Математические задачи электроэнергетики

Нелинейные уравнения, составленные для расчетов режимов, обычно сложнее  чем в приведенном примере  и их не всегда можно решить этими  методами. Гораздо лучшую сходимость для решения нелинейных уравнений и вследствие этого большее применение имеет метод Ньютона. Но этот метод имеет более сложную вычислительную процедуру.

Метод Ньютона /2/ (называемый также методом линеаризации или методом касательных) применяется для решения системы нелинейных уравнений. Он эффективен, если известно достаточно хорошее приближение к корням системы нелинейных уравнений.

Решение нелинейного  уравнения методом Ньютона

Рассмотрим применение метода Ньютона  сначала для решения одного нелинейного уравнения f(х)=0, где f(х) - непрерывно дифференцируемая функция.

Функцию f(х) можно разложить в ряд Тейлора в окрестностях произвольно взятой точки х⁽⁰⁾

.                          (1)

Если в многочлене (1) отбросить производные высших порядков и оставить только линейные члены, то получим

,                                                                      (2)

где - называется поправкой.

Эта операция называется линеаризацией нелинейного уравнения.

Из линеаризованного уравнения (2) можно выразить поправку

                                                                                                (3)

и вычислить новое (первое) приближение к корню

.                                                                                              (4)

Если подставить значение в f(х), то получим невязку . По величине невязки можно судить о близости к корню. Если невязка значительно отличается от нуля, то требуется вычислять новую поправку , подставляя в линеаризованное уравнение (2) значение . Вычислительная процедура повторяется до тех пор, пока очередная невязка не станет достаточно близкой к нулю.

Таким образом, суть метода Ньютона  заключается в линеаризации нелинейного  уравнения и решении полученного  линейного уравнения на каждой итерации. Значение корня линейного уравнения является очередным приближением к корню решаемого нелинейного уравнения.

Графическая иллюстрация применения метода Ньютона для решения нелинейного уравнения f(х)=0 дана на рисунке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видно из рисунка, к действительному корню нелинейного уравнения приближаемся последовательно от заданного начального приближения х⁽⁰⁾.

Алгоритм решения нелинейного уравнения f(х)=0 методом Ньютона состоит из следующих действий:

1. Задаем начальное приближение х⁽⁰⁾.
2. Вычисляем невязку f(х⁽⁰⁾).
3. Определяем - значение производной (как тангенс угла , образованного касательной к кривой в точке В с осью х).
4. Вычисляем поправку ∆х⁽¹⁾ (как катет АС прямоугольного треугольника АВС).

.

5. Определяем новое приближение х⁽¹⁾=х⁽⁰⁾-∆х⁽¹⁾ .
6. Вычисляем невязку f(х⁽¹⁾) и проверяем условие ε.

Если условие выполняется, то вычислительный процесс заканчивается, в противном случае повторяем действия начиная с 3-го.

Примечание: 1. Значение ε задается в каждом конкретном случае и не должно быть равным нулю, так как итерационный метод не позволяет определить абсолютно точное значение корня (это обычно практически не требуется). Неоправданное снижение значения ε не рекомендуется, поскольку при этом увеличивается число итераций.

2. Если у функции f(х)=0 имеется несколько корней, то метод Ньютона позволяет найти вещественный корень и причем только один в области притяжения которого находится начальное приближение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример: нужно решить нелинейное уравнение 7х³+5х-1=0                                        (ε = 0,01)

0 итерация          1. х⁽⁰⁾=0                Зададим х⁽⁰⁾=0

2. |f(х⁽⁰⁾)=1|>ε   | Начальная невязка f(х⁽⁰⁾)=1|  ≥ε

1 итерация          1.

2.

3. х⁽¹⁾=х⁽⁰⁾-∆х⁽¹⁾=0-(-0,2)=0,2

4. f(x⁽¹⁾)=7∙0,2³+5∙0,2-1=0,056                                                           |0,056| > ε

2 итерация          1.

2.

3. х⁽²⁾=х⁽¹⁾-∆х⁽²⁾=0,2-0,01=0,19

4. f(x⁽²⁾)=7∙0,19³+5∙0,19-1=0,048+0,95-1=0,002                                 |0,002|< ε

Результаты расчетов целесообразно  представить в следующей таблице

№ итерации (к)	тангенс	∆х(к) поправка	х(к) приближение	f(х(к)) невязка
0	-	-	0	-1
1	5	-0,2	0,2	0,056
2	5,84	0,01	0,19	0,002

 

Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Система нелинейных уравнений решается методом Ньютона аналогично.

Пусть дана система нелинейных уравнений

f₁(х₁, . . ., х_n)=0;

f₂(x₁, . . ., х_n)=0;

…      …      …;

f_n(х₁, . . . , х_n)=0.

Эта система заменяется системой линеаризованных уравнений

;

;

…          …           …             …             …            ;

.

В матричном виде система (2) записывается

              …              ∆х₁          f₁(х₁, х₂, …, х_n)

              …         х    ∆х₂    =    f₂(х₁, х₂, …, х_n)

…           …          …      …              …             …

                …             ∆х_n           f_n(х₁, х₂, …, х_n)   

 

или в общем матричном виде

,                                                                                                                  (8)

где - матрица Якоби; ∆х – вектор-столбец поправок; F(х) – вектор-столбец невязок.

Данная система линейных уравнений может быть решена любым известным численным методом (например, методом Гаусса).

Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит из следующих действий:

1. Зададим начальные приближения , , …, .
2. Вычислим невязки f₁(х₁, х₂, …, х_n), f₂(х₁, х₂, …, х_n), …, f_n(х₁, х₂, …, х_n).
3. Вычислим все элементы матрицы частных производных при х₁= , х₂= , …, х_n= .
4. Найдем поправки , , …,

Для этого решим систему линейных уравнений

численным методом относительно поправок ∆х⁽¹⁾.

5. Определим новые приближения

6. Вычислим невязки f₁(х₁,…, х_n), f₂(х₁,…, х_n), …, f_n(х₁,…, х_n)
7. Проверим условия

|f₁(х₁,…, х_n)|≤ε₁;

|f_n(х₁,…, х_n) )|≤ε_n.

Если не выполняется хотя бы одно из n условий, то производим следующую итерацию – повторяем действия 3-7, уже используя полученные значения , , …, . Итерационный процесс нахождения корней системы нелинейных уравнений будем продолжать до выполнения всех условий без исключения.

Метод Ньютона эффективен в том  случае, когда известны хорошие начальные  приближения неизвестных, достаточно близкие к корням системы нелинейных уравнений. Это условие в наших задачах, как правило, удается выполнить.

Пример: нужно решить систему нелинейных уравнений

 

               (при ε=0,01)

0 итерация 1. ;         2. ;      

1 итерация

1.  

2. х =         или        ;

Отсюда   ;       .

3.    ;

.

4.   ;               |0,01667|>ε

;              |0,114|>ε

2 итерация

1.

 2. х = ;            

3. ;

;

4.                 0,0002714<ε

           0,0000071<ε

Результаты расчетов сведем в таблицу

№ итерации		∆х		хк		f(к)
0	-	-		0	0	9	1
1		0,1667	-1,125	-0,1667	1,125	0,01667	0,114
2		-0,0191	-0,0016	-0,1476	1,1266	0,0002714	0,0000071

 

 

 

Задачи

Задача 1. Вычислить определитель квадратной матрицы третьего порядка

двумя способами: классическим и разложением  по элементам строки или

 столбца [Демидович Б.П.,Марон И.А. основы вычислительной

математики.-М.:Наука,1970.-664с.].

 

А=

 

 

detA=

det A= -       -

      +

              =

 

  

Задача 2. Обратить классическим способом квадратную матрицу третьего порядка

 

 

                         .  [Демидович Б.П.,Марон И.А.  основы вычислительной 

математики.-М.:Наука,1970.-664с.].

 

А=

 

 

Переходим к транспонированной  матрице:

 

А=

                                                          

 

 

  =    

 

Заменяем каждый элемент  транспонированной матрицы определителем  полученным вычеркиванием столбца  и строки на пересечение которых  стоит элемент.

 

а11=      = -2+6=4;

 

 

а12=     =-2-3=-5;

 

 

а13=     =-4-2=-6;

 

 

а21= =-2-3=-5;

 

 

а22=                  =1-1=0;

 

 

а23=                  =-3-2=-5;

а31=                  =-4-2=-6;

 

а32=                   =2+3=5;

 

а33=                     =-2+6=4.

 

Получаем матрицу:

А1=

 

 

Поменяем знаки у  элементов с нечетной суммой индексов.

 

А1=

 

 

 

Разделим каждый элемент  матрицы на определитель исходной матрицы

 

=                                            =

 

 

Проверка : А· = Е

 

                                  .                                       =

 

 

 

Задача 3. Для графа сети

 

 

 

 

 

составить матрицы, входящие в уравнения законов Ома и Кирхгофа. [Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики/Под ред.В.А.Веникова.Т.1-М.: Высшая школа, 1981.-334с. , Блок В.М. Электрические сети и системы:Учебное пособие для

ВУЗов.-М.:Высшая школа 1986.-430с.].

				ветви
			1	2	3	4	5	6	7
	у	2	0	-1	1	0	0	0	0
М =	з	3	-1	0	0	1	0	0	-1
	л	4	0	0	-1	-1	1	0	0
	ы	5	0	0	0	0	-1	1	0
		6	0	0	0	0	0	-1	1
				ветви
	к
	о		1	2	3	4	5	6	7
N =	т	I	-1	1	1	-1	0	0	0
	у	II	0	0	0	1	1	1	1
	р
	ы