Обучение доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики 5-6 классов

      Выводы  по главе 1

           В первой главе «Теоретические основы обучения доказательству» мы рассмотрели различные трактовки понятий «обучение доказательству» и «доказательство».

        Кроме того, в первом параграфе «Доказательства в школьном курсе математики» рассмотрена структура доказательства. Доказательство включает в себя:

1. Тезис;
2. Аргументы (основания) доказательства;
3. Демонстрация.

      Проанализировав литературу, в которой рассматривается проблема обучения доказательствам, выяснили, что потребность в логических обоснованиях должна формироваться еще при изучении пропедевтического курса геометрии, т. е. в 5—6 классах. В младшем подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. Поэтому важно еще до изучения систематического курса геометрии осуществлять формирование у школьников некоторых навыков дедуктивных умозаключений и добиваться понимания ими того факта, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения.

      Мы  выделили умения, необходимые учащимся для проведения доказательств. Итак, учащиеся должны уметь:

1. Определять истинность высказывания;
2. Задавать условие в словесно-символической форме;
3. Выделять условие и заключение;
4. Выполнять логический анализ;
5. Выбирать систему признаков, необходимых и достаточных для проведения доказательства;
6. Строить умозаключения.

 

      Глава 2. Организация деятельности учащихся 5-6 классов по обучению доказательствам

      2.1. Основные виды задач на доказательство, используемые в 5-6 классах

         В возрасте 10–11 лет аппарат мышления еще недостаточно развит для дедуктивных доказательств, дети больше опираются на восприятие, но уже осмысливают связи и закономерности. В 5–6 классе учащиеся могут познакомиться с тем, как доказывать. Необходимо вовлечь учащихся в учебную деятельность. Содержание должно быть таким, что теоретические факты могли быть получены эмпирическим путем.

          Принцип систематичности и последовательности обучения при отнесении его к отбору содержания обучения предполагает усвоение знаний учащимися в определенной последовательности, системе. Он требует логического построения как процесса обучения, так и содержания. Изучаемый материал необходимо разделить на логические разделы – темы; в каждой теме необходимо выделить главные понятия, идеи, структурировать материал.

           Требование систематичности и последовательности в обучении нацелено на сохранение преемственности содержательной и процессуальной сторон обучения, при которой каждый урок – это логическое продолжение предыдущего, как по содержанию изучаемого материала, так и по характеру, способам выполняемой учениками учебно-познавательной деятельности. Поэтому в каждую тему мы включим несколько упражнений и задач на доказательство, которые должны усвоить учащиеся, а также знания и умения, подлежащие усвоению.

          Процесс формирования приемов мыслительной деятельности осуществляется через специально подобранную систему упражнений. При этом направленность этой системы упражнений на формирование аналитико-синтетической деятельности определяется не только содержанием этих упражнений, но и структурированием вопросов, задач и заданий, которые распределены по четырем группам, каждая из которых имеет свои четко обозначенные цели.

         Проанализировав учебники по математике Н. Я. Виленкина и Дорофеева Г. В. 5 и 6 класса, мы выяснили, что они ориентированы на формирование навыка решения задач. Для решения текстовых задач, в основном, используются арифметические способы. На доказательство упражнений почти нет. Однако в учебниках вводятся элементы доказательств некоторых утверждений. Так, в учебнике Н.Я. Виленкина 5 класса встречается одно упражнение в разделе «Сложение и вычитание натуральных чисел и его свойства»:

          Докажите, что: а) 5000+7000<5374+7980<6000+8000

                                     б) 17000<6089+11861<19000 [13]

        Что касается 6 класса, там упражнений немного больше – восемь:

1. Докажите, что число 70525 кратно 217, а число 729 является делителем числа 225261 («Делители и кратные»)
2. Докажите, что:

      а) если а кратно b, а b кратно с. то а кратно с.

         б) если а и b делятся на 6, то и а + b делится на 6 («Признаки делимости на 10, на 5 и на 2»)

             3)Докажите, что числа 2968, 3600, 888888, 676676 являются составными («Простые и составные числа»)

            4) Докажите, что числа 575, 10053, 3627, 595656 являются составными («Простые и составные числа»)

            5) Докажите, что числа 864 и 875 взаимно  простые («НОД. Взаимно простые  числа»)

            6) Докажите неравенство: 

      а)

>    б) >               в) >

             («Сравнение, сложение и вычитание  дробей с разными знаменателями»)

           7) Докажите, что числа а и b взаимно обратны, если:

      а) а=0,5 b=2      б) а=1,25 b=

        в) а=0,15 b= («Деление»)

         8) Докажите, что при любом значении буквы, значение выражения:

           а) 5(7y-2)-7(5y+2) равно -24

            б) 4(8а+3)-8(4а-3) равно 36 («Решение уравнений») [14]

         У Дорофеева Г. В. в учебнике 5 класса встречаются 5 упражнений, а в 6-м 2 упражнения на доказательство, которые находятся в разделе – «Для тех, кому интересно». Перечислим их.

           5 класс:

         1) Докажите, что:

            а) произведение  делится на 18

            б) произведение делится на 50(«Делители числа. Простые и составные числа»)

            2) Докажите, не выполняя сложения, что сумма делится на 2, на 3 и  на 4

             а) 60+48+24         б) 12+36+24+48  («Делимость суммы и произведения»)

           3) Докажите, что разность делится на 15 («Делимость суммы и произведения»)

          4) Докажите, что:

              а) сумма двух четных чисел  - четное число

              б) сумма четного и нечетного  чисел – нечетное число («Делимость  суммы и произведения»)

         5) Докажите, что:

           а)  >

            б)  > [15]

          6 класс:

          1) Докажите равенство:

             а)  б) («Для тех, кому интересно. Системы счисления»)

             2) Докажите, что в равностороннем  треугольнике все углы равны.  Чему равна величина угла равностороннего  треугольника? («Многоугольники и  многогранники. Сумма углов треугольника» [16]

        Упражнения на доказательство встречаются не в каждой теме. И соответственно не на каждом уроке. Таким способом ученики не могут освоить понятие доказательство, его структуру.

           Поэтому необходимо вводить такие  упражнения, которые направлены  не только на формирование вычислительных навыков, но и на другие цели: на формирование теоретического мышления и простейших доказательных умений, вычислительных умений, опирающихся на понимание сути вопроса, а не на схожесть алгоритмов вычислений, на развитие мышления и речи учащихся в процессе изучения арифметики и решения текстовых задач.

              Л.Эйлер писал: «Если арифметика без оснований и доказательств показываться будет, то оная не довольна ни к разрешению всех случаев, ни к поощрению человеческого разума, о чем наипаче надлежало бы стараться». По его мнению, в арифметике надо учеников «приучать праведное основание и причину видеть», и через это они «приобвыкнут к основательному размышлению».

           Основной целью решения задач на доказательство является развитие умения делать логически правильные выводы на основе анализа имеющихся данных задачи.

          Необходимо вводить нестандартные развивающие задачи. Это позволяет значительно расширить возможности для развития мышления и речи учащихся, разнообразить приемы решения задач, расширить их представления о способах решения задач, может способствовать развитию школьников, формированию у них интереса к решению задач и к самой математике.

         Изучение доказательств должно формировать у школьника умение отстаивать или доказывать свою точку зрения, а для этого следует привить учащимся правильное представление о доказательстве, о нахождении оптимального варианта решения задачи. Целью нашего курса является показ необходимости проведения доказательства и формирование потребности в его проведении, а также стремление к самостоятельному поиску и проведению доказательств.

         Чтобы  учащихся 5 – 6 классов не пришлось учить доказательству на старшей ступени, чтобы подготовить их понятийный аппарат, их мышление и речь для дальнейшего эффективного обучения математике и другим предметам, надо позаботиться об основательном изучении доказательств в начальной школе.

        Правильное изучение доказательств приведет к умению логически мыслить. Поэтому необходимо основательное изучение доказательств каждым учеником школы уже в 5-6 классе.

         Пропедевтика доказательств должна  проводиться в логической последовательности, позволяющей сделать изучение материала более глубоким, экономным и строгим; должны учитываться возрастные особенности учащихся 5 – 6 классов, количество учебных часов, отведенных программой на курс математики в этих классах.

         На основе анализа учебников  и методической литературы мы  выделили 4 группы задач на доказательство:

1. Сначала мы предлагаем упражнения, в которых формулировка вопроса подсказывает ответ, т. е. такие, которые требуют ответа да / нет.

         Эти упражнения носят преимущественно устный характер и предлагаются в начале урока или по ходу урока.

         Пример 1. В понедельник я хожу в школу. Сегодня  я был в школе. Значит, сегодня понедельник.

         Пример 2. Пианино – это музыкальный инструмент. У Вовы дома музыкальный инструмент. Значит, у него дома пианино.

          Пример 3.  Классные комнаты надо  проветривать. Квартира – это  не классная комната. Значит, ее  не надо проветривать.

          Пример 4. Между Марсом и Землей много общего: это две расположенные рядом планеты Солнечной системы, на обеих есть вода и атмосфера, не очень существенно различается температура на их поверхности и т.д. На Земле имеется жизнь. Поскольку Марс очень похож на Землю с точки зрения условий, необходимых для существования живого, значит, и на Марсе есть жизнь.

          Пример 5. Если к числу прибавим один, то получим следующее число.         К одному прибавим один, получим следующее число два;

          Пример 6. Умножение – это сложение одинаковых слагаемых. В примере 100+100+100+100 все слагаемые одинаковые. Значит сумма 100+100+100+100 – это произведение 100*4. [6], [7]

2. Затем предлагаем упражнения, в которых задание формулируется так: сделайте вывод из данных предложений.

          Пример 1.  Все ученики 5 класса изучают математику. Марина-ученица 5 класса.

          Пример 2. Домашние животные полезны. Лошадь и осел – домашние животные .

        Пример 3.  Все деревья растения. Тополь и березы растения.

          Пример 4. При умножении единицы на любое число получается тоже самое число. Если 789 умножить на 1, то получим…