Математические задачи электроэнергетики

Для определения падений напряжений в ветвях необходимо решить систему  узловых уравнений

  при наличии ЭДС в ветвях

- матрица узловых проводимостей,  может быть определена без  расчетов непосредственно из схемы

 

 

 

 

 

 

			1	2	3	4	5
Yу=	у з л ы	1					0
		2			0	0
		3		0		0
		4		0	0		0
							4 х 4

Элементы из главной диагонали  равна сумме проводимостей ветвей, подходящих к соответствующему узлу, а недиагональные элементы равны проводимостям ветвей между соответствующими узлами со знаком минус (-).

Матрица Y_у – симметричная.

Итак, по методу узловых напряжений, вначале составляется и решается система уравнений (2) относительно узловых напряжений U^у, затем найденные значения U^у подставляются в выражение (1) и вычисляются искомые токи в ветвях.

 Метод контурных  токов 

Введем новые переменные – контурные  токи I_I и I_II.

- вектор-столбец контурных токов.

Через контурные токи определяются токи в ветвях

                                                                                                 (3)

М_α – первая матрица инциденций, составленная для дерева схемы (дерево выделено на схеме).

Обратная матрица М_α может быть легко определена по схеме (без процедуры обращения матрицы М_α). Столбцы матрицы содержат пути по ветвям дерева от каждого узла к балансирующему. Если направление движения от узла к балансирующему не совпадает с выбранным направлением в ветви, то ставится +1, иначе -1. Можно говорить наоборот – от балансирующего к каждому, тогда если направление движения совпадает, то +1 иначе -1.

 

Мα=	у з л ы	ветви					Мα=	в е т в и	Узлы
									1	2	3	4
		1	1	1	0				1	0	1	1
		-1	0	0	1				0	0	-1	0
		0	-1	0	0				0	0	0	-1
		0	0	-1	0				1	1	1	1

 

Можно проверить 

Матрица контурных сопротивлений Z_к также может легко определена по схеме. Матрица Z_к – квадратная, порядок равен числу контуров. Диагональные элементы равны суммам сопротивлений ветвей входящих в соответствующие контуры, а подиагональные элементы равны сопротивлениям ветвей, общих для двух соседних контуров. Матрица Z_к – симметричная, недиагональные элементы берутся со знаком “-”.

=	I	z1+z2+z4+z5	-z1-z4
	II	-z1-z4	z1+z2+z4+z6

Итак, по методу контурных токов  сначала составляется и решается система уравнений относительно контурных токов I_к, порядок равен количеству независимых контуров.

                                                                                                (4)

Найденные значения контурных токов I_к  подставляются в выражение (3) и вычисляются искомые токи в ветвях I_b.

Целесообразность применения  метода узловых напряжений или метода контурных токов определяется в зависимости от физических условий задачи, от принятых допущений, которые сейчас мы не рассматриваем. В одних случаях удобен первый метод, в других – второй. Наибольшее же распространение получил метод узловых напряжений, он реализован в большинстве промышленных программ для расчетов режимов электрических систем.

Отметим также следующее.

Элементами ряда матриц в наших  задачах являются комплексные числа (а+jb) или (а-jb), что значительно увеличивает расчеты. Основное расчетное время идет на решение систем уравнений (2) и (4). Если уравнения линейны, то они решаются проще известными методами. На самом деле процессы, происходящие в электрической системе имеют нелинейный характер. Приведение уравнений к линейному виду является упрощением задач и используется, когда не требуется точного решения задач.

 

3.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ  СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

 

3.1МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разделяются на точные и итерационные. Точные методы представляют собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы. Это - метод обратной матрицы, метод Крамера, метод Гаусса, метод Жордана-Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и др. Несмотря на то, что методы называются точными, результаты вычислений имеют погрешности вследствие неизбежных округлений при выполнении действий.

Итерационные методы позволяют  получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов. К их числу относятся: метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др. Эффективность применения итерационных методов существенно зависят от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Все вышеперечисленные методы (точные и приближенные) имеют свои преимущества и недостатки и поэтому для выбора оптимального (лучшего) метода для решения конкретной системы линейных уравнений требуются знания пользователя.

А.  Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

Запишем эту систему в матричном виде

 х  =

или в общем матричном виде

А∙Х=В,

где: А - матрица коэффициентов;

Х – вектор искомых параметров;

В – вектор свободных членов.

Рассмотрим решение линейной системы уравнений различными методами.

Метод обратной матрицы

Дана система линейных уравнений

А∙Х=В.

Умножим правую и левую части  системы на обратную матрицу А^-1

А^-1∙А∙Х= А^-1∙В

Так как А^-1∙А=Е, то Е∙Х= А^-1∙В      ЕХ=Х

Так как ЕХ=Х то,                            Х= А^-1∙В.

Таким образом данный метод заключается в нахождении обратной матрицы коэффициентов А^-1 и ее умножении на вектор свободных членов В. Нахождение обратной матрицы А^-1 при порядке n>4 требует много времени, поэтому метод обратной матрицы редко употребляется.

Метод Крамера

Известно, что

.

Отсюда

,

где , , …,

где      

Итак, метод Крамера заключается в вычислении (n+1)-го определителя (∆₁, ∆₂, ∆₃, …, ∆_n) для матриц n-го порядка. Если число велико, то вычисление определителей является трудоемкой задачей.

Наиболее  распространенным способом решения  системы линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса.

Метод Гаусса

Рассмотрим на простейшем примере  известный со школы способ исключения неизвестных при решении систем уравнений. Пусть дана система:

    

Умножим первое уравнение на такой  коэффициент  , чтобы в обоих уравнениях коэффициент при х₁ стал бы одинаковым

    

Теперь вычтем его из второго  уравнения, т.е.

-2х₁+х₂=7

Мы выполнили операцию исключения неизвестной х₁ из второго уравнения. Запишем систему уравнения после этого исключения в следующем виде. Первое уравнение записываем в исходном виде.

 

Второе уравнение содержит лишь одно неизвестное, которое легко  вычисляется х₂=3. Подставив полученное значение х₂ в первое уравнение, можем вычислить и первое неизвестное х₁.

Проведенные действия и составляют сущность метода Гаусса. Рассмотрим преобразования по методу Гаусса для системы уравнений n-го порядка.

а11х1+ а12х2+ … +а1nхn=b1
а21х1+ а22х2+ … +а2nхn=b2
а31х1+ а32х2+ … +а3nхn=b3
…         …        …       …
аn1х1+ аn2х2+ … +аnnхn=bn

Вычтем из второго уравнения  первое, умноженное на .

При этом во втором уравнении будет  уничтожен коэффициент при х₁.

Затем из третьего уравнения также вычтем первое, умноженное на .

Проделав аналогичные преобразования с остальными уравнениями системы, превратим в нуль все коэффициенты первого столбца, кроме элемента а₁₁. Получим следующую систему:

а11х1+ а12х2+ а13х3+… +а1nхn=b1		…
…         …        …       …

 

Затем при помощи второго уравнения  преображенной системы исключим из третьего, четвертого и т.д. уравнений  коэффициенты второго столбца лежащие ниже

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+ а₁₃х₃+… +а_1nх_n=b₁

…         …        …