Математические задачи электроэнергетики

 

Обратная матрица будет  равна

                               .

Например: найти обратную матрицу  для матрицы третьего порядка.

 

.

Основные свойства обратной матрицы

 

1. Учитывая, что det(AB)=detA∙ detB, можем записать detA^-1 detA=detE=1.

Отсюда 

.

Определитель обратной матрицы  равен обратной величине определителя исходной матрицы.

2. (АВ)^-1=В^-1А^-1

3. (А^-1)=(A¹)^-1.

2.Теория графов в электроэнергетике

2.1 Геометрический образ электрической сети

Схема замещения электрической сети (или системы) может быть представлена как граф. Вершинами графа при этом являются узлы электрической сети, а ветвями - элементы электрической сети (линии и трансформаторы). Граф сети характеризует ее конфигурацию. Если каждой ветви задать направление, то такой граф называется направленным. Для аналитического представления графа сети необходимо пронумеровать узлы, ветви и независимые контуры, выбрать положительное направление обхода каждого контура (рис.4).

 

 

 

 

 

 

 

Рис.4. Граф электрической сети

Граф называется полным, если все  вершины (узлы) графа соединены (связаны) ветвями друг с другом. Число ветвей в полном графе определяется по формуле , где R – число узлов. В таблице 1 приведено число ветвей в полных графах с различным числом узлов.

Число узлов R	2	3	4	5	6	10	100	1000
Число ветвей n	1	3	6	10	15	45	4950	49950

Минимально связанный граф, содержащий в себе всю совокупность вершин графа, называется деревом. Число ветвей в  дереве n=R-1. В сложном графе (n>R-1) можно наметить несколько деревьев. На заданном графе жирными линиями выделено одно из возможных деревьев. Ветви, не вошедшие в дерево и дополняющие его до заданного графа, называются хордами. Хорды образуют с ветвями дерева контуры. Дерево контуров не содержит. При расчетах используют такие понятия:

1. число независимых узлов (R-1);
2. число независимых контуров, определяемое по формуле к=n-(R-1)=n-R+1.

Направленный граф схемы однозначно описывается двумя матрицами  инциденций (или соединений). Зная эти  матрицы можно нарисовать граф.

Первая матрица инциденций М (узлов и ветвей) представляет собой таблицу, каждая строка которой соответствует одному из узлов, а каждый столбец одной из ветвей. В клетках таблицы проставляется “0”, если ветвь не связана с узлом, которому соответствует строка. Если ветвь связана с узлом, то ставится “+I” или “-I” в зависимости от выбранного направления ветви. Если данный узел является началом ветви, то ставится “+I”, если же ветвь входит в данный узел, который считается концом этой ветви, то ставится “-I”.

				ветви
			1	2	3	4	5	6
	у	1	-1	-1	-1	0	0	0
М =	з	2	+1	0	0	-1	0	0
	л	3	0	+1	0	0	-1	0
	ы	4	0	0	+1	0	0	-1	4 х 6
		5	0	0	0	+1	+1	+1

Информация, которая содержится в  последней 5-й строке, является избыточной. Схема имеет только (R-1) независимый узел, поэтому последняя строка, соответствующая узлу R, который называется балансирующим, должна быть отброшена. Отброшенную избыточную строку легко можно восстановить, если известны (R-1) строк.

				ветви
	к
	о		1	2	3	4	5	6
N =	т	I	-1	0	0	-1	1	0
	у	II	1	0	-1	1	0	1	2 х 6
	р
	ы

Вторая матрица инциденций N определяет связь между ветвями и контурами. Для сложной электрической сети можно выбрать разные сочетания  независимых контуров, поскольку общее число контуров в графе больше. Информация, записываемая для большего числа контуров по сравнению с числом независимых контуров, является избыточной.

Необходимо знать, что выбираемое сочетание независимых контуров должно обязательно содержать все ветви графа. В матрице N строки соответствуют независимым контурам, а столбцы ветвям. Если ветвь не входит в рассматриваемый контур, то на пересечении соответствующих строки и столбца ставится “0”. Если ветвь входит в рассматриваемый контур, то ставится “+1” или “-1”.“+1” соответствует совпадению направления ветви и направления обхода контура. “-1” ставится в случае противоположных направлений у ветви и контура.

Уравнения законов Ома  и Кирхгофа в матричной форме

     Установившиеся режимы в электрической системе описываются законами Ома и Кирхгофа или вытекающими из них уравнениями узловых напряжений и контурных токов.

Запишем основные матрицы, используемые при расчетах режимов в электрической  системе. Будем помнить, что комплексные  величины обозначаются точкой сверху.

1. Вектор-столбец токов в ветвях графа сети              2. Вектор-столбец узловых токов

                                                                      

3. Матрица сопротивлений ветвей графа является диагональной матрицей, если недиагональные элементы равны нулю при отсутствии взаимоиндуктивности между ветвями. Диагональные элементы равны сопротивлениям соответствующих ветвей.

 

 

		ветви
Zb=	в е т в и		где - комплексное сопротивление i-й ветви

Произведение матрицы сопротивлений  ветвей Z_b на матрицу токов в ветвях позволяет получить матрицу падений напряжения в сопротивлениях ветвей

Zb∙Ib=

или в общем виде

- закон Ома в матричной форме при отсутствии ЭДС в ветвях.

Умножим первую матрицу инциденций М на вектор-столбец ветвей графа сети

МIb=

Первый элемент матрицы произведения есть не что иное как алгебраическая сумма токов, проходящих к первому узлу. Эта сумма равна узловому току, т.е. . То же самое справедливо для остальных элементов матрицы произведения. Следовательно, можно записать

- первый закон Кирхгофа в матричной форме.

Умножим вторую матрицу инциденций N на матрицу падений напряжений в ветвях .

N=	I
	II

 

 

Первый элемент матрицы есть не что иное, как сумма падений напряжений при обходе по ветвям первого контура. Мы знаем, что эта сумма при отсутствии ЭДС в ветвях равна 0, т.е. - второй  закон Кирхгофа для первого контура.

Следовательно, второй закон Кирхгофа в матричной форме

        или           .

“Прямой ” расчет токораспределения  в электрической сети

Заключается в том, что составляется система линейных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа и решается известным Вам методом:

         число  уравнений (R – 1) + (n – R + 1) = n

      

Расчет  называется “прямым”, потому что токи вычисляются без каких-либо предварительных преобразований уравнений первого и второго законов Кирхгофа. “Прямой” способ обычно не применяется, так как не очень сложные предварительные преобразования позволяют получить эквивалентную систему уравнений с меньшим числом уравнений и более однородных по виду, что облегчает численное решение системы. Это достигается при использовании методов узловых напряжений и контурных токов. Отметим, что, как правило, при расчетах время преимущественно расходуется на решение систем уравнений.

Метод узловых напряжений для расчета токораспределения

В этом методе токи в ветвях определяются через разность напряжений в узлах. Число узлов в схемах обычно меньше числа ветвей, поэтому порядок решаемой системы будет меньше, чем при определении токов “прямым” способом.

                                                                                                                   (1)

    - система узловых уравнений         (2)

Обратная матрица 

М^t – транспонированная матрица М в случае, когда базисный узел системы совпадает с балансирующим.

Базисный узел – это узел, для  которого напряжение задается перед  расчетом.

Балансирующий узел – это узел, мощность которого равна алгебраической сумме мощностей всех остальных узлов в системе, т.е. он является балансирующим по мощности (здесь проявляется закон единства производства и потребления электроэнергии, сколько выработано, столько и должно быть потреблено).

В случае, если базисный узел не совпадает с балансирующим, то вместо М^t в формуле (1) ставится , которая может быть получена из избыточной первой матрицы инциденций М, т.е. содержащей строку для балансирующего узла, путем вычеркивания строки, отвечающей базисному узлу.