Математические задачи электроэнергетики

Проверка:

 х  =

По такой же вычислительной схеме  можно вычислять значения переменных х₁, х₂, х₃, …, х при одной матрице коэффициента А и разных столбцах свободных членов В₁, В₂, В₃, …, В_n.

Недостатки метода Гаусса (его недостатки и способы их устранения)

1. Если определитель матрицы А мал, то из-за ошибок округлений сильно снижается точность получения искомых корней.
2. Метод Гаусса требует, чтобы диагональные элементы в процессе исключения переменных не были равны нулю (т.к. строки делятся на них). Поэтому часть применяют метод Гаусса с выбором главного элемента, который заключается в следующем. При обращении в нуль элементов первого столбца из всей матрицы выбирается наибольший элемент и затем в нуль элементы второго столбца, рассматривается сокращенная матрица (путем вычеркивания в уже полученной системе первого уравнения) и в ней наибольший элемент переставляется на ее первое место и т.д.
3. Метод Гаусса требует большего объема памяти ЭВМ по сравнению с итерационными методами. Существуют различные приемы по сокращению занимаемой памяти ЭВМ при решении методом Гаусса электроэнергетических задач.

Например, необходимо решить систему

Y_y ∙U^y=I^y

при использовании метода узловых  напряжений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перенумерация

1. Экономичность памяти
2. Сокращение времени счета

Y=		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	→		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	+							+	+			1	+	+	+								3
	2		+					+	+				2	+	+		+							6
	3			+	+								3	+		+		+						10
	4			+	+		+						4		+		+			+				14
	5					+	+						5			+		+						17
	6					+	+			+			6			+			+	+	+	+		21
	7		+				+	+					7				+		+	+			+	24
	8	+	+						+	+			8						+		+			26
	9	+					+		+	+	+		9						+			+	+	27
	10									+	+		10							+		+	+

(30 х 70)

Я=10 х  10=100                                                        Я=52 (26)

В ряде случаев для нахождения корней системы линейных уравнений удобнее  пользоваться приближенными итерационными методами (или методами последовательных приближений).

 

Метод простой итерации

Дана система линейных уравнений

Предположим, что диагональные элементы а_ii, i = 1- n не равны 0. В любом случае строки и столбцы можно поменять местами так, чтобы диагональные элементы не были равны 0. Разделим каждую строку на ее диагональный элемент: первую строку на , вторую строку на и т.д. Получим следующую систему

где ; .

В матричном виде эту систему  можно записать

+ х =    или .

Отсюда         .                                                                                                        (1)

Выполненная выше операция называется приведением системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций.

Зададим произвольное начальное значение всех неизвестных корней системы (в матричном виде Х = Х⁽⁰⁾)и подставим это значение в правую часть системы уравнений (1).

Вычислим ,

где Х⁽⁰⁾ – начальное (исходное) приближение к корням системы уравнений,

Х⁽¹⁾ - первое приближение к корням системы уравнений.

Затем процесс повторим, подставив найденные на первой итерации значения Х=Х⁽¹⁾  в правую часть системы уравнений и вычислим вторые приближения корней

. И так далее.

Итерационный процесс повторяем  до тех пор, пока на какой-нибудь к-й итерации не выполнится условие

<ε,

где ε – заданная точность определения корней системы.

Поскольку в вектор Х входит n неизвестных, то условие окончания итерационного процесса, должно быть выполнено для всех n корней.

Пример: дана система линейных уравнений

Приведем систему уравнений к виду, удобному для итерации

Зададим начальные приближения к корням равными нулю и точность расчета ε = 0,001.

Начнем итерационный процесс вычисления корней.

1 итерация        

2 итерация        

и т.д. до выполнения условий  

Вычисления сведем в таблицу

№ итерации (к)
0	0	0	0
1	2	3	5
2	1,92	3,19	5,04
3	1,9094	3,1944	5,0446
4	1,9092	3,1949	5,0448

Примечание: число цифр после запятой в вычисляемых приближениях к корням надо брать на один порядок больше чем в заданной точности ε.

 

 

 

 

Достаточное (но не необходимое) условие

сходимости итерационного  процесса

Итерационный процесс будет сходящимся, если модуль коэффициента на главной диагонали больше суммы (или равен сумме) модулей остальных элементов строки (свободные члены при этом не учитываются)

Это достаточное условие сходимости, но не необходимое, т.е. данное условие  гарантирует сходимость итерационного процесса. Условие не является чрезмерным в электрических системах оно часто выполняется, в том числе для матриц узловых проводимостей Y_у при решении систем узловых уравнений Y_iU_у=I_у и контурных сопротивлений Z_к при решении системы контурных уравнений      Z_кI_к=   .

Итерационный процесс сходится значительно быстрее, если диагональные элементы матрицы А значительно больше недиагональных элементов. Этого можно добиться меняя строки и столбцы местами, при этом оставляя систему линейных уравнений неизменной относительно значений корней.

Пример:                                       Условие сходимости не выполняется

Поменяем строки местами

                , т.е.  

Или поменяем столбцы местами

                , т.е.    

Условие сходимости также выполняется.

Метод итерации обладает таким важным свойством, как самоисправление арифметических ошибок. Можно доказать, что если вычислительный процесс сходится при х⁽⁰⁾, то он будет сходится и при другом приближении, которое вычислено с ошибкой. При ошибке у нас только изменится число итераций.

 

Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет модификацию  метода простой итерации. Идея состоит в том, что на каждой к-й итерации при вычислении значения переменной используются значения переменных , . . . . , , уже подсчитанных на этой же к-й итерации.

Пример: 

Приведем к виду удобному для  итерации

Зададимся исходным приближением и ε = 0,001.

Делаем первую итерацию по методу Зейделя

; 

;

и т.д.

Занесем результаты расчетов в таблицу

№ итерации (к)
0	0	0	0
1	1,2	1,06	0,948
2	0,9992	1,00548	0,9991
3	0,9996	1,0002	1,0000
4	1,0000	1,0000	1,0000

 Метод Зейделя, имеет, как правило, лучшую сходимость, чем метод простой итерации. И сходится в ряде случаев даже тогда, когда метод простой итерации не обеспечивает сходимость. Но (значительно реже) бывает и наоборот.

Преимущества и недостатки итерационных методов

Преимущества:

1. имеют простую вычислительную процедуру;
2. не требуют сложных специальных процедур для экономии памяти ЭВМ под нулевые элементы матрицы коэффициентов, как метод Гаусса;
3. самоисправление ошибок.

Недостатки:

1. не всегда могут решить систему уравнений (требуется выполнение условий сходимости)
2. сходимость итерационных процессов может быть медленной;
3. корни системы могут быть определены только приближенно с точностью ε.

 

4.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1 Понятие о системах нелинейных уравнений

и методах их решения

Для примера приведем нелинейные уравнения балансов мощностей в  узлах электрической сети, составленных по методу узловых напряжений (без вывода).

 

 

 

 

 

Р_гi и Q_гi - активная и реактивная мощности, генерируемые в i-м узле;

Р_нi и Q_нi - активная и реактивная мощности нагрузки в i-м узле;

Р_уi и Q_уi - активные и реактивные потоки мощности из узла j к узлу j.

Уравнения балансов активных и реактивных мощностей в узле i

;

,

где означает, что узел j‚ принадлежит множеству всех узлов, которые связаны с узлом i.

Формулы для потоков активной и  реактивной мощностей от узла к узлу j следующие:

Применяются две системы координат, в которых могут проводиться  расчеты:

1. прямоугольная система координат (в комплексном виде);
2. полярная система координат (через тригонометрические функции).

В полярной системе координат выражения  для потоков мощности имеют следующий вид:

где    ;

;

Y – заданные проходимости схемы замещения системы;

P, Q, U, - параметры режима, часть из них известна (обычно это мощности нагрузок в узлах, напряжение и угол в базисном узле), остальные являются искомыми переменными, которые следует определить в результате расчета.

Подчеркнем, что нелинейность в  уравнениях выражается как наличием в них степеней второго порядка, так и наличием тригонометрических функций.

Для решения систем нелинейных уравнений  используются только итерационные методы. В том числе для решения систем нелинейных уравнений могут использоваться методы простой итерации и Зейделя при условии их сходимости.

Пример: дана система нелинейных уравнений

;

.

Приведем к виду удобному для итерации

;

. 
Результаты расчетов обоими методами сведем в таблицу (ε=0,001)

Метод простой итерации				Метод Зейделя
№ итерации	х1	х2		№ итерации	х1	х2
0	0	0		0	0	0
1	0,4	-0,375		1	0,4	-0,425
2	0,355	-0,425		2	0,3422	-0,412
3	0,3422	-0,415		3	0,3457	-0,41235
4	0,345	-0,412		4	0,3456
5	0,3457	-0,4122