Обучение доказательствам на пропедевтическом уровне в курсе математики 5-6 классов

         Пример 5. При умножении нуля на любое число получается нуль. Если умножим 400 на нуль, то получим…

          Пример 6. Разность равных выражений  есть нуль. Если значение разности двух выражений равна нулю, то…

          Пример 7. Уменьшаемое минус вычитаемое  равно разность. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится… 

3. Упражнения третьего вида - упражнения на непосредственное построение умозаключений – учащимся сообщался вывод, заключение. Они же, используя имеющиеся у них знания, сами строили рассуждения, подтверждающие верность вывода, причем рассуждение надо было построить в форме умозаключения.

         Курс математики 5-6 классов содержит большие возможности для привития школьникам навыков логических рассуждений. Этой цели могут служить арифметические упражнения.

         Пример 1. Какая из дробей больше: или ?

      Ответ. Из двух дробей с равными знаменателями  больше та, числитель которой больше. Числитель дроби больше числителя дроби . Значит, дробь больше дроби .

            Выполнение подобных упражнений можно использовать для ознакомления школьников с дедуктивными выводами, в основе которых лежит правило заключения:

                                                                  

      И самому учителю, и ученикам, выполняющим  упражнения, желательно озвучивать свои действия. [18]

      Приведем  еще один пример.

      Пример 2. Изучается тема «Сложение дробей с равными знаменателями». Учащиеся выполняют упражнение: «Вычислите: ». Ученики молча записывают: .

      Учитель молча следит за выполнением  упражнения. Однако этот эпизод можно наполнить     другим содержанием.

      Выполнение  данного упражнения должно сопровождаться следующими рассуждениями. Дроби  и имеют один и тот же знаменатель. При сложении дробей с равными знаменателями нужно сложить их числители и оставить тот же знаменатель. Следовательно, при сложении дробей и можно увидеть, что основу приведенного обоснования составляет правило заключения. [18]

           Пример 3. У Вити и Мити было одинаковое количество гвоздей. Витя отдал Мите 3 гвоздя. Сравните  на сколько больше гвоздей стало у Мити, чем у Вити?

           Пример 4. «Вот вам три таблетки, – сказал доктор. – Принимайте по одной через каждые 2 часа». Сделайте вывод через сколько времени будет принята последняя таблетка?

      Конечно, не следует надеяться на то, что  ученики сразу же начнут грамотно рассуждать. Учителю следует терпеливо и настойчиво внедрять подобные рассуждения в объяснения учащимися действий, осуществляемых ими в связи с выполнением упражнений, самому приводить образцы рассуждений. Давайте вспомним учителя 1 класса, обучающего учащихся чтению, который прибегает не только к многократному проговариванию слов и предложений, но и проговариванию всем классом.

      4) Упражнения четвертого вида –  творческие задачи. Они требуют от ученика открытия нового факта. Эти упражнения активизируют мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы такие упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников.

      Развитие  представления о том, что из одних  утверждений можно выводить другие, целесообразно осуществлять не только при изучении геометрического материала, но и при решении арифметических задач. Поясним это положение  на примере.

      Пример 1. Пусть решается задача:

      Рабочий изготовлял в час на 5 деталей  больше, чем ученик. За 2 ч совместной работы они сделали 58 деталей. Сколько  деталей в час изготовил рабочий и сколько ученик?

      Учащиеся  нашли, что рабочий изготовлял в  час 17 деталей, а его ученик — 12 деталей. После этого внимание учащихся обращается на то, что из утверждений:

      - рабочий изготовлял в час на 5 деталей больше, чем ученик;

      - за 2 ч совместной работы они сделали 58 деталей — получены утверждения:

      - рабочий изготовлял в час 17 деталей;

      - ученик изготовлял в час 12 деталей.

      Дальнейшее  развитие этой идеи может осуществляться в направлении выведения «неочевидных» утверждений, выяснения зависимостей между утверждениями, составления новых задач путем варьирования утверждений. Например: «Рабочий изготовлял в час на 5 деталей больше, чем его ученик. Ученик изготовлял в час 12 деталей. Сколько деталей изготовлял рабочий и сколько деталей они изготовляли за 2 ч совместной работы?» или «Рабочий изготовлял в час 17 деталей, а ученик — 12 деталей. Сколько они изготовили деталей за 2 ч совместной работы и на сколько больше деталей изготовлял в час рабочий, чем его ученик?». Такая постановка вопроса не только не снижает смысловой нагрузки задачи, но и способствует уяснению зависимости между условием и заключением теоремы, пониманию сущности логического вывода.

        Пример 2. Полезны и упражнения такого характера:

      В автобусе было 50 пассажиров. На одной  остановке из него вышло 12 пассажиров, на другой— 18 пассажиров. Сформулируйте несколько утверждений, которые следуют из данных утверждений.

      Такими  утверждениями могут быть, например, следующие: на остановках вышло 30 пассажиров; в автобусе осталось после выхода пассажиров на двух остановках 20 человек; на второй остановке вышло на 6 пассажиров больше, чем на первой, и т. д.

      Пример 3. Петров на 8 лет моложе, чем Светлов. Петров на 3 года старше, чем Денисов. Сформулируйте несколько утверждений, которые следуют из данных утверждений. Кто моложе всех? На сколько лет Светлов старше Денисова?

        Изучение элементов доказательства в составленной системе упражнений органически связано с содержанием программного материала по математике в этих классах. Оно не является случайным дополнением этого материала, не концентрируется в одном месте курса. А проводится постепенно, без выделения специальной темы. Новые элементы доказательства рассматриваются сначала на нематематическом материале, а потом на алгебраическом. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      2.2. Структура и этапы организации деятельности учащихся по обучению доказательствам

        Проанализировав основные и наиболее важные подходы к построению пропедевтического курса математических доказательств, убедились, что нет ни одного, который бы учитывал целостную структуру геометрической деятельности. Поэтому нашу методическую систему пропедевтико-геометрической подготовки учащихся 5-6 классов строим на основе теории о структуре учебной деятельности.

      Учебная деятельность - один из основных видов  деятельности человека, специально направленный на овладение способами предметных и познавательных действий, обобщенных теоретических знаний.

      "Учебная  деятельность" - достаточно неоднозначное  понятие. Можно выделить три  основные трактовки этого понятия,  принятые как в психологии, так и в педагогике.

             1. Иногда учебная деятельность рассматривается как синоним научения, учения, обучения.

             2. В "классической" советской психологии и педагогике учебная деятельность определяется как ведущий тип деятельности в младшем школьном возрасте. Она понимается как особая форма социальной активности, проявляющая себя с помощью предметных и познавательных действий.

             3. В трактовке направления Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова учебная деятельность - это один из видов деятельности школьников и студентов, направленный на усвоение ими посредством диалогов и дискуссий теоретических знаний и связанных с ними умений и навыков в таких сферах общественного сознания, как наука, искусство, нравственность, право и религия [22]

      Сущность  учебной деятельности заключается в решении учебных задач, основное отличие которых в том, что их цель и результат состоят в изменении самого действующего субъекта, заключающемся в овладении определенными способами действия, а не в изменении предметов, с которыми действует субъект. Решение отдельной учебной задачи определяет целостный акт учебной деятельности, т. е. ту ее простейшую "единицу", внутри которой проявляется строение этого вида деятельности в целом. Осуществление такого акта предполагает актуализацию специфического мотива учебной деятельности; определение конечной учебной цели; предварительное определение системы промежуточных целей и способов их достижения; выполнение системы собственно учебных действий; выполнение действий контроля; оценку результатов учебной деятельности.

      На  основании экспериментальных данных в процессе формирования учебной деятельности можно выделить три основные стадии. Первая из них характеризуется освоением отдельных учебных действий; на этой основе возникает ситуационный интерес к способам действия и формируются механизмы "принятия" частных учебных целей; осуществление учебной деятельности возможно только при непосредственном взаимодействии с учителем, который ставит цели, организует действия, осуществляет их контроль и оценку. На второй стадии учебные действия объединяются в целостные акты деятельности, подчиненные достижению более отдаленной конечной цели; по мере формирования таких актов познавательный интерес приобретает устойчивый характер, начиная выполнять функцию смыслообразующего мотива учебной деятельности; с этим связано дальнейшее развитие механизмов целеполагания, обеспечивающих не только принятие поставленной извне конечной цели, но и самостоятельную ее конкретизацию; на этой основе интенсивно формируются действия контроля и оценки. Третья стадия характеризуется объединением отдельных актов учебной деятельности в целостные системы; познавательный интерес характеризуется обобщенностью, устойчивостью и избирательностью, начиная во все большей степени выполнять функцию побудительного мотива деятельности; в системе учебных действий одно из центральных мест занимают действия с различными источниками учебной информации (учебником, справочником, картой и т. п.). Хронологические рамки указанных стадий относительны и определяются в первую очередь условиями обучения. При неблагоприятных условиях развитие учебной деятельности может остановиться на первой стадии; в оптимальных условиях, как показывают экспериментальные данные, уже на 6—7-м году обучения учебная деятельность вступает в высшую стадию своего формирования. [22]

      Структура учебной деятельности определяется характером взаимодействия ее элементов. Относительно основных структурных элементов учебной деятельности до сих пор в педагогической психологии нет единого мнения. Ниже приведем несколько точек зрения.

      По  В.В. Репкину, в структуру учебной  деятельности входят:

      - актуализация наличного теоретико-познавательного интереса;

      - определение конечной учебной цели - мотивы;

      - предварительное определение системы промежуточных целей и способов их достижения;

      - выполнение системы собственно учебных действий, центральное место в которой занимают специфические преобразования предмета и построение модели;

      - действия контроля;

      - действия оценки .

      По  А.У. Варданян, Г.А. Варданян:

      - учебные задачи и действия, направленные на их разрешение;

      - характер эмоциональной окрашенности учебной деятельности;

      - цель учебной деятельности;

      - средства (методы, способы) осуществления учебной деятельности;

      - результат учебной деятельности (усвоение учебного материала и общих способов действия в изучаемой области действительности);

      - характер процесса учебной деятельности как содержание и последовательность осуществления входящих в ее состав действий.

      В конце 50-х гг. XX в. Д.Б. Эльконин выдвинул общую гипотезу о строении учебной деятельности, о её значении в психическом развитии ребёнка. По его мнению, в структуру учебной деятельности входят:

      - учебная цель;

      - учебные действия;

      - действия контроля процесса усвоения;

      - действия оценки степени усвоения.

      В.В. Давыдов считал, что в структуру входят:

      - учебные ситуации (или задачи);

      - учебные действия;

      - действия контроля и оценки.