Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Июня 2013 в 10:54, курсовая работа
Задача 8. Решить СЛУ второго порядка методом простой итерации. [Демидович Б.П.,Марон И.А. основы вычислительной математики.-М.:Наука,1970.-664с.]. Принять ... и точностью вычисления корней =0,01.
Приведем систему уравнений к виду, удобному для итерации
Зададим начальные приближения к корням равными нулю и точность расчета ε = 0,01.
Начнем итерационный процесс вычисления корней.
1.Применение матричной алгебры и теории графов в электроэнергетике 3
1.1Некоторые сведения из теории матричной алгебры 3
2.Теория графов в электроэнергетике 10
2.1Геометрический образ электрической сети 10
3.Методы решения систем алгебраических уравнений 17
3.1 Методы решения систем линейных уравнений 17
4.Решение систем нелинейных уравнений 31
4.1 Понятие о системах нелинейных уравнений и методах их решения 31
5.Задачи 38
Последовательно продолжая этот процесс, исключим из системы все коэффициенты, лежащие ниже главной диагонали. В результате получим треугольную систему уравнений.
а11х1+ а12х2+ а13х3+… +а1nхn=b1
… … …
Процесс получения треугольной системы называется “прямым ходом” по методу Гаусса. Треугольная система легко решается “обратным ходом”. Из последнего уравнения определяется последнее неизвестное . Затем из предпоследнего уравнения постановкой найденного значения хn определяется хn-1. После решения системы уравнений методом Гаусса необходимо делать проверку, подставляя в исходные уравнения найденные значения переменных хi (i= 1, …, n).
При решении системы линейных уравнений методом Гаусса все вычисления можно поместить в следующую таблицу. Рассмотрим таблицу на примере решения системы уравнений третьего порядка.
№ шага преобразований |
х х1 |
х х2 |
х х3 |
||
|
1) |
а12 |
а13 |
b1 |
||
|
0 |
а21 |
а22 |
а23 |
b2 |
|
а31 |
а32 |
а33 |
b3 |
||
1 |
|||||
|
1 2) |
|||||
1 |
|||||
|
2 3) |
|||||
1 |
Уравнения 1), 2) и 3) составляют искомую треугольную матрицу после “прямого хода”. Число шагов преобразований в “прямом ходе” методом Гаусса равно n-1.
Коэффициенты а11, , - называются “ведущими” элементами.
При “обратном ходе” можно
ПРИМЕР:
№ шага |
х1 |
х2 |
х3 |
B |
||
4 |
1 |
2 |
12 |
: 4 |
||
0 |
2 |
8 |
4 |
30 |
||
1 |
2 |
4 |
17 |
|||
1 |
0,25 |
0,5 |
3 |
х 2 |
х 1 | |
1 |
0 |
7,5 |
3 |
24 |
||
0 |
1,75 |
3,5 |
14 |
|||
1 |
0,4 |
3,2 |
х 1,75 |
|||
2 |
0 |
2,8 |
8,4 |
|||
3 |
1 |
3 |
Треугольная система
4 х1+х2+2х3=12
7,5 х2+3х3=24
2,8 х3=8,4
или
х1+0,25х2+0,5х3=3
х2+0,4х3=3,2
х3=3
Обратный ход
х2=3,2-0,4∙3=2
х1=3-0,25∙2-0,5∙3=1
Вычисление определителя методом Гаусса
(третий способ, без вывода)
Определитель матицы А равен произведению всех “ведущих” элементов при преобразовании ее по методу Гаусса.
Для вычисления определителя матрицы А выполняется только “прямой” ход методом Гаусса, причем столбец свободных членов В становится излишним.
ПРИМЕР: дана матрица
detА=4∙7,5∙2,8=84
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
А∙А-1 = Е
Матрицы А и Е известны, требуется определить А-1. Обозначим столбцы матрицы А-1 через х1, х2, …, хn т.е.
Столбцы для матрицы Е обозначим через Е1, Е2, …, Еn
Тогда можем записать n систем уравнений
Ах1=Е1
Ах2=Е2
Ахn=Еn
Развернем первое матричное уравнение Ах1=Е1
х =
Другие матричные уравнения аналогичны.
Следовательно, для получения обратной матрицы А-1 достаточно выполнить n решений методом Гаусса систем линейных уравнений с разными правыми частями - y столбцами матрицы Е.
Полученные решения х1, х2, …, хn будут столбцами искомой обратной матрицы А-1.
Трангуляции матрицы
Квадратную матрицу А можно представить как произведение двух треугольных матриц А=LW, где
L – нижняя треугольная матрица,
W – верхняя треугольная матрица.
Матрица W вычисляется при прямом ходе Гаусса
а11 а12 а13 … а1n
0 …
0 0 …
… … … … …
0 0 0 …
У матрицы L наоборот все элементы выше главной диагонали нулевые. Остальные элементы матрицы L вычисляются в результате деления элементов по столбцам, полученных при том же прямом ходе Гаусса, на ведущие элементы. Сначала вычисляются элементы первого столбца матрицы L делением на ведущий элемент а11, затем после первого шага “прямым ходом” метода Гаусса вычисляются элементы второго столбца, начиная с диагонального, делением на ведущий элемент а11 и т.д.
Требуется решить системы уравнений
Ах=В
Так как А=LW то LWх=В
Обозначим Wх=Z
Тогда вместо системы Ах=В можем записать ей эквивалентную
LZ=В
Wx=Z
Решение эквивалентной системы с треугольными матрицами L и W занимает гораздо меньше времени, чем решение исходной системы Ах=В. Это обстоятельство очень важно при необходимости решать систему уравнений многократно при одной и той же матрице А и разных векторах свободных членов В, что обычно имеет место при расчетах режимов работы электрических систем. Триангуляция же матрицы А проводится только один раз.
То есть элементы матрицы А – это, как правило, параметры схемы замещения эл. системы, В – вектор узловых токов или мощностей. Часто ставится задача определения параметров большего числа режимов при изменении токов или мощностей потребителей в узлах при неизменной схеме замещения. Если триангуляция матрицы А осуществлена, то можно быстро пользуясь системой (5) посчитать необходимые режимы, меняя в этой системе вектор В. Для каждого режима сначала решается треугольная подсистема LZ=В относительно Z последовательной подстановкой в уравнения подсистемы найденных значений неизвестных из предыдущих уравнений, начиная с Z1
Z1
=b2
=b3
… … … … …
=bn
Значение Z1 уже известно из первого уравнения, Z2 определяется из второго уравнения подстановкой в него значения Z1 и т.д. Определяются все Z. Затем аналогично решается вторая треугольная подсистема Wx=Z путем обратной подстановки, начиная с хn (аналогично обратному ходу методом Гаусса).
Метод Жордана-Гаусса
Метод Жордана-Гаусса называют еще методом Гаусса без обратного хода. Сущность его состоит в том, что на втором шаге переменная исключается из всех уравнений, кроме второго, на третьем шаге исключается также из всех уравнений, кроме третьего и т.д. После шагов в каждом уравнении остается одна неизвестная, т.е. получим решение системы таким образом, исключение переменных по методу Жордана-Гаусса эквивалентно преобразованию матрицы коэффициентов в единичную. Рассмотрим таблицу вычислений по методу Жордана-Гауса.
№ шага преобразований |
A |
C |
B | ||
|
0 |
а11 |
a12 |
… |
a1n |
b1 |
|
а21 |
a22 |
… |
a2n |
b2 | |
|
а31 |
a32 |
… |
a3n |
b3 | |
|
… |
… |
… |
… |
… | |
аn1 |
an2 |
… |
ann |
bn | |
|
1 |
1 |
… |
|||
|
0 |
… |
||||
|
0 |
… |
||||
|
… |
… |
… |
… |
… | |
0 |
… |
||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
n |
1 |
0 |
… |
0 |
|
|
0 |
1 |
… |
0 |
||
|
.. |
.. |
… |
… |
||
0 |
0 |
… |
1 |
Нахождение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса
Рассмотрим вычислительную процедуру определителя А-1 на конкретном примере.
А∙А-1=Е
Пусть
А х1 х2 х3 Е1 Е2 Е3
х =
|
№ шага преобразования |
х х1 |
х х2 |
х х3 |
Е1 |
Е2 |
Е3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 | |
0 |
2 |
8 |
4 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
4 |
0 |
0 |
1 | |
1 |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
0 |
0 | |
1 |
0 |
7,5 |
3 |
-0,5 |
1 |
0 |
0 |
1,75 |
3,5 |
-0,25 |
0 |
1 | |
1 |
0 |
0,4 |
0,2667 |
-0,0333 |
0 | |
2 |
0 |
1 |
0,4 |
-0,0667 |
0,1333 |
0 |
0 |
0 |
2,8 |
-0,1333 |
-0,2333 |
1 | |
1 |
0 |
0 |
0,2857 |
0 |
-0,1428 | |
3 |
0 |
1 |
0 |
-0,0477 |
0,1666 |
-0,1428 |
0 |
0 |
1 |
-0,0476 |
-0,0833 |
0,357 |