все задачи на доказательство  в 5-6 классах можно разбить  на 4 типа. О них мы подробно  напишем во второй главе.

      Обучение  выполнению умозаключений рекомендуется осуществлять посредством упражнений следующих видов:

      - на отработку понятий «множество», «элемент множества»;

      - на определение принадлежности элемента множеству;

      - на умение по двум данным посылкам сделать заключение;

      - на построение доказательств, состоящих из одного умозаключения;

      - на построение доказательств, состоящих более чем из одного умозаключения.

      Выделим следующие направления в решении  проблемы пропедевтики математических доказательств в 5-6 классах:

      - воспитание потребности в доказательстве;

      - ознакомление с некоторыми дедуктивными  выводами и с идеей доказательства  от «противного»;

      - подготовка к восприятию взаимно  обратных теорем.

      Отметим, что на необходимость специального формирования потребности в логическом доказательстве утверждений указывается Н. М. Бескиным, в. М. Брадисом, В. И. Зыковой, Ф. Ф. Притуло [17], А.Д. Семушиным.

      Общие принципы разработки пропедевтики доказательств  легли в основу организации учебной  деятельности направленной на овладение разработанным содержанием.

      Реализация функциональной направленности потребовала выделения нескольких принципов обучения доказательству в 5-6 классах. Принципы реализуются через определенную последовательность действий и организуются через соответствующие этим действиям типы задач и заданий.

      Основу  пропедевтики доказательств составляют принципы развивающего обучения:

      - Личностно-ориентированные принципы (Простые и занимательные сюжеты задач повышают интерес к предмету)

          - Культурно ориентированные принципы обусловливают построение такой системы обучения, в результате которой у школьников складывается целостная картина мира и себя в мире.

          - Деятельностно ориентированные принципы (Принцип обучения деятельности, организации учебной деятельности в соответствии с этапами творческого мышления.) Одновременно такая организация учебного процесса позволяет реализовать и принцип перехода от совместной познавательной деятельности к самостоятельной деятельности ученика, ибо ключевой интуитивный этап решения творческой задачи, который является сугубо индивидуальным, должен быть тщательно подготовлен совместной деятельностью, связанной с применением различных эвристических приёмов.

      - Креативные принципы (У учащихся необходимо формировать потребность и способность самостоятельно находить решение не встречавшихся ранее задач, то есть «учить творчеству»)