Математические задачи электроэнергетики

 Уравнения законов  Ома и Кирхгофа в матричной  форме

     Установившиеся режимы  в электрической системе описываются законами Ома и Кирхгофа или вытекающими из них уравнениями узловых напряжений и контурных токов.

Запишем основные матрицы, используемые при расчетах режимов в электрической  системе. Будем помнить, что комплексные  величины обозначаются точкой сверху.

2. Вектор-столбец токов в ветвях графа сети              2. Вектор-столбец узловых токов

                                                                      

 

4. Матрица сопротивлений ветвей графа.

		ветви
Zb=	в е т в и		где - комплексное сопротивление i-й ветви

Произведение матрицы сопротивлений  ветвей Z_b на матрицу токов в ветвях позволяет получить матрицу падений напряжения в сопротивлениях ветвей

Zb∙Ib=

или в общем виде

- закон Ома в матричной  форме при отсутствии ЭДС в  ветвях.

Умножим первую матрицу инциденций М на вектор-столбец ветвей графа сети

 

МIb=

- первый закон Кирхгофа в матричной форме.

Умножим вторую матрицу инциденций N на матрицу падений напряжений в ветвях .

N=	I
	II

 

 

Следовательно, второй закон Кирхгофа в матричной форме

      

 

Задача 4. Для графа сети

 

 

 

 

 

составить матрицы, входящие в выражения:

Y  U   = I           (1)

 

I  = Z   M   U      (2)

для определения токов в ветвях методом узловых напряжений. [Электрические  системы. Математические задачи электроэнергетики/Под ред.В.А.Веникова.Т.1-М.: Высшая школа, 1981.-334с. , Блок В.М. Электрические сети и системы:Учебное пособие для

ВУЗов.-М.:Высшая школа 1986.-430с.].

 Метод узловых напряжений  для расчета токораспределения

В этом методе токи в ветвях определяются через разность напряжений в узлах. Число узлов в схемах обычно меньше числа ветвей.

                                                                                                                    (1)

    - система узловых уравнений         (2)

Обратная матрица 

Базисный узел – это узел, для которого напряжение задается перед расчетом.

- матрица узловых проводимостей,  может быть определена без  расчетов непосредственно из схемы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

				1		2		3		4		5
Yу=	у з л ы		1							0		0		0
			2					0		0		0		0
			3					0				0
			4	0		0						0		0
			5	0		0		0		0				0
0		0			0		0

 

 

 

 

 

 

 

 

_{6 х6}

 

 

 

 

 

 Метод контурных  токов

Введем новые переменные – контурные токи I_I и I_II.

- вектор-столбец контурных токов.

Через контурные токи определяются токи в ветвях

                                                                                            

=	I	z2+z3	-z1-z4
	II	Z5+z6+ z4	-z7

                                                                                                (4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6. Решить СЛУ третьего порядка методом обратной матрицы  [Демидович Б.П.,Марон И.А. основы вычислительной математики.-М.:Наука,1970.-664с.].

А=

 

Вычисляем определитель данной матрицы  по правилу треугольников

detA =2⋅3⋅(-1)+3⋅3⋅(-2)+4⋅3⋅2-2⋅3⋅(-1)-3⋅4⋅3-3⋅(-2)⋅2=

=-6-18+24+66-36+12=-18

M₁₁= =-3+6=3;A₁₁=(-1)¹⁺¹⋅M₁₁=3;

M₁₂= =9-6=3;A₁₂=(-1)¹⁺²⋅M₁₂=-3;

M₁₃= =-6+2=-4;A₁₃=(-1)¹⁺³⋅M₁₃=-4;

M₂₁= =12+6=18;A₂₁=(-1)²⁺¹⋅M₂₁=-18;

M₂₂= =6-6=0;A₂₂=(-1)²⁺²⋅M₂₂=0;

M₂₃= =-4-8=-12;A₂₃=(-1)²⁺³⋅M₂₃=12;

M₃₁= =12+3=15;A₃₁=(-1)³⁺¹⋅M₃₁=15;

M₃₂= =6-9=-3;A₃₂=(-1)³⁺²⋅M₃₂=3;

M₃₃= =-2-12=-14;A₃₃=(-1)³⁺³⋅M₃₃=-14;

Матрица алгебраических дополнений: B=

 

Присоединенная матрица: A^~=B_T=

Обратная матрица равна A^-1= ⋅A^~= ⋅

X=A^-1⋅C, где C - столбец свободных коэффициентов.

C=

A^~⋅C=                                     ⋅ =                                   =

X= ⋅

x₁=3; x₂=4; x₃=2,67.

Задача 7. Решить СЛУ третьего порядка методом Гаусса. Вычисления выполнять в матричной форме.  [Демидович Б.П.,Марон И.А. основы вычислительной математики.-М.:Наука,1970.-664с.].

 

№ шага	х1	х2	х3	B
	2	4	3	30		: 2
0	3	-1	3	13
	2	-2	3	6
	1	2	1,5	15		х 3	х 2
1	0	7	1,5	32		: 7
	0	6	0	24
	0	1	0,214	4,571		х 6
2	0	0	1,284	3,426		: 1,284
3	0	0	1	2,668

 

Треугольная система

х₁+2х₂+1,5х₃=15

                     х₂+0,214х₃=4,571

                                 х₃=2,668

 

Обратный ход

х₂=4,571+0,214∙2,668=1,713;

х₁=15-2∙1,713+1,5∙2,668=7,572,=>

 

х₁=7,572;

х₂=1,713;

х₃=2,668.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 8. Решить СЛУ второго порядка методом простой итерации.  [Демидович Б.П.,Марон И.А. основы вычислительной математики.-М.:Наука,1970.-664с.]. Принять                           и точностью вычисления корней     =0,01.

Приведем систему уравнений  к виду, удобному для итерации

Зададим начальные приближения  к корням равными нулю и точность расчета ε = 0,01.

Начнем итерационный процесс вычисления корней.

1 итерация        

2 итерация        

 

и т.д. до выполнения условий  

Вычисления сведем в таблицу

№ итерации (к)
0	0	0
1	2,8	9,8
2	-0,24	7,4
3	1,68	5,88
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	2,896 2,128 1,641 1,949 2,1436 2,0204 1,94256 1,99184 2,022976 2,00324 1,9908096 1,9987704	6,84 7,448 7,064 6,8205 6,9745 7,0718 7,0102 6,97128 6,99592 7,011488 7,00162 6,9954048

Задача 9. Решить СЛУ второго порядка методом Зейделя.  [Демидович Б.П.,Марон И.А. основы вычислительной математики.-М.:Наука,1970.-664с.]. Принять                           и точностью вычисления корней     =0,01. Сравнить число итераций по методу простой итерации и методу Зейделя.

Приведем к виду удобному для  итерации

Зададимся исходным приближением и ε = 0,01.

Делаем первую итерацию по методу Зейделя

; 

;

и т.д.

Занесем результаты расчетов в таблицу

№ итерации (к)
0	0	0
1	7,6	6
2	2,8	9,8
3	-0,24	7,4
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	1,68 2,956 2,128 1,6176 1,9488 2,15296 2,02048 1,991808 2,0244736 2,0032768 1,99021056 1,99868928	5,88 6,84 7,478 7,064 6,8088 6,9744 7,07648 6,969408 6,995904 7,0122368 7,0016384 6,99510528

 Метод Зейделя, имеет, как  правило, лучшую сходимость, чем  метод простой итерации. И сходится в ряде случаев даже тогда, когда метод простой итерации не обеспечивает сходимость. Но (значительно реже) бывает и наоборот.

Задача 10. Решить СНУ второго порядка методом Ньютона.  [Демидович Б.П.,Марон И.А. основы вычислительной математики.-М.:Наука,1970.-664с.]. Принять   

                             и                                                

 

              (при ε=0,01)

0 итерация  1. ;         2. ;